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重慶市2018年中考數(shù)學(xué)題型復(fù)習(xí) 題型七 幾何圖形的相關(guān)證明及計(jì)算 類(lèi)型七 直角三角形中的輔助線練習(xí)

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1、 類(lèi)型七 直角三角形中的輔助線 1. (2017重慶一中一模)在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是斜邊BC的中點(diǎn),連接AD. (1)如圖①,E是AC的中點(diǎn),連接DE,將△CDE沿CD翻折到△CDE′,連接AE′,當(dāng)AD=時(shí),求AE′的值; (2)如圖②,在AC上取一點(diǎn)E,使得CE=AC,連接DE,將△CDE沿CD翻折到△CDE′,且AE′交BC于點(diǎn)F,求證:DF=CF. 第1題圖 2. △ABC是等腰直角三角形,AC=BC,∠ACB=90°. (1)如圖①,點(diǎn)M是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接CM,K是AC上一點(diǎn),B

2、K延長(zhǎng)線交CM于N,∠MBN=∠MCA=15°,BK=8,求CM的長(zhǎng)度; (2)如圖②,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AF⊥l于點(diǎn)F,BE⊥l于點(diǎn)E,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連接ED.求證:AF=BE+DE. 第2題圖 答案 1. (1)解:∵∠BAC=90°,AB=AC,D是斜邊BC的中點(diǎn), ∴∠ADC=90°,∠ACD=45°, 在Rt△ADC中,AC==2, ∵E是AC的中點(diǎn), ∴CE=AC=1, ∵將△CDE沿CD翻折到△CDE′, ∴CE′=CE=1,∠ACE′=90°, 由勾股定理得:AE′==; (2)證明:如解

3、圖,過(guò)B作AE′的垂線交AD于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)H, ∵∠ABH+∠BAF=90°,∠CAF+∠BAF=90°, ∴∠ABH=∠CAF, 又∵AB=AC,∠BAH=∠ACE′=90°, ∴△ABH≌△CAE′, ∴AH=CE′=CE, ∵CE=AC, ∴AH=HE=CE, ∵D是BC中點(diǎn), ∴DE∥BH, ∴G是AD中點(diǎn), 在△ABG和△CAF中, ∴△ABG≌△CAF(ASA), ∴AG=CF, ∵AG=AD, ∴CF=AD=CD,∴DF=CF. 第1題解圖 2. (1)解:如解圖①,過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D, ∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠AB

4、C=∠BAC=45°, ∵∠MBN=15°, ∴∠KBC=30°, ∵BK=8, ∴BC=4, ∴CD=BC=2, ∵∠MCA=15°,∠BAC=45°, ∴∠M=30°, ∴CM=2CD=4; 第2題解圖① (2)證明:如解圖②,連接DF,CD, ∵BE⊥CE, ∴∠BEC=∠ACB=90°, ∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠FCA=90°, ∴∠EBC=∠FCA, ∵AF⊥l于點(diǎn)F, ∴∠AFC=90°, 在△CBE與△ACF中,, ∴△CBE≌△ACF(AAS); ∴BE=CF,CE=AF, ∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn), ∴CD=BD,∠CDB=90°, ∵∠EBD=∠DCF, 在△BDE與△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(SAS), ∴∠EDB=∠FDC,DE=DF, ∵∠CDF+∠FDB=90°,∠EDB+∠BDF=90°, ∴∠EDF=90°, ∴△EDF是等腰直角三角形, ∴EF=DE, ∴AF=CE=EF+CF=BE+DE. 第2題解圖② 6

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