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1、2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 周期問題
專題簡析:
在日常生活中,有一些按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)的現(xiàn)象,如:人的十二生肖,一年有春夏秋冬四個季節(jié),一個星期七天等等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問題,我們稱為簡單周期問題。這類問題一般要利用余數(shù)的知識來解答。
在研究這些簡單周期問題時,我們首先要仔細(xì)審題,判斷其不斷重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律,也就是找出循環(huán)的固定數(shù),然后利用除法算式求出余數(shù),最后根據(jù)余數(shù)得出正確的結(jié)果。
例題1 小丁把同樣大小的紅、白、黑珠子按先2個紅的、后1個白的、再3個黑的的規(guī)律排列(如下圖),請你算一算,第32個珠子是什么顏色?
從上圖可以看出,珠子是
2、按“兩紅一白三黑”的規(guī)律重復(fù)排列,即6個珠子為一周期。32÷6=5(組)……2(個),32個珠子中含有5個周期多2個,所以第32個珠子就是重復(fù)5個周期后的第2個珠子,應(yīng)為紅色。
練 習(xí) 一
1.如圖,算出第20個圖形是什么?
○△△□□□○△△□□□○△△……
2.“數(shù)學(xué)趣味題數(shù)學(xué)趣味題……”依次重復(fù)排列,第xx個字是什么?
3.把38面小三角旗按下圖排列,其中有多少面白旗?
例題2 2001年10月1日是星期一,問:10月25日是星期幾?
思路導(dǎo)航:我們知道,每星期有7天,也就是說以7天為一個周期不斷地重復(fù)。從10月1日到10月25日經(jīng)過25-1=24
3、天,24÷7=3(星期)……3(天),說明24天中包括3個星期還多3天。所以從10月1日開始過3個星期,最后一天還是星期一,從這最后一天起再過3天就應(yīng)是星期四。
練 習(xí) 二
1.2001年5月3日是星期四,5月20日是星期幾?
2.2001年8月1日是星期三,8月28日是星期幾?
3.2001年6月1日是星期五,9月1日是星期幾?
例題3 100個3相乘,積的個位數(shù)字是幾?
思路導(dǎo)航:這道題我們只考慮積的個位數(shù)字的排列規(guī)律。1個3,積的個位是3;2個3相乘積的個位數(shù)字是9;3個3相乘積的個位數(shù)字是7;4個3相乘積的個位數(shù)字是1;5個3相乘積的個位數(shù)字是3……可以發(fā)現(xiàn),積的個位
4、數(shù)字分別以3、9、7、1不斷重復(fù)出現(xiàn),即每4個3積的個位數(shù)字為一周期。100÷4=25(個),因此100個3相乘積的個位數(shù)字是第25個周期中的最后一個,即是1。
練 習(xí) 三
1.23個3相乘,積的個位數(shù)字是幾?
2.100個2相乘,積的個位數(shù)字是幾?
3.50個7相乘,積的個位數(shù)字是幾?
例題4 有一列數(shù)按“432791864327918643279186……”排列,那么前54個數(shù)字之和是多少?
思路導(dǎo)航:上面一列數(shù)中,從第1個數(shù)字開始重復(fù)出現(xiàn)的部分是“43279186”,周期數(shù)是8。要求出這列數(shù)字的和,就要先求出這列數(shù)里共有多少組“43279186”。
54÷8=6(組)
5、……6(個)
因此,前6組數(shù)字和是(4+3+2+7+9+1+8+6)×6=240,余下6個數(shù)字之和是4+3+2+7+9+1=26。所以,這列數(shù)中前54個數(shù)字之和是240+26=266。
練 習(xí) 四
1.一列數(shù)按“294736294736294……”排列,那么前40個數(shù)字之和是多少?
2.有一列數(shù)按“9453672945367294……”排列,那么前50個數(shù)字之和是多少?
3.有一列數(shù)“7231652316523165……”,請問從左起第2個數(shù)字到第25個數(shù)字之間(含第2個與第25個數(shù)字)所有數(shù)字的和是多少?
例題5 小紅買了一本童話書,每兩頁文字之間有3頁插圖,也就是說3頁插
6、圖前后各有1頁文字。如果這本書有128頁,而第1頁是文字,這本童話書共有插圖多少頁?
思路導(dǎo)航:已知這本童話書3頁插圖前后各有1頁文字,也就是說這本書是按“1頁文字3頁插圖“的規(guī)律重復(fù)排列的,把“1頁文字3頁插圖”看作一周期,128頁中含有128÷(1+3)=32個周期,所以這本童話書共有插圖3×32=96頁。
練 習(xí) 五
1.校門口擺了一排花,每兩盆菊花之間擺3盆月季,共擺了112盆花。如果第一盆花是菊花,那么共擺了多少盆月季花?
2.同學(xué)們做早操,36個同學(xué)排成一列,每兩個女生中間是兩個男生,第一個是女生,這列隊伍中男生有多少人?
3.一個圓形花輔周圍長30米,沿周圍每隔3米
7、插一面紅旗,每兩面紅旗中間插兩面黃旗?;ㄝo周圍共插了多少面黃旗?
附送:
2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 和倍應(yīng)用題
小學(xué)數(shù)學(xué)中有各種各樣的應(yīng)用題。根據(jù)它們的結(jié)構(gòu)形式和數(shù)量關(guān)系,形成了一些用特定方法解答的典型應(yīng)用題。比如,和倍應(yīng)用題、差倍應(yīng)用題、和差應(yīng)用題等等。
和倍應(yīng)用題的基本“數(shù)學(xué)格式”是:
已知大、小二數(shù)的“和”,又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍,求大、小二數(shù)各是多少。
上面的問題中有“和”,有“倍數(shù)”,所以叫做和倍應(yīng)用題。為了清楚地表示和倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系,畫出線段圖如下:
從線段圖知,“和”是小數(shù)的(倍數(shù)+1)倍,所以,
小數(shù)=
8、和÷(倍數(shù)+1)。
上式稱為和倍公式。由此得到
大數(shù)=和-小數(shù),
或 大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。
例如,大、小二數(shù)的和是265,大數(shù)是小數(shù)的4倍,則
小數(shù)=265÷(4+1)=53,
大數(shù)=265-53=212或53×4=212。
例1 甲、乙兩倉庫共存糧264噸,甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的10倍。甲、乙兩倉庫各存糧多少噸?
分析:把甲倉庫存糧數(shù)看成“大數(shù)”,乙倉庫存糧數(shù)看成“小數(shù)”,此例則是典型的和倍應(yīng)用題。根據(jù)和倍公式即可求解。
解:乙倉庫存糧 264÷(10+1)=24(噸),甲倉庫存糧
264-24=240(噸),
或
24×10=
9、240(噸)。
答:乙倉庫存糧24噸,甲倉庫存糧240噸。
例2 甲、乙兩輛汽車在相距360千米的兩地同時出發(fā),相向而行,2時后兩車相遇。已知甲車的速度是乙車速度的2倍。甲、乙兩輛汽車每小時各行多少千米?
分析:已知甲車速度是乙車速度的2倍,所以“1倍”數(shù)是乙車的速度?,F(xiàn)只需知道甲、乙汽車的速度和,就可用“和倍公式”了。由題意知兩輛車 2時共行 360千米,故1時共行 360÷2=180(千米),這就是兩輛車的速度和。
解:乙車的速度為
(360÷2)÷(2+1)= 60(千米/時),
甲車的速度為
60×2=20(千米/時),或180-60=120(千米/時
10、)。
答:甲車每時行120千米,乙車每時行60千米。
從上面兩道例題看出,用“和倍公式”的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)(即小數(shù))是誰,“和”是誰。例1、例2的“1倍”數(shù)與“和”極為明顯,其中例2中雖未直接給出“和”,但也很容易求出。下面我們講幾個“1倍”數(shù)不太明顯的例子。
例3 甲隊有45人,乙隊有75人。甲隊要調(diào)入乙隊多少人,乙隊人數(shù)才是甲隊人數(shù)的3倍?
分析:容易求得“二數(shù)之和”為 45+75=120(人)。如果從“乙隊人數(shù)才是甲隊人數(shù)的3倍”推出“1倍”數(shù)(即小數(shù))是“甲隊人數(shù)”那就錯了,從75不是45的3倍也知是錯的。這個“1倍”數(shù)是誰?根據(jù)題意,應(yīng)是調(diào)動后甲隊的剩余人數(shù)。
11、倍數(shù)關(guān)系也是調(diào)動后的人數(shù)關(guān)系,即“調(diào)入人后的乙隊人數(shù)”是“調(diào)走人后甲隊剩余的人數(shù)”的3倍。由此畫出線段圖如下:
從圖中看出,把甲隊中“?”人調(diào)入乙隊后,(45+75)就是甲隊剩下人數(shù)的 3+1=4(倍)。從而,甲隊調(diào)走人后剩下的人數(shù)就是“1倍”數(shù)。由和倍公式可以求解。
解:甲隊調(diào)動后剩下的人數(shù)為
(45+75)÷(3+1)= 30(人),故甲隊調(diào)入乙隊的人數(shù)為45-30=15(人)。
答:甲隊要調(diào)15人到乙隊。
例4 妹妹有書24本,哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍,妹妹應(yīng)給哥哥多少本書?
仿照例3的分析可得如下解法。
解:兄妹圖書總數(shù)是妹妹給哥哥
12、一些書后剩下圖書的(6+1)倍,根據(jù)和倍公式,妹妹剩下
(53+24)÷(6+1)=11(本)。故妹妹給哥哥書24-11=13(本)。
答:妹妹給哥哥書13本。
例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個。后來大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個,而小灰兔自己又采了10個。這時,大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問:原來大白兔和小灰兔各采了多少個蘑菇?
分析與解:這道題仍是和倍應(yīng)用題,因為有“和”、有“倍數(shù)”。但這里的“和”不是 160,而是160-20+10=150,“1倍”數(shù)卻是“小灰兔又自己采了10個后的蘑菇數(shù)”。線段圖如下:
根據(jù)和倍公式,小灰兔現(xiàn)有蘑菇(即“1倍”數(shù))
(160-20+10)÷(5+1)=25(個),
故小灰兔原有蘑菇25-10=15(個),大白兔原有蘑菇
160-15=145(個)。
答:原來大白兔采蘑菇145個,小灰兔采15個。