《重慶市2018年中考數(shù)學(xué)題型復(fù)習(xí) 題型七 幾何圖形的相關(guān)證明及計(jì)算 類型五 構(gòu)造直角三角形練習(xí)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《重慶市2018年中考數(shù)學(xué)題型復(fù)習(xí) 題型七 幾何圖形的相關(guān)證明及計(jì)算 類型五 構(gòu)造直角三角形練習(xí)(12頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
類型五 構(gòu)造直角三角形
1. (2017重慶南開一模)如圖,四邊形ABCD為矩形,連接AC,AD=2CD,點(diǎn)E在AD邊上.
(1)如圖①,若∠ECD=30°,CE=4,求△AEC的面積;
(2)如圖②,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F使得AF=2CD,連接FE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DH⊥EG于點(diǎn)H,連接AH,求證:FH=AH+DH.
第1題圖
2. 已知△ABC和△ADE都是等邊三角形,點(diǎn)B,D,E在同一條直線上.
(1)如圖①,當(dāng)AC⊥DE,且AD=2時(shí),求線段BC的長(zhǎng)度;
(2)如圖②,當(dāng)CD⊥BE時(shí),取線段BC的中點(diǎn)F,線段DC的中點(diǎn)G,連接DF,EG,求證:DF=
2、EG.
第2題圖
3. 如圖①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為CB上一點(diǎn),且滿足CD=CA,連接AD.過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)若AB=10,BD=2,求CE的長(zhǎng);
(2)如圖②,若點(diǎn)F是線段CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接FD,若∠F=30°,求證:CF=AE+DF;
第3題圖
4. (2017重慶八中模擬)如圖,△ABD是等腰直角三角形,點(diǎn)C是BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),F(xiàn)在AC上,AD=AF,E為△ADC內(nèi)一點(diǎn),連接AE、BE,AE平分∠CAD,AE⊥BE.
(1)若∠EBD=15°,求∠ADF;
(2
3、)求證:BE-AE=DF.
5. (2017重慶巴蜀一模)如圖,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)D為AC上一點(diǎn),連接BD,過C點(diǎn)作BD的垂線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE,過點(diǎn)A作AF⊥AE交BD于點(diǎn)F,連接CF.
(1)若CE=2,AE=,求BC的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),求證:CF=2CD.
第5題圖
6. 如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上,連接AD,過點(diǎn)B作BE⊥AD,垂足為E,交A
4、C于點(diǎn)F,連接CE.
(1)求證:△BCF≌△ACD;
(2)猜想∠BEC的度數(shù),并說明理由;
(3)探究線段AE,BE,CE之間滿足的等量關(guān)系,并說明理由.
第6題圖
答案
1. (1)解:在Rt△EDC中,
∵∠ECD=30°,
∴ED=EC=×4=2,
∴DC=EC·cos 30°=4×=2,
∴AE=2DC-ED=4-2,
∴S△AEC=×AE×DC=(4-2)×2=12-2;
(2)證明:如解圖,過A作AM⊥AH,交FG于點(diǎn)M,
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=90°,
又∵∠FAD=∠MAD
5、+∠FAM=90°,∴∠FAM=∠DAH,
∵AF∥CD,
∴∠F=∠EGD,
∵DH⊥EG,
∴∠DHE=∠HDG+∠EGD=90°,∠EDG=∠EDH+∠HDG=90°,
∴∠EGD=∠EDH,
∴∠F=∠EDH,
又∵AF=2CD,AD=2CD,
∴AF=AD,
∴△AFM≌△ADH(ASA),
∴AM=AH,F(xiàn)M=DH,
∴△MAH是等腰直角三角形,
∴MH=AH,
∵FH=MH+FM,
∴FH=AH+DH.
第1題解圖
2. (1)解:設(shè)AC與DE交于點(diǎn)F,如解圖①所示:
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形,AC⊥DE,AD=2,
∴BC=AC
6、,DE=AD=2,DF=DE=1,AF=CF,
∴AF==,
∴AC=2AF=2,
∴BC=2;
(2)證明:連接CE、GF,如解圖②所示:
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形,點(diǎn)B,D,E在同一條直線上.
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠AED=60°,
∴∠ADB=120°,∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠AEC=∠ADB=120°,
∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°,
∵CD⊥BE,
∴∠DCE=30°,
∴DE=CE,
∵點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn),點(diǎn)G為線段DC的中點(diǎn),
7、
∴FG∥BD,F(xiàn)G=BD,
∴FG∥DE,F(xiàn)G=DE,
∴四邊形DFGE是平行四邊形,
∴DF=EG.
第2題解圖
3. (1)解:設(shè)AC=CD=x.
在Rt△ACB中,AB=10,AC=x,BC=CD+BD=x+2,
∵AB2=AC2+BC2,
∴102=x2+(x+2)2,
解得x=6或-8(舍),
∴AC=6,BC=8.
∵·AC·BC=·AB·CE,
∴CE==.
(2)證明:如解圖,過點(diǎn)D作DH⊥CF于點(diǎn)H.
第3題解圖
∵∠ACD=∠AEC=∠DHC=90°,
∴∠ACE+∠CAE=90°,∵∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠CAE=∠D
8、CH,
在△ACE和△CDH中,
∴△ACE≌△CDH(AAS),
∴AE=CH,
在Rt△DHF中,
∵∠DHF=90°,∠F=30°,
∴HF=DF·cos 30°=DF,
∴CF=CH+HF=AE+DF.
4. (1)解:在△BGD和△AGE中,
∵∠BDG=∠AEG=90°,
∠BGD=∠AGE,
∴∠DBG=∠EAG,
∵∠DBG=15°,AE平分∠CAD,
∴∠DAC=30°,
∵AD=AF
∴∠ADF=75°,
(2)證明:如解圖,過D作DH⊥DE,交BE于點(diǎn)H,
第4題解圖
∵∠BDA=∠EDH=90°,
∴∠BDH=∠ADE,
在△
9、AED和△BHD中,,
∴△AED≌△BHD(ASA),
∴DE=DH,
∴△DHE為等腰直角三角形,
∴∠DEH=45°,
∴∠DEA=135°,
在△DAE和△FAE中,
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AED=∠AEF=135°,DE=EF,
∴DH=EF,
∴△DEF為等腰直角三角形,
∴四邊形HDFE為平行四邊形,
∴HE=DF,
∵BE-BH=HE,BH=AE,
∴BE-AE=DF.
5. (1)解:∵AB=AC,AB⊥AC,BE⊥CE,
∴∠BEC=∠BAC=90°,
∵∠ADB=∠CDE,
∴∠ABF=∠ACE,
∵∠BAC=∠FAE
10、=90°,
∴∠BAF=∠CAE,
∴△AFB≌△AEC(ASA),
∴BF=CE,AE=AF,
又∵在Rt△FAE中,AE=,
∴EF=3,
在Rt△BEC中,BE=BF+EF=2+3=5,CE=2,
∴BC==,
(2)證明:如解圖,過點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M,連接CM.
∴在Rt△ADM和Rt△CDE中,,
∴△ADM≌△CDE(AAS),
∴CE=AM,
在Rt△AMF中,∠AFD=45°,∠FAM=45°,
∴CE=AM=FM=ME,
∴∠EMC=45°,
∴∠FMC=∠AMC=135°,CM=CM,
∴△FMC≌△AMC(SAS),
∴CF=AC=2
11、CD.
第5題解圖
6. (1)證明:∵BE⊥AD,∠ACB=90°,
∴∠CBE=∠CAD=90°-∠D,
在△BCF和△ACD中,,
∴△BCF≌△ACD(ASA);
(2)解:∠BEC=45°,
理由:如解圖,取AB的中點(diǎn)M,連接CM,EM,
∵AC=BC,∠ACB=90°,BE⊥AD,
∴CM=EM=AM=BM=AB,
∴點(diǎn)A,B,C,E在同一個(gè)圓(⊙M)上,
∴∠BEC=∠BAC=45°;
(3)解:BE=AE+CE,
理由:作CG⊥CE交BE于點(diǎn)G,
∵∠BEC=45°,
則∠CGE=45°=∠BEC,CG=CE,
∴∠BGC=135°=∠AEC,EG=CE,
在△BCG和△ACE中,
∴△BCG≌△ACE(AAS),
∴BG=AE,
∴BE=BG+EG=AE+CE.
第6題解圖
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