2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)考點(diǎn)及題型 專題13 二次函數(shù)(含解析)
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1、專題13 二次函數(shù) 考點(diǎn)總結(jié) 【思維導(dǎo)圖】 【知識要點(diǎn)】 知識點(diǎn)一 二次函數(shù)的概念 概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a?,??b?,??c是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。 注意:二次項(xiàng)系數(shù)a≠0,而b?,??c可以為零. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征: ⑴ 等號左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2. ⑵ a?,b?,c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng). 1.(2017·甘肅中考模擬)下列函數(shù)中,是二次函數(shù)的有( ) ①y=1-2x2②y=1x2③y=x1-x④y=1-2x1+2x A.1個(gè) B.
2、2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【答案】C 【詳解】 ①y=1?2x2=?2x2+1,是二次函數(shù); ②y=1x2,分母中含有自變量,不是二次函數(shù); ③y=x(1?x)=?x2+x,是二次函數(shù); ④y=(1?2x)(1+2x)=?4x2+1,是二次函數(shù). 二次函數(shù)共三個(gè), 故答案選C. 2.(2013·湖南中考真題)下列函數(shù)是二次函數(shù)的是( ) A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y=12x-2 【答案】C 【詳解】 根據(jù)二次函數(shù)的定義,形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù),所給函數(shù)中是二次函數(shù)
3、的是y=x2+2。故選C。 3.(2018·安徽中考模擬)下列函數(shù)不屬于二次函數(shù)的是(?? ) A.y=x-1x+2 B. C.y=1-3x2 D. 【答案】D 【詳解】 把每一個(gè)函數(shù)式整理為一般形式, A、y=x-1x+2=x2+x-2,是二次函數(shù),正確; B、=12x2+x+12,是二次函數(shù),正確; C、y=1-3x2,是二次函數(shù),正確; D、=2x2+12x+18-2x2=12x+18,這是一個(gè)一次函數(shù),不是二次函數(shù), 故選D. 4.(2018·上海中考模擬)下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是( ?。? A.y=2(x﹣1) B.y=(x﹣1)2﹣x2 C.y=a(x﹣1
4、)2 D.y=2x2﹣1 【答案】D 【詳解】 A、y=2x﹣2,是一次函數(shù), B、y=(x﹣1)2﹣x2=﹣2x+1,是一次函數(shù), C、當(dāng)a=0時(shí),y=a(x﹣1)2不是二次函數(shù), D、y=2x2﹣1是二次函數(shù). 故選D. 考查題型一 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 1.(2018·廣東中考模擬)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表: x … -5 -4 -3 -2 -1 0 … y … 4 0 -2 -2 0 4 … 下列說法正確的是( ) A.拋物線的開口向下 B.當(dāng)x>-3時(shí),y隨x的增大而增大 C.二次
5、函數(shù)的最小值是-2 D.拋物線的對稱軸是直線x=-52 【答案】D 【詳解】 將點(diǎn)(?4,0)、(?1,0)、(0,4)代入到二次函數(shù)y=ax2+bx+c中, 得:0=16a-4b+c0=a-b+c4=c,解得:a=1b=5c=4, ∴二次函數(shù)的解析式為y=x 2+5x+4. A.?a=1>0,拋物線開口向上,A不正確; B.??b2a=?52,當(dāng)x??52時(shí),y隨x的增大而增大,B不正確; C.?y=x2+5x+4=(x+52) 2?94,二次函數(shù)的最小值是?94,C不正確; D.??b2a=?52,拋物線的對稱軸是x=?52,D正確. 故選D. 2.(2018·上海中
6、考模擬)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表: x … -1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 那么關(guān)于它的圖象,下列判斷正確的是( ) A.開口向上 B.與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(3,0) C.與y軸交于負(fù)半軸 D.在直線x=1的左側(cè)部分是下降的 【答案】B 【詳解】 A、由表格知,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4).故設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+4. 將(﹣1,0)代入,得 a(﹣1﹣1)2+4=0, 解得a=﹣2. ∵a=﹣2<0, ∴拋物線的開口方向向下, 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; B
7、、拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(﹣1,0),對稱軸是x=1,則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(3,0),故本選項(xiàng)正確; C、由表格知,拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3),即與y軸交于正半軸,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; D、拋物線開口方向向下,對稱軸為x=1,則在直線x=1的左側(cè)部分是上升的,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; 故選:B. 考查題型二 根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)值 1.(2012·山東中考真題)拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過點(diǎn)(2,4),則代數(shù)式8a+4b+1的值為( ) A.3 B.9 C.15 D.-15 【答案】C 【詳解】 ∵拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過點(diǎn)(2,4),∴4=4
8、a+2b-3,即4a+2b=7。 ∴8a+4b+1=2(4a+2b)+1=2×7+1=15。故選C。 2.(2018·安徽中考模擬)已知函數(shù)y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1. (1)若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù),求m的值; (2)若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù),則m的值應(yīng)怎樣? 【答案】(1)、m=0;(2)、m≠0且m≠1. 【詳解】 解:(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義,得:m2﹣m=0 解得m=0或m=1 又∵m﹣1≠0即m≠1; ∴當(dāng)m=0時(shí),這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù); (2)根據(jù)二次函數(shù)的定義,得:m2﹣m≠0 解得m1≠0,m2≠1 ∴當(dāng)m1≠0,m2≠1時(shí),這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)
9、. 知識點(diǎn)2:二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(重點(diǎn)) 二次函數(shù)的基本表現(xiàn)形式: ①y=ax2;②y=ax2+k;③y=ax-h2;④y=ax-h2+k;⑤y=ax2+bx+c. a的符號 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) a>0 向上 0?,??0 y軸 x>0時(shí),y隨x的增大而增大;x<0時(shí),y隨x的增大而減??;x=0時(shí),y有最小值0. a<0 向下 0?,??0 y軸 x>0時(shí),y隨x的增大而減??;x<0時(shí),y隨x的增大而增大;x=0時(shí),y有最大值0. 第一種:二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)(最基礎(chǔ)) 1.(2019·遼寧中考模擬)下列關(guān)于二次函數(shù)的說法正確的是(
10、 ) A.它的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2) B.它的圖象的對稱軸是直線x=2 C.當(dāng)時(shí),y隨x的增大而減小 D.當(dāng)x=0時(shí),y有最大值為0 【答案】C 【詳解】 A. 它的圖象經(jīng)過點(diǎn)-1,2,A錯(cuò)誤; B. 它的圖象的對稱軸是直線x=0,B錯(cuò)誤; C. 當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小,正確; D. 當(dāng)x=0時(shí),y有最小值為0,D錯(cuò)誤. 2.(2019·山東中考模擬)給出下列函數(shù):①y=2x﹣3;②y=1x;③y=2x2;④y=﹣3x+1.上述函數(shù)中符合條件“當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)值y隨自變量x增大而減小”的是( ?。? A.①③ B.③④ C.②④ D.②③ 【答案】C 【詳解
11、】 ①y=2x﹣2,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)值y隨自變量x增大而增大,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤; ②y=1x,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)值y隨自變量x增大而減小,故此選項(xiàng)正確; ③y=2x2,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)值y隨自變量x增大而增大,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤; ④y=﹣3x,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)值y隨自變量x增大而減小,故此選項(xiàng)正確; 故選C. 第二種:二次函數(shù)y=ax2+c的性質(zhì) a的符號 開口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對稱軸 性質(zhì) a>0 向上 0?,??c y軸 x>0時(shí),y隨x的增大而增大;x<0時(shí),y隨x的增大而減?。粁=0時(shí),y有最小值c. a<0 向下 0?,??c y軸 x>0時(shí),y隨x的增
12、大而減?。粁<0時(shí),y隨x的增大而增大;x=0時(shí),y有最大值c. 1.(2013·江蘇中考模擬)關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+3,下列說法中正確的是 ( ) A.它的開口方向是向下 B.當(dāng)x<-1時(shí),y隨x的增大而減小 C.它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,3) D.當(dāng)x=0時(shí),y有最大值是3 【答案】B 【詳解】 A、∵a=2>0,故它的開口方向是向上,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤; B、在y軸左側(cè),y隨x的增大而減小,故當(dāng)x<﹣1時(shí),y隨x的增大而減小,正確; C、它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤; D、當(dāng)x=0時(shí),y有最小值是3,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤; 故選:B. 2.(2017·黑龍江中考
13、模擬)二次函數(shù)y=2x2-3的圖象是一條拋物線,下列關(guān)于該拋物線的說法正確的是( ) A.拋物線開口向下 B.拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) C.拋物線的對稱軸是直線x =1 D.拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,3) 【答案】B 【詳解】 A、a=2,則拋物線y=2x2-3的開口向上,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤; B、當(dāng)y=0時(shí),2x2-3=0,此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,即拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),所以B選項(xiàng)正確; C、拋物線的對稱軸為直線x=0,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤; D、當(dāng)x=2時(shí),y=2×4-3=5,則拋物線不經(jīng)過點(diǎn)(2,3),所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤, 故選B. 3.(2019·山東中考真題)已知拋物線y=-x
14、2+1,下列結(jié)論: ①拋物線開口向上; ②拋物線與x軸交于點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(1,0); ③拋物線的對稱軸是y軸; ④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1); ⑤拋物線y=-x2+1是由拋物線y=-x2向上平移1個(gè)單位得到的. 其中正確的個(gè)數(shù)有( ) A.5個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè) 【答案】B 【詳解】 ①∵a=-1<0,∴拋物線開口向下,故本小題錯(cuò)誤; ②令y=0,則-x2+1=0,解得x1=1,x2=-1,所以,拋物線與x軸交于點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(1,0),故本小題正確; ③拋物線的對稱軸x=-b2a=0,是y軸,故本小題正確; ④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1),故
15、本小題正確; ⑤拋物線y=-x2+1是由拋物線y=-x2向上平移1個(gè)單位得到,故本小題正確; 綜上所述,正確的有②③④⑤共4個(gè). 故選B. 4.(2018·河北中考模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=﹣x2+2x.點(diǎn)D(n,y1),E(3,y2)在拋物線上,若y1<y2,則n的取值范圍是( ?。? A.n>3或n<﹣1 B.n>3 C.n<1 D.n>3或n<1 【答案】A 【詳解】 解:∵拋物線y=﹣x2+2x的對稱軸為x=1, E(3,y2)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)(﹣1,y2), ∵拋物線開口向下, ∴y1<y2時(shí),n>3或n<﹣1, 故選:A. 第三種:二次函數(shù)
16、y=ax-h2的性質(zhì)
a的符號
開口方向
頂點(diǎn)坐標(biāo)
對稱軸
性質(zhì)
a>0
向上
h?,??0
X=h
x>h時(shí),y隨x的增大而增大;x 17、稱軸x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),函數(shù)有最大值0,
故選項(xiàng)A、B、C正確, 選項(xiàng)D錯(cuò)誤,
故選D.
2(2019·湖北中考模擬)關(guān)于二次函數(shù)y=12 (x+1)2的圖象,下列說法正確的是( )
A.開口向下 B.經(jīng)過原點(diǎn)
C.對稱軸右側(cè)的部分是下降的 D.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣1,0)
【答案】D
【詳解】
二次函數(shù)y=12 (x+1)2中a=12>0,所以拋物線開口向上,
當(dāng)x=0時(shí),y=12,所以圖象不經(jīng)過原點(diǎn),
因?yàn)閽佄锞€開口向上,所以在對稱軸右側(cè)的部分是上升的,
由解析式可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),
所以選項(xiàng)A、B、C是錯(cuò)誤的,D是正確的,
故選D.
3(2 18、019·山東中考模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=a(x-h)2(a≠0)的圖象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【詳解】
二次函數(shù)(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,0),它的頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上,
故選D.
第四種:二次函數(shù)y=ax-h2+k的性質(zhì)
a的符號
開口方向
頂點(diǎn)坐標(biāo)
對稱軸
性質(zhì)
a>0
向上
h?,??k
X=h
x>h時(shí),y隨x的增大而增大;x 19、數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成:
y=ax-h2+k的形式,其中h=-b2a,k=4ac-b24a.
1.2019·廣東中考模擬)關(guān)于拋物線y=2(x-1)2+1,下列說法錯(cuò)誤的是( ).
A.開口向上 B.與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)
C.對稱軸是直線x=1 D.當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大
【答案】B
【詳解】
解:A、a=2>0,拋物線開口向上,所以A選項(xiàng)的說法正確;
B、當(dāng)y=0時(shí),即2(x﹣1)2+1=0,此方程沒有實(shí)數(shù)解,所以拋物線與x軸沒有交點(diǎn),所以B選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤;
C、拋物線的對稱軸為直線x=1,所以C選項(xiàng)的說法正確;
D、拋物線開口向上,拋物線的對稱 20、軸為直線x=1,則當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大,所以D選項(xiàng)的說法正確.
故選:B.
2.2019·廣西中考模擬)將y=x2-6x+1化成y=(x-h)2+k的形式,則h+k的值是( )
A.-5 B.-8 C.-11 D.5
【答案】A
【詳解】
解:∵y=x2-6x+1=(x-3)2-8,
∴(x-3)2-8=a(x-h)2+k,
∴a=1,h=3,k=-8,
∴h+k=3+(-8)=-5.
故選:A.
3(2019·江蘇中考模擬)已知二次函數(shù)y=(x﹣h)2+1(h為常數(shù)),在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下,與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5,則h的值為( 21、)
A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3
【答案】B
【詳解】
∴①若h<1≤x≤3,x=1時(shí),y取得最小值5,
可得:(1﹣h)2+1=5,
解得:h=﹣1或h=3(舍);
②若1≤x≤3<h,當(dāng)x=3時(shí),y取得最小值5,
可得:(3﹣h)2+1=5,
解得:h=5或h=1(舍).
綜上,h的值為﹣1或5,
故選:B.
二次函數(shù)圖象的平移
平移步驟:
? 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax-h2+k,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h?,??k;
? 保持拋物線y=ax2的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到h?,??k處,具體平移方法如下:
平移規(guī)律
在原有函數(shù)的基 22、礎(chǔ)上“h值正右移,負(fù)左移;k值正上移,負(fù)下移”.
【概括】左加右減,上加下減
1.(2019·遼寧中考模擬)將拋物線y=3x2向上平移3個(gè)單位,再向左平移2個(gè)單位,那么得到的拋物線的解析式為( )
A.V=-12x+94 B.P=Vx=-12x+94x=-12x2+94x
C.-12x-942+4418 D.
【答案】A
【詳解】
將拋物線y=3x2向上平移3個(gè)單位,再向左平移2個(gè)單位,根據(jù)拋物線的平移規(guī)律可得新拋物線的解析式為V=-12x+94,故答案選A.
2.(2017·鄒平鎮(zhèn)第三中學(xué)中考模擬)把拋物線y=-12x2向下平移1個(gè)單位長度,再向左平移1個(gè)單位長度,得 23、到的拋物線解析式為( )
A.y=-12 (x+1)2+1 B.y=-12 (x+1)2-1
C.y=-12 (x-1)2+1 D.y=-12 (x-1)2-1
【答案】B
【詳解】
根據(jù)拋物線的平移規(guī)律“左加右減,上加下減”,可直接求得平移后的拋物線的解析式為:y=-12(x+1)2-1.
3.(2017·廣東中考模擬)把拋物線y=x2+4先向左平移1個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,所得拋物線的表達(dá)式為( )
A.y=(x+1)2+7 B.y=(x-1)2+7 C.y=(x-1)2+1 D.y=(x+1)2+1
【答案】D
【詳解】
把拋物線y=x2+4先向左平 24、移1個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位所得新拋物線的解析式為:y=(x+1)2+1.
故選D.
4.(2018·山東中考模擬)將二次函數(shù)y=x2+2x﹣1的圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位長度,得到的函數(shù)表達(dá)式是( ?。?
A.y=(x+3)2﹣2 B.y=(x+3)2+2
C.y=(x﹣1)2+2 D.y=(x﹣1)2﹣2
【答案】D
【詳解】
∵y=x2+2x-1=(x+1)2-2,
∴二次函數(shù)y=x2+2x-1的圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位長度,得到的函數(shù)表達(dá)式是:y=(x+1-2)2-2=(x-1)2-2,
故選D.
5.(2019·浙江中考模擬)將拋物線y=2(x﹣4) 25、2﹣1先向左平移4個(gè)單位長度,再向上平移2個(gè)單位長度,平移后所得拋物線的解析式為( )
A.y=2x2+1 B.y=2x2﹣3
C.y=2(x﹣8)2+1 D.y=2(x﹣8)2﹣3
【答案】A
【詳解】拋物線y=2(x-4)2-1先向左平移4個(gè)單位長度,得到的拋物線解析式為y=2(x-4+4)2-1,即y=2x2-1,再向上平移2個(gè)單位長度得到的拋物線解析式為y=2x2-1+2,即y=2x2+1;
故選:A
拋物線y=ax2+bx+c的三要素:開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).
求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法(難點(diǎn))
n 公式法:y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac-b24a, 26、
∴頂點(diǎn)是(-b2a,4ac-b24a),對稱軸是直線x=-b2a.
n 配方法:運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為y=ax-h2+k的形式,得到頂點(diǎn)為(h,k),對稱軸是直線x=h.
【拋物線的性質(zhì)】由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形,所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸,對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).
用配方法求得的頂點(diǎn),再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證,才能做到萬無一失.
拋物線y=ax2+bx+c中,a,b,c與函數(shù)圖像的關(guān)系(靈活掌握)
n 二次項(xiàng)系數(shù)a
二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,a作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然a≠0.
⑴ 當(dāng)a>0時(shí),拋物線開口向上,a越大,開口越 27、小,反之a(chǎn)的值越小,開口越大;
⑶ 當(dāng)a<0時(shí),拋物線開口向下,a越小,開口越小,反之a(chǎn)的值越大,開口越大.
【總結(jié)起來】a決定了拋物線開口的大小和方向,a的正負(fù)決定開口方向,a的大小決定開口的大?。?
n 一次項(xiàng)系數(shù)b
在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對稱軸.
⑴ 在a>0的前提下,
當(dāng)b>0時(shí),-b2a<0,即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)(a、b同號);
當(dāng)b=0時(shí),-b2a=0,即拋物線的對稱軸就是y軸;
當(dāng)b<0時(shí),-b2a>0,即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)(a、b異號).
⑵ 在a<0的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即
當(dāng)b>0時(shí),-b2a>0,即拋物線的 28、對稱軸在y軸右側(cè)(a、b異號);
當(dāng)b=0時(shí),-b2a=0,即拋物線的對稱軸就是y軸;
當(dāng)b<0時(shí),-b2a<0,即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)(a、b同號).
【總結(jié)起來】在a確定的前提下,b決定了拋物線對稱軸的位置.
n 常數(shù)項(xiàng)c
⑴ 當(dāng)c>0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;
⑵ 當(dāng)c=0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;
⑶ 當(dāng)c<0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).
【總結(jié)起來】c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.
總之,只要a?,??b?,??c都確定,那么這條拋物線就是唯一 29、確定的.
1(2018·天津中考模擬)如圖,拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)的對稱軸為直線x=1,如果關(guān)于x的方程ax2+bx﹣8=0(a≠0)的一個(gè)根為4,那么該方程的另一個(gè)根為( )
A.﹣4 B.﹣2 C.1 D.3
【答案】B
【詳解】
∵關(guān)于x的方程ax2+bx-8=0有一個(gè)根為4,
∴拋物線y=ax2+bx-8與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(4,0),
拋物線y=ax2+bx+3a≠0的對稱軸為直線x=1,
∴拋物線y=ax2+bx-8的對稱軸也是x=1,
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為-2,0,
∴方程的另一個(gè)根為x=-2.
故選B.
2(2019· 30、許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考模擬)如圖是二次函數(shù)的部分圖象,由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.-1 31、x2+bx+c﹣4=0的根的情況是( )
A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)異號的實(shí)數(shù)根
C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根
【答案】A
【詳解】
∵函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,
∴直線y=4與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),
∴方程ax2+bx+c﹣4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
故選A.
考查題型三 二次函數(shù)函數(shù)值大小的判斷方法
1.(2019·湖北中考真題)已知點(diǎn)A-1,m,B1,m,C2,m-nn>0在同一個(gè)函數(shù)的圖象上,這個(gè)函數(shù)可能是( )
A.y=x B.y=-2x C.y=x2 D.y=﹣x2
【答案】D
【詳解】
A-1,m,B1,m
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于 32、y軸對稱;
由于y=x,y=-2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,因此選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤;
∵n>0,
∴m﹣n<m;
由B1,m,C2,m-n可知,在對稱軸的右側(cè),y隨x的增大而減小,
對于二次函數(shù)只有a<0時(shí),在對稱軸的右側(cè),y隨x的增大而減小,
∴D選項(xiàng)正確
故選D.
2.(2019·江蘇中考模擬)已知二次函數(shù)y=a(x-2)2+c,當(dāng)x=x1時(shí),函數(shù)值為y1;當(dāng)x=x2時(shí),函數(shù)值為y2,若|x1-2|>|x2-2|,則下列表達(dá)式正確的是( )
A.y1+y2>0 B.y1-y2>0 C.a(chǎn)(y1-y2)>0 D.a(chǎn)(y1+y2)>0
【答案】C
【詳解】
解:①a>0時(shí) 33、,二次函數(shù)圖象開口向上,
∵|x1﹣2|>|x2﹣2|,
∴y1>y2,
a(y1﹣y2)>0,
②a<0時(shí),二次函數(shù)圖象開口向下,
∵|x1﹣2|>|x2﹣2|,
∴y1<y2,
a(y1﹣y2)>0,
綜上所述,表達(dá)式正確的是a(y1﹣y2)>0.
故選:C.
3.(2019·河南中考模擬)點(diǎn)P1-1,y1,P23,y2,P35,y3均在二次函數(shù)y=-x2+2x+c的圖象上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是______.
【答案】y1=y2>y3
【詳解】
解:∵y=-x2+2x+c,
∴對稱軸為x=1,
P23,y2,P35,y3在對稱軸的右側(cè),y隨x的增大而 34、減小,
∵3<5,
∴y2>y3,
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知,P1-1,y1與3,y1關(guān)于對稱軸對稱,
故y1=y2>y3,
故答案為:y1=y2>y3.
考查題型四 求拋物線頂點(diǎn)、對稱軸的方法
1.(2019·浙江中考模擬)關(guān)于拋物線y=12(x+2)2+3,下列說法正確的是( )
A.對稱軸是直線x=2,y有最小值是3 B.對稱軸是直線a=-1,y有最大值是3
C.對稱軸是直線x=2,y有最大值是3 D.對稱軸是直線a=-1,y有最小值是3
【答案】D
【詳解】
解:拋物線y=12(x+2)2+3的圖像開口向上
∵函數(shù)圖像對稱軸為直線x=-2,
∴x=- 35、2時(shí)有最小值3,
故選:D.
2.(2016·浙江中考模擬)對于二次函數(shù)y=(x﹣1)2+2的圖象,下列說法正確的是( ?。?
A.開口向下 B.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)
C.對稱軸是x=﹣1 D.與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
【答案】B
【詳解】
A、y=(x﹣1)2+2,知a=1>0,因此圖象的開口向上,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、y=(x﹣1)2+2頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),此選項(xiàng)正確;
C、對稱軸是直線x=1,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、(x﹣1)2+2=0,(x﹣1)2=﹣2,此方程無解,與x軸沒有交點(diǎn),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D、由y=(x﹣1)2+2=x2-2x+3,可得△=b2-4ac=4-1 36、2=-8,沒有交點(diǎn),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:B
3.(2019·江蘇中考模擬)關(guān)于函數(shù)y=﹣(x+2)2﹣1的圖象敘述正確的是( )
A.開口向上 B.頂點(diǎn)(2,﹣1)
C.與y軸交點(diǎn)為(0,﹣1) D.對稱軸為直線x=﹣2
【答案】D
【詳解】
∵函數(shù)y=-(x+2)2-1,
∴該函數(shù)圖象開口向下,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤,
頂點(diǎn)坐標(biāo)為-2,-1,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤,
當(dāng)x=0時(shí),y=-5,即該函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,-5,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,
對稱軸是直線x=-2,故選項(xiàng)D正確,
故選:D
4.(2019·山東中考模擬)拋物線y=mx2+2mx+1(m為非零實(shí)數(shù))的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_____ 37、________.
【答案】-1,1-m
【詳解】y=mx2+2mx+1
=m(x2+2x)+1
=m(x2+2x+1-1)+1
=m(x+1)2 +1-m,
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,1-m),
故答案為(-1,1-m).
考查題型五 拋物線對稱性的應(yīng)用
1.(2018·普定縣白巖鎮(zhèn)白巖中學(xué)中考模擬)將拋物線y=x2﹣1向下平移8個(gè)單位長度后與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為( ?。?
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】B
【詳解】將拋物線y=x2-1向下平移8個(gè)單位長度,
其解析式變換為:y=x2-9
而拋物線y=x2-9與x軸的交點(diǎn)的縱坐 38、標(biāo)為0,
所以有:x2-9=0
解得:x1=-3,x2=3,
則拋物線y=x2-9與x軸的交點(diǎn)為(-3,0)、(3,0),
所以,拋物線y=x2-1向下平移8個(gè)單位長度后與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6
故選B
2(2018·山東中考模擬)若二次函數(shù)α,β的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),那么m的值為( )
A.0 B.0或2 C.2或﹣2 D.0,2或﹣2
【答案】D
【詳解】
當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí),則m=0;當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí),則(m+2)2-4m(12m+1)=0,解得:m=±2.綜上所述,m=0或2或-2.
3.(2014·黑龍江中考真題)如圖,拋物線y=ax2+2x+c經(jīng) 39、過點(diǎn)A(0,3),B(﹣1,0),請解答下列問題:
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,對稱軸與x軸交于點(diǎn)E,連接BD,求BD的長.
注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣,).
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)BD=.
【詳解】
(1)∵拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,3),B(﹣1,0),
∴將A與B坐標(biāo)代入得:,
解得:,
則拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)由D為拋物線頂點(diǎn),得到D(1,4),
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)E,
∴DE=4,OE=1,
∵B(﹣1,0),
∴BO=1, 40、
∴BE=2,
在Rt△BED中,根據(jù)勾股定理得:BD=.
考查題型六 二次函數(shù)圖象特征與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用方法
1.(2019·陜西中考模擬)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,m)、(4、m)、(1,n),若n<m,則( )
A.a(chǎn)>0且4a+b=0 B.a(chǎn)<0且4a+b=0
C.a(chǎn)>0且2a+b=0 D.a(chǎn)<0且2a+b=0
【答案】A
【詳解】
∵圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,m)、(4、m)
∴對稱軸為x=2,
則-b2a=2,
∴4a+b=0
∵圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,n),且n<m
∴拋物線的開口方向向上,
∴a>0,
故選A.
2.(2019·廣 41、東中考模擬)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點(diǎn)A(﹣5,0),對稱軸為直線x=﹣2,給出四個(gè)結(jié)論:①abc>0;②4a+b=0;③若點(diǎn)B(﹣3,y1)、C(﹣4,y2)為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則y2<y1;④a+b+c=0.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【詳解】
由圖象可知:開口向下,故a<0,
拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方,故c>0,
∵對稱軸x=﹣b2a<0,
∴b<0,
∴abc>0,故①正確;
∵對稱軸為x=﹣2,
∴﹣b2a=﹣2,
∴b=4a,
∴4a﹣b=0,故②不正確;
當(dāng)x<﹣2時(shí), 42、
此時(shí)y隨x的增大而增大,
∵﹣3>﹣4,
∴y1>y2,故③正確;
∵圖象過點(diǎn)A(﹣5,0),對稱軸為直線x=﹣2,
∴點(diǎn)A關(guān)于x=﹣2對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為:(1,0)
令x=1代入y=ax2+bx+c,
∴y=a+b+c=0,故④正確
故選:C.
4.(2013·廣西中考真題)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,給出以下結(jié)論:①b2>4ac;②abc>0;③2a﹣b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中結(jié)論正確的是 ?。ㄌ钫_結(jié)論的序號)
【答案】①②⑤
【詳解】
①由圖知:拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則△=b2﹣4ac>0,∴b 43、2>4ac。故①正確。
②拋物線開口向上,得:a>0;
拋物線的對稱軸為x=-b2a=1,b=﹣2a,故b<0;
拋物線交y軸于負(fù)半軸,得:c<0;
所以abc>0。故②正確。
③∵拋物線的對稱軸為x=-b2a=1,b=﹣2a,∴2a+b=0,故2a﹣b=0。故③錯(cuò)誤。
④根據(jù)②可將拋物線的解析式化為:y=ax2﹣2ax+c(a≠0);
由函數(shù)的圖象知:當(dāng)x=﹣2時(shí),y>0;即4a﹣(﹣4a)+c=8a+c>0,故④錯(cuò)誤。
⑤根據(jù)拋物線的對稱軸方程可知:(﹣1,0)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是(3,0);
當(dāng)x=﹣1時(shí),y<0,所以當(dāng)x=3時(shí),也有y<0,即9a+3b+c<0。故⑤正 44、確。
綜上所述,結(jié)論正確的有①②⑤。
知識點(diǎn)三 拋物線與x軸的交點(diǎn)
二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2,是對應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定:
①有兩個(gè)交點(diǎn)?Δ>0?拋物線與x軸相交;
②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)?Δ=0?拋物線與x軸相切;
③沒有交點(diǎn)?Δ<0?拋物線與x軸相離.
考查題型七 利用二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)判斷字母的值范圍的方法
1.(2018·湖北中考真題)已知二次函數(shù)y=x2﹣x+14m﹣1的圖象與x軸有交點(diǎn),則m的 45、取值范圍是( ?。?
A.m≤5 B.m≥2 C.m<5 D.m>2
【答案】A
【詳解】∵二次函數(shù)y=x2﹣x+14m﹣1的圖象與x軸有交點(diǎn),
∴△=(-1) 2-4×1×(14 m-1)≥0,
解得:m≤5,
故選A.
考查題型八 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式綜合應(yīng)用的方法
1.(2012·江蘇中考模擬)若二次函數(shù)y=(x-m)2-1,當(dāng)x≤1時(shí),y隨x的增大而減小,則m的取值范圍是( )
A.m=1 B.m>1 C.m≥1 D.m≤1
【答案】C
【詳解】
∵二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=(x-m)2-1的二次項(xiàng)系數(shù)是1,
∴該二次函數(shù)的開口方向是向上;
又∵該 46、二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m,-1),
∴該二次函數(shù)圖象在x<m上是減函數(shù),即y隨x的增大而減小,且對稱軸為直線x=m,
而已知中當(dāng)x≤1時(shí),y隨x的增大而減小,
∴x≤1,
∴m≥1.
故選C.
2.(2017·江蘇中考模擬)若二次函數(shù)y=(x﹣m)2﹣1,當(dāng)x≤3時(shí),y隨x的增大而減小,則m的取值范圍是( ?。?
A.m=3 B.m>3 C.m≥3 D.m≤3
【答案】C
【詳解】
∵a=1>0,
∴在對稱軸的左側(cè),y隨x的增大而減小,
∵y=(x﹣m)2﹣1的對稱軸是x=m,
∴m≥3.
故選C.
3.(2019·四川中考真題)如圖,拋物線
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