《2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)考點(diǎn)及題型 專題26 視圖與投影（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)考點(diǎn)及題型 專題26 視圖與投影（含解析）（21頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題26 視圖與投影 考點(diǎn)總結(jié) 【思維導(dǎo)圖】 【知識要點(diǎn)】 知識點(diǎn)一 投影 一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面 (地面、墻壁等) 上得到的影子叫做物體的投影。照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。 n 平行投影 概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影。 特征： 1.等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長. 2.等長的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度. 平行投影變化規(guī)律: 1.在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也

2、在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長也是由長變短再變長. 2.在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長成正比例.　即： . 利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等. 注意：利用影長計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測量兩物體在同一時(shí)刻的影長. n 中心投影 概念：由同一點(diǎn) (點(diǎn)光源) 發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。 特征： 1.等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長. 　　　　　　　　　　　　　 2等長的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，

3、影子越長；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長度還短. 考查題型（求點(diǎn)光源的位置） 點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置. 中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系： n 正投影 正投影的定義：如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影. 1.線段的正投影分為三種情況.如圖所

4、示. 　　　　　　　　　　　　　 ① 線段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；、 ② 線段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長； ③ 線段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn). 2.平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示. 　　　　　　　　　　　　 ①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí)，它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個(gè)平面圖形全等； ②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí)，平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會(huì)縮小，是類似圖形但不一定相似. ③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí)，它的正投影是直

5、線或直線的一部分. 3.立體圖形的正投影. 　　物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等. 【典型例題】 1．（2019·四川中考模擬）下列四幅圖形中,表示兩棵樹在同一時(shí)刻陽光下的影子的圖形可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根據(jù)平行投影特點(diǎn)：在同一時(shí)刻，不同物體的影子同向，且不同物體的物高和影長成比例，依次分析各選項(xiàng)即得結(jié)果． A、影子平行，且較高的樹的影子長度大于較低的樹的影子，故本選項(xiàng)正確； B、影子的方向不相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、影子的方向不相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤

6、； D、相同樹高與影子是成正比的，較高的樹的影子長度小于較低的樹的影子，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選A． 2．（2019·廣西中考模擬）如圖，晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處徑直走到B處這一過程中，他在地上的影子（　　） A．逐漸變短 B．先變短后變長 C．先變長后變短 D．逐漸變長 【答案】B 【詳解】 晚上小亮在路燈下散步，在小亮由A處徑直走到B處這一過程中，他在地上的影子先變短，再變長． 故選B． 3．（2019·北京清華附中中考模擬）如果在同一時(shí)刻的陽光下，小莉的影子比小玉的影子長，那么在同一路燈下（ ） A．小莉的影子比小玉的影子長 B．小莉的影子比小玉的影子

7、短 C．小莉的影子與小玉的影子一樣長 D．無法判斷誰的影子長 【答案】D 【解析】 由一點(diǎn)所發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影,而中心投影的影子長短與距離光源的距離有關(guān),由題意可得,小莉和小玉在同一路燈下由于位置不同,影長也不相同,故無法判斷誰的影子長,故選D. 4．（2019·河北中考模擬）一個(gè)長方形的正投影不可能是（ ） A．正方形 B．矩形 C．線段 D．點(diǎn) 【答案】D 【詳解】 解：在同一時(shí)刻，平行物體的投影仍舊平行．得到的應(yīng)是平行四邊形或特殊的平行四邊形．故長方形的正投影不可能是點(diǎn)，故選：D． 5．（2019·湖北中考模擬）如圖，左面水杯的杯口與投影面平行，投

8、影線的方向如箭頭所示，它的正投影圖是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：根據(jù)題意：水杯的杯口與投影面平行，即與光線垂直，則它的正投影圖應(yīng)是D．故選D． 6．（2018·廣東中考模擬）下面四幅圖是在同一天同一地點(diǎn)不同時(shí)刻太陽照射同一根旗桿的影像圖，其中表示太陽剛升起時(shí)的影像圖是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：太陽東升西落，在不同的時(shí)刻， 同一物體的影子的方向和大小不同，太陽從東方剛升起時(shí)，影子應(yīng)在西方． 故選C． 考查題型一 中心投影的應(yīng)用方法 1．（2018·河北中考模擬）如圖，夜晚路燈下有一排同樣高

9、的旗桿，離路燈越近，旗桿的影子( ) A．越長 B．越短 C．一樣長 D．隨時(shí)間變化而變化 【答案】B 【解析】 由圖易得AB＜CD，那么離路燈越近，它的影子越短， 故選B． 2．（2020·銀川外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期末）如圖，身高1.6米的小明站在距路燈底部O點(diǎn)10米的點(diǎn)A處，他的身高（線段AB）在路燈下的影子為線段AM，已知路燈燈桿OQ垂直于路面． （1）在OQ上畫出表示路燈燈泡位置的點(diǎn)P； （2）小明沿AO方向前進(jìn)到點(diǎn)C，請畫出此時(shí)表示小明影子的線段CN； （3）若AM=2.5米，求路燈燈泡P到地面的距離． 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8

10、米 【解析】 如圖： 如圖： ， ∽， ，即， 解得． 即路燈燈泡P到地面的距離是8米．?? 3．（2019·泰興市洋思中學(xué)初三期中）如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米． （1）求路燈A的高度； （2）當(dāng)王華再向前走2米，到達(dá)F處時(shí)，他的影長是多少？ 【答案】（1）路燈A有6米高（2）王華的影子長米． 【解析】 試題分析：22. 解：（1）由題可知AB//MC//NE， ∴，而MC=NE ∴ ∵CD=1米，EF=2米，BF=BD+4，∴BD

11、=4米，∴AB==6米 所以路燈A有6米高 （2） 依題意，設(shè)影長為x，則解得米 答：王華的影子長米． 考查題型二 利用平行投影確定影子的長度 1．（2019·吉林中考模擬）如圖，身高1.6米的小麗在陽光下的影長為2米，在同一時(shí)刻，一棵大樹的影長為8米，則這棵樹的高度為_____米． 【答案】6.4 【詳解】 解：由題可知：, 解得：樹高=6.4米. 2．（2018·四川中考模擬）如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB＝5米，某一時(shí)刻AB在陽光下的投影BC＝3米，在測量AB的投影時(shí)，同時(shí)測量出DE在陽光下的投影長為6米，則DE的長為_____． 【答案】

12、10cm 【詳解】 解：如圖， 在測量AB的投影時(shí)，同時(shí)測量出DE在陽光下的投影長為6m， ∵△ABC∽△DEF，AB=5m，BC=3m，EF=6m ∴ = ∴ = ∴DE=10（m） 故答案為10m． 3．（2015·甘肅中考真題）如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側(cè)有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD，它們都與地面垂直，為了測得電線桿的高度，一個(gè)小組的同學(xué)進(jìn)行了如下測量：某一時(shí)刻，在太陽光照射下，旗桿落在圍墻上的影子EF的長度為2米，落在地面上的影子BF的長為10米，而電線桿落在圍墻上的影子GH的長度為3米，落在地面上的影子DH的長為5米，依據(jù)

13、這些數(shù)據(jù)，該小組的同學(xué)計(jì)算出了電線桿的高度． (1)該小組的同學(xué)在這里利用的是　 　投影的有關(guān)知識進(jìn)行計(jì)算的； (2)試計(jì)算出電線桿的高度，并寫出計(jì)算的過程． 【答案】(1) 平行；(2)電線桿的高度為7米． 【詳解】 （1）平行； （2）連接AM、CG，過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M， 則BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5 所以AN=10-2=8， 由平行投影可知：即 解得CD=7 所以電線桿的高度為7m． 考查題型三 利用相似問題解決投影問題 1．（2019·長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考模擬）如圖，路燈距離地

14、面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部（點(diǎn)O）20米的A處，則小明的影子AM長為　 　米． 【答案】5。 【解析】 根據(jù)題意，易得△MBA∽△MCO， 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，即，解得AM=5。 ∴小明的影長為5米。 2．（2015·河南中考模擬）墻壁CD上D處有一盞燈(如圖)，小明站在A處測得他的影長與身長相等，都為1.6m，他向墻壁走1m到B處時(shí)發(fā)現(xiàn)影子剛好落在A點(diǎn)，則燈泡與地面的距離CD＝____． 【答案】m 【詳解】 如圖： 根據(jù)題意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m， ∵BG∥AF∥CD， ∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，

15、 ∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD， 設(shè)BC=xm，CD=ym，則CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m， ∴, 解得：x=, y=, ∴CD=m. ∴燈泡與地面的距離為米， 故答案為m. 3．（2018·貴州中考模擬）如圖是圓桌正上方的燈泡O發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖．已知桌面的直徑為1.2m，桌面距離地面1m，若燈泡O距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為_____m2． 【答案】0.81π 【解析】 如圖設(shè)C，D分別是桌面和其地面影子的圓心，CB∥AD， ∴△OBC∽△OAD ∴而OD=3，CD=1， ∴OC=

16、OD-CD=3-1=2，BC=×1.2=0.6， ∴ ∴AD=0.9 ， S=π×0.92=0.81πm2，這樣地面上陰影部分的面積為0.81πm2． 知識點(diǎn)二 三視圖 三視圖的概念： 視圖概念：從某一角度觀察一個(gè)物體時(shí)，所看到的圖象叫做物體的一個(gè)視圖. 正面、水平面和側(cè)面概念：用三個(gè)互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側(cè)面. 三視圖概念：一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左

17、視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖. 三視圖之間的關(guān)系 1.位置關(guān)系：三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 2.大小關(guān)系：三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示. 畫幾何體三視圖的基本方法： 畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫法如下： 1.確定主視圖的位置，畫出主視圖； 2.在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”； 3.在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平

18、齊”，與俯視圖“寬相等”. 注意：幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線. 由三視圖想象幾何體的形狀 　　由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來考慮整體圖形. 利用三視圖計(jì)算幾何體面積 利用三視圖先想象出實(shí)物形狀，再進(jìn)一步畫出展開圖，然后計(jì)算面積。 考查題型四 確定幾何體的三視圖 1．（2019·浙江中考模擬）如圖所示的工件的主視圖是( ) A． B． C． D． 【答案】B。 【解析】從物體正面看，看到的是一個(gè)橫放的矩形，且一條斜線將其分成一個(gè)直角梯形和一個(gè)直

19、角三角形。故選B。 2．（2019·天津中考模擬）如圖是一個(gè)空心圓柱體，其俯視圖是（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 該空心圓柱體的俯視圖是： 故選D． 3．（2017·陜西中考模擬）如圖是一個(gè)零件的示意圖，它的俯視圖是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中． 解：由三視圖可得， 故選C． 4．（2019·遼寧中考模擬）如圖，一個(gè)圓柱體在正方體上沿虛線從左向右平移，平移過程中不變的是（　?。? A．主視圖 B．左視圖 C．俯視圖 D．主視

20、圖和俯視圖 【答案】B 【解析】 主視圖是從正面觀察得到的圖形，左視圖是從左側(cè)面觀察得到的圖形，俯視圖是從上面觀察得到的圖形，結(jié)合圖形即可作出判斷． 解：根據(jù)圖形，可得：平移過程中不變的是的左視圖，變化的是主視圖和俯視圖． 故選B． 5．（2019·福建中考真題）如圖是由一個(gè)長方體和一個(gè)球組成的幾何體，它的主視圖是( ). A． B． C． D． 【答案】C 【詳解】 解：幾何體的主視圖為： ， 故選：C． 考查題型五 由三視圖還原幾何體的方法 1．（2017·湖北中考模擬）主視圖、左視圖、俯視圖分別為下列三個(gè)圖形的物體是（ ） A． B．

21、 C． D． 【答案】A 【解析】解析：通過給出的主視圖，只有A選項(xiàng)符合條件. 故選A. 2．（2019·湖南中考模擬）一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體可能是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 詳解：A選項(xiàng)的主視圖為矩形和三角形的結(jié)合，俯視圖為圓，故錯(cuò)誤；B、主視圖和俯視圖都是正方形，故錯(cuò)誤；C、主視圖為兩個(gè)矩形，俯視圖為三角形，故正確；D、主視圖和俯視圖都是三角形，故錯(cuò)誤；則本題選C． 3．（2014·北京中考模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體是（ ） A．圓錐 B．圓柱 C．球 D．三棱柱 【答案】A

22、【解析】 由于俯視圖為圓形可得為球、圓柱、圓錐．主視圖和左視圖為三角形可得此幾何體為圓錐．故選A． 4．（2018·天津市扶輪中學(xué)中考模擬）如圖，是由幾個(gè)相同的小正方體組成的一個(gè)幾何體的三視圖，這個(gè)幾何體可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【詳解】觀察俯視圖可知幾何體的底面是由2×2=4個(gè)小正方體構(gòu)成，選項(xiàng)B不符合，觀察主視圖可知幾何體有兩列，左邊一列只有一層，右邊一列有三層，選項(xiàng)D不符合，觀察左視圖，可知幾何體有兩列，左邊一列有3層，右邊一列有2層，選項(xiàng)C不符合，故只有選項(xiàng)A符合，故選A. 考察題型六 由三視圖確定小正方體的個(gè)數(shù)的方法 1．（2016

23、·黑龍江中考模擬）如圖是由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】 試題分析：由主視圖與左視圖可以在俯視圖上標(biāo)注數(shù)字為： 主視圖有三列，每列的方塊數(shù)分別是：2，1，1； 左視圖有兩列，每列的方塊數(shù)分別是：1，2； 俯視圖有三列，每列的方塊數(shù)分別是：2，1，2； 因此總個(gè)數(shù)為1+2+1+1+1=6個(gè)， 故選B． 2．（2017·湖北中考模擬）如圖是由幾個(gè)相同的小立方塊搭成的幾何體的三視圖，則這幾個(gè)幾何體的小立方塊的個(gè)數(shù)是（ ） A．4個(gè) B．5個(gè) C．

24、6個(gè) D．7個(gè) 【答案】B 【詳解】 由題意可得該幾何體共有兩行三列，底層應(yīng)該有3＋1＝4個(gè)小正方體，第二層應(yīng)該有1個(gè)小正方體，共有5個(gè)小正方體. 故選B. 3．（2013·黑龍江中考真題）由一些大小相同的小正方形搭成的幾何體的左視圖和俯視圖，如圖所示，則搭成該幾何體的小正方形的個(gè)數(shù)最少是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】 由題中所給出的左視圖知物體共兩層，每一層都是兩個(gè)小正方體；從俯視圖可以可以看出最底層的個(gè)數(shù) 所以圖中的小正方體最少2+4=6。故選C。 5．（2018·甘肅中考模擬）一個(gè)幾何體是由若干個(gè)棱長為3cm

25、的小正方體搭成的，從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示： （1）在“從上面看”的圖中標(biāo)出各個(gè)位置上小正方體的個(gè)數(shù)； （2）求該幾何體的體積． 【答案】（1）見解析；（2）270cm3 【詳解】 （1）如圖所示： （2）該幾何體的體積為33×（2+3+2+1+1+1）=27×10=270（cm3）． 考查題型七 根據(jù)三視圖求幾何體的體積或表面積的方法 1．（2019·山東中考模擬）如圖，是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，則該幾何體的側(cè)面積是（　?。? A．10π B．15π C．20π D．30π 【答案】B 【解析】 由三視圖可知此幾何體為圓錐，∴圓

26、錐的底面半徑為3，母線長為5， ∵圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長， ∴圓錐的底面周長=圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長=2πr=2π×3=6π， ∴圓錐的側(cè)面積=lr=×6π×5=15π，故選B 2．（2019·安徽中考模擬）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)求得這個(gè)幾何體的側(cè)面積是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】 解：先由三視圖確定該幾何體是圓柱體，底面半徑是2÷2=1，高是3． 所以該幾何體的側(cè)面積為2π×1×3=6π． 故選：B． 3．（2019·黑龍江中考真題）—個(gè)“糧倉”的三視圖如圖所示（單位：m），則它的體積是（ ）

27、 A．21πm3 B．30πm3 C．45πm3 D．63πm3 【答案】C 【詳解】 解：觀察發(fā)現(xiàn)該幾何體為圓錐和圓柱的結(jié)合體， 其體積為：32π×4+×32π×3=45πm3， 故選：C． 4．（2014·河北中考模擬）某工廠要加工一批茶葉罐，設(shè)計(jì)者給出了茶葉罐的三視圖，如圖，請你按照三視圖確定制作每個(gè)密封罐所需鋼板的面積．（單位：毫米） 【答案】． 【解析】 由三視圖可知茶葉罐的形狀為圓柱體，并且茶葉罐的底面直徑2R為100毫米，高H為150毫米，∵每個(gè)密封罐所需鋼板的面積即為該圓柱體的表面積， ∴S表面積===(毫米2)，故制作每個(gè)密封罐所需鋼板的面積為毫

28、米2． 5．（2019·黑龍江中考模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示. (1)寫出這個(gè)幾何體的名稱. (2)求這個(gè)幾何體側(cè)面展開圖的周長和面積. 【答案】(1) 圓錐；（2）20+12π，60π. 【詳解】 (1)由三視圖可知，主視圖以及左視圖都是三角形，俯視圖為圓形， ∴該幾何體為圓錐 (2)由三視圖數(shù)據(jù)知圓錐的底面圓的直徑為12，半徑為6，高為8， 則母線長為. 所以側(cè)面展開圖的周長為2π·6+20=20+12π 面積為(2π×6)×10=60π 6．（2019·湖北中考模擬）如圖所示的是某個(gè)幾何體從三種不同方向所看到的圖形． （1）說出這個(gè)幾何體的名稱； （2）根據(jù)圖中有關(guān)數(shù)據(jù)，求這個(gè)幾何體的表面積． 【答案】（1）三棱柱；（2）192 【詳解】 解：（1）根據(jù)三視圖可得：這個(gè)立體圖形是三棱柱； （2）表面積為：×3×4×2+15×3+15×4+15×5＝192． 21