《浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第四章 基本圖形(一)第18講 三角形與全等三角形講解篇》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第四章 基本圖形(一)第18講 三角形與全等三角形講解篇（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第18講　三角形與全等三角形 1．三角形的概念及其分類 2．與三角形有關的線段 考試內(nèi)容 考試 要求 高 ____________________三角形的三條高相交于三角形的內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于____________________；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部． b 中線 三角形的三條中線相交于____________________，每一條中線都將三角形分成面積____________________的兩部分． 角平分線 三角形的三條角平分線相交于____________________，這個點是三角形的_____________

2、_______，這個點到三邊的距離____________________． 三邊關系 三角形的兩邊之和____________________第三邊，三角形的兩邊之差____________________第三邊． c 穩(wěn)定性 三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性． a 三角形的中位線 定義 連結三角形兩邊____________________的線段叫做三角形的中位線. c 性質(zhì) 三角形的中位線____________________第三邊，并且等于第三邊的____________________． 3.與三角形有關的角 考試內(nèi)容 考試 要求 定理 三角形

3、三個內(nèi)角的和等于____________________． b c 推論 直角三角形的兩個銳角____________________． 三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的____________________． 4.全等三角形的性質(zhì)與判定 考試內(nèi)容 考試 要求 性質(zhì) 全等三角形的對應邊____________________，對應角_____________． c 判定 判定1：三邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫成“邊邊邊”或“SSS”)； 判定2：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(簡寫成“邊角邊”或“SAS”)； 判定3：兩角和它們的夾邊分別相

4、等的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”)； 判定4：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫成“角角邊”或“AAS”)； 判定5：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)． 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 方法 1.分析問題思考方法： (1)順推分析：從已知條件出發(fā)，運用相應的定理，聯(lián)合幾個已知條件加以發(fā)展，一步一步地去靠近欲證目標； (2)逆推分析：從欲證結論入手，分析達到欲證的可能途徑，逐步溝通它與已知條件的聯(lián)系，從而找到證明方法； (3)順推分析與逆推分析相結合； (4)聯(lián)想分析：對于一道與證明過的

5、題目有類似之處的新題目，分析它們之間的相同點與不同點，嘗試把對前一道題的思考轉用于現(xiàn)在的題目中，從而找到它的解法． c 2.“截長法”和“補短法”是證明和差關系的重要方法，無論用哪一種方法都是要將線段的和差關系轉化為證明線段相等的問題，因此添加輔助線構造全等三角形是通向結論的橋梁． 1．(2017·舟山)長度分別為2，7，x的三條線段能組成一個三角形，x的值可以是(　　) 　A．4 B．5 C．6 D．9 2．(2017·衢州)如圖，直線AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，則∠E等于(　　

6、) A．30° B．40° C．60° D．70° 3． (2016·麗水)如圖，在△ABC中，∠A＝63°，直線MN∥BC，且分別與AB，AC相交于點D，E，若∠AEN＝133°，則∠B的度數(shù)為____________________． 4．(2017·溫州)如圖，在五邊形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD. (1)求證：△ABC≌△AED； (2)當∠B＝140°時，求∠BAE的度數(shù)． 　　　　　　　　 【問題】如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一

7、點，作射線AD. (1)若點D是BC的中點，你能得到什么結論？若AD是∠BAC的角平分線呢？ (2)在線段AD及其延長線上分別取點E、F，DE＝DF，連結CE、BF.添加一個條件，使得△BDF≌△CDE，并加以證明．你添加的條件是________．(不添加輔助線)． 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理中線、高、角平分線，以及三角形全等的判定，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件． 類型一　三角形的三邊關系 　(2017·金華)下列各組數(shù)中，不可能成為一個三角形三邊長的是(　　

8、) A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10 【解后感悟】三角形的三邊關系定理：任意兩邊之和大于第三邊．只要滿足兩短邊的和大于最長的邊，就可以構成三角形． 1．(1)(2016·杭州市下城區(qū)模擬)已知△ABC的三邊長都是整數(shù)，且AB＝2，BC＝6，則△ABC的周長可能是(　　) A．12 B．14 C．16 D．17 (2) (2016·義烏模擬)如圖，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框(形狀不限)，不計螺絲大小，其中相鄰

9、兩螺絲的距離依次為3、4、5、7，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩個螺絲間的距離的最大值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 (3)小明和小麗是同班同學，小明的家距學校2千米遠，小麗的家距學校5千米遠，設小明家距小麗家x千米遠，則x的值應滿足(　　) A．x＝3 B．x＝7 C．x＝3或x＝7 D．3≤x≤7 類型二　三角形的內(nèi)角、外角的性質(zhì) 　(2017·衢州模擬)如圖，銳角三角形ABC中，直線l為BC

10、的垂直平分線，直線m為∠ABC的角平分線，l與m相交于P點．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，則∠ABP的度數(shù)為(　　) A．24° B．30° C．32° D．36° 【解后感悟】本題是線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理的運用，熟記各性質(zhì)并列出關于∠ABP的方程是解題的關鍵． 2． (1)(2017·寧波模擬)已知：△ABC的三個內(nèi)角滿足∠A＝2∠B＝3∠C，則△ABC是____________________三角形．(填“銳角”、“直角”、“鈍角”) (

11、2) (2017·舟山模擬)將正三角形、正四邊形、正五邊形按如圖所示的位置擺放．如果∠3＝32°，那么∠1＋∠2＝____________________度． 3．將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分∠DCE交DE于點F. (1)求證：CF∥AB； (2)求∠DFC的度數(shù)． 　 　　　　　　 類型三　三角形的角平分線、中線和高 　如圖，在△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，∠B＝30°，∠C＝80°，BE＝2，AF＝3，填空： (1)AB＝________． (2)∠BAD＝________． (3)∠DAF＝________．

12、 (4)S△AEC＝________． 【解后感悟】理解三角形的角平分線、中線和高；三角形內(nèi)角和定理．揭示三線構建圖形之間的聯(lián)系． 4．(1)(2015·長沙)如圖，過△ABC的頂點A作BC邊上的高，以下作法正確的是(　　) (2)(2015·綿陽)如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線BE，CD相交于點F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，則∠BFC＝(　　) A．118° B．119° C．120° D．121° 5． (2015·廣州)如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，點M

13、，N分別為線段BC，AB上的動點(含端點，但點M不與點B重合)，點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為____________________． 6．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于點E. (1)∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD的大?。? (2)若∠B<∠C，則2∠EAD與∠C－∠B是否相等？若相等，請說明理由． 　　　　　　　　 類型四　三角形全等的判定的運用 　如圖，點B，F(xiàn)，C，E在直線l上(F，C之間不能直接測量)，點A，D在l異側，測得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. (1)求證：△ABC≌△DEF； (2)指出圖

14、中所有平行的線段，并說明理由 　 　　　　　　　 【解后感悟】解題的關鍵是正確尋找證明三角形全等的條件，聯(lián)想平行線的判定方法． 7．(2017·溫州模擬)在梯形ABCD中，AD∥BC，連結AC，且AC＝BC，在對角線AC上取點E，使CE＝AD，連結BE. (1)求證：△DAC≌△ECB； (2)若CA平分∠BCD，且AD＝3，求BE的長． 　　 　　　　　　 8．(2017·桂林模擬)如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE＝BD，連結AE、DE、DC. (1)求證：△ABE≌△CBD； (2)

15、若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)． 　　　　　　 類型五　三角形全等的性質(zhì)的運用 　如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE. (1)求證：CE＝CF； (2)若點G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？ 【解后感悟】證兩條線段相等往往轉化為證明這兩條線段所在三角形全等，在第二問中通過全等找出和GE相等的線段，從而證出關系是不是成立． 9． 如圖，小強利用全等三角形的知識測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是(　　) A．PO

16、　 B．PQ C．MO　 D．MQ 10．如圖，點D、E分別在AB、AC上． (1)已知：BD＝CE，CD＝BE，求證：AB＝AC； (2)分別將“BD＝CE”記為①，“CD＝BE”記為②，“AB＝AC”記為③.添加條件①、③，以②為結論構成命題1；添加條件②、③，以①為結論構成命題2.命題1是________________命題，命題2是________________命題．(填“真”或“假”) 【反思研究題】 (2017·義烏模擬)已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6.點P從點B出發(fā)沿射線BA移動，同

17、時點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D. (1)如圖1，過點P作PF∥AQ交BC于點F，求證：△PDF≌△QDC； (2)如圖2，當點P為AB的中點時，求CD的長； (3)如圖3，過點P作PE⊥BC于點E，在點P從點B向點A移動的過程中，線段DE的長度是否保持不變？若保持不變，請求出DE的長度，若改變，請說明理由． 　　　　　　　　 【方法與對策】運用全等三角形的判定與性質(zhì)等，注意對比信息，嘗試著用前一題的結論與方法去完成下一題，該題型是中考熱點題型之一． 【忽視全等三角形判定中邊、角位置性】 AB＝A

18、C，D、E分別在AB、AC上，連結CD、BE，且CD＝BE，判斷∠ADC和∠AEB是否相等？若相等，請證明；若不相等，請說明理由． 參考答案 第18講　三角形與全等三角形 【考點概要】 1． 首尾順次　銳　直　鈍　等邊　2.銳角　直角頂點 一點　相等　一點　內(nèi)心　相等　大于　小于　中點 平行　一半　3.180°　互余　和　4.相等　相等 【考題體驗】 1．C　2.A　3.70°　4.(1)∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴∠ACB＝∠ADE，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED

19、(SAS)；　(2)當∠B＝140°時，∠E＝140°，又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，∴五邊形ABCDE中，∠BAE＝540°－140°×2－90°×2＝80°. 【知識引擎】 【解析】(1)BD＝DC＝BC，S△ABD＝S△ADC；∠BAD＝∠DAC＝∠BAC等．　(2)由已知∠EDC＝∠FDB，因為三角形全等條件中必須是三個元素，并且一定有一組對應邊相等．故添加的條件是：BD＝CD(或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等)．證明：在△BDF和△CDE中∵，∴△CDE≌△BDF. 【例題精析】 例1　C　 例2　∵直線m為∠ABC的角平分線，∴∠ABP＝∠CBP.

20、∵直線l為BC的中垂線，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，在△ABC中，3∠ABP＋∠A＋∠ACP＝180°，即3∠ABP＋60°＋24°＝180°，解得∠ABP＝32°.故選C. 例3　(1)∵在△ABF中，AF是高，∠B＝30°，AF＝3，∴AB＝2AF＝6； (2)∵在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝80°，∴∠BAC＝70°，∵AD是角平分線，∴∠BAD＝∠BAC＝35°； (3)∵在△AFC中，AF是高，∠C＝80°，∴∠FAC＝10°，∴∠DAF＝∠DAC－∠FAC＝35°－10°＝25°； (4)∵在△ABC中，AE是中線，∴EC＝BE＝

21、2，∴S△AEC＝EC·AF＝×2×3＝3.故答案為：6；35°；25°；3.　 例4　(1)∵BF＝CE，∴BF＋FC＝FC＋CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(SSS)．　(2)結論：AB∥DE，AC∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF.　 例5　(1)證明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.　 (2)GE＝BE＋GD成立．理由是：∵由(1)得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF

22、＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°.又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD. 【變式拓展】 1． (1)B　(2)D　(3)D　 2.(1)鈍角　(2)70　 3. (1)證明：由題意知，△ACB是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠B＝45°.∵CF平分∠DCE，∴∠DCF＝∠ECF＝45°，∴∠B＝∠ECF，∴CF∥AB.　(2)由三角板知，∠E＝60°，由(1)知，∠ECF＝45°，∵∠DFC＝∠ECF＋∠E，∴∠DFC＝45

23、°＋60°＝105°. 4. (1)A　(2)C　 5.3　 6. (1)∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°，∵AE是角平分線，∴∠EAC＝∠BAC＝40°，∵AD是高，∠C＝70°，∴∠DAC＝90°－∠C＝20°，∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝40°－20°＝20°； (2)由(1)知，∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝∠BAC－(90°－∠C)①，把∠BAC＝180°－∠B－∠C代入①，整理得∠EAD＝∠C－∠B，∴2∠EAD＝∠C－∠B.　 7. (1)略； (2)∵CA平分∠BCD，∴∠ECB＝∠DCA，且由(1)可知∠DAC＝∠EC

24、B，∴∠DAC＝∠DCA，∴CD＝DA＝3，又∵由(1)可得△DAC≌△ECB，∴BE＝CD＝3.　 8.(1)略；　(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠CAE＝30°，∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°，∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD＝∠BAE＝15°，∴∠BDC＝90°－∠BCD＝90°－15°＝75°. 9.B 10.(1)連結BC.∵BD＝CE，CD＝BE，BC＝CB，∴△DBC≌△ECB(SSS)．∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC.　(2)真　假 第10題圖 【熱點題型】 【分析與解】(1)∵AB＝AC，∴∠B

25、＝∠ACB.∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP.由題意，BP＝CQ，∴FP＝CQ.∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC.又∠PDF＝∠QDC，∴△PDF≌△QDC； (2)如圖，過P點作PF∥AC交BC于F，∵點P為AB的中點，∴F為BC的中點，∴FC＝BC＝3，由(1)知△PDF≌△QDC，CD＝DF，∴CD＝DF＝FC＝； (3)線段DE的長度保持不變．如圖，過點P作PF∥AC交BC于F，由(1)知PB＝PF，∵PE⊥BC，∴BE＝EF，由(1)知△PDF≌△QDC，CD＝DF，∴DE＝EF＋DF＝BC＝3. 【錯誤警示】 ∠ADC和∠AEB不一定相等．例如，如圖，AB＝AC，且CD＝CE′＝BE，這時∠ADC≠∠AEB. 14