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1、2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 和倍應(yīng)用題
小學(xué)數(shù)學(xué)中有各種各樣的應(yīng)用題。根據(jù)它們的結(jié)構(gòu)形式和數(shù)量關(guān)系,形成了一些用特定方法解答的典型應(yīng)用題。比如,和倍應(yīng)用題、差倍應(yīng)用題、和差應(yīng)用題等等。
和倍應(yīng)用題的基本“數(shù)學(xué)格式”是:
已知大、小二數(shù)的“和”,又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍,求大、小二數(shù)各是多少。
上面的問題中有“和”,有“倍數(shù)”,所以叫做和倍應(yīng)用題。為了清楚地表示和倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系,畫出線段圖如下:
從線段圖知,“和”是小數(shù)的(倍數(shù)+1)倍,所以,
小數(shù)=和÷(倍數(shù)+1)。
上式稱為和倍公式。由此得到
大數(shù)=和-小數(shù),
2、 或 大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。
例如,大、小二數(shù)的和是265,大數(shù)是小數(shù)的4倍,則
小數(shù)=265÷(4+1)=53,
大數(shù)=265-53=212或53×4=212。
例1 甲、乙兩倉庫共存糧264噸,甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的10倍。甲、乙兩倉庫各存糧多少噸?
分析:把甲倉庫存糧數(shù)看成“大數(shù)”,乙倉庫存糧數(shù)看成“小數(shù)”,此例則是典型的和倍應(yīng)用題。根據(jù)和倍公式即可求解。
解:乙倉庫存糧 264÷(10+1)=24(噸),甲倉庫存糧
264-24=240(噸),
或
24×10=240(噸)。
答:乙倉庫存糧24噸,甲倉庫存糧240噸。
例2 甲、乙兩
3、輛汽車在相距360千米的兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,2時(shí)后兩車相遇。已知甲車的速度是乙車速度的2倍。甲、乙兩輛汽車每小時(shí)各行多少千米?
分析:已知甲車速度是乙車速度的2倍,所以“1倍”數(shù)是乙車的速度。現(xiàn)只需知道甲、乙汽車的速度和,就可用“和倍公式”了。由題意知兩輛車 2時(shí)共行 360千米,故1時(shí)共行 360÷2=180(千米),這就是兩輛車的速度和。
解:乙車的速度為
(360÷2)÷(2+1)= 60(千米/時(shí)),
甲車的速度為
60×2=20(千米/時(shí)),或180-60=120(千米/時(shí))。
答:甲車每時(shí)行120千米,乙車每時(shí)行60千米。
從上面兩道例題看
4、出,用“和倍公式”的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)(即小數(shù))是誰,“和”是誰。例1、例2的“1倍”數(shù)與“和”極為明顯,其中例2中雖未直接給出“和”,但也很容易求出。下面我們講幾個(gè)“1倍”數(shù)不太明顯的例子。
例3 甲隊(duì)有45人,乙隊(duì)有75人。甲隊(duì)要調(diào)入乙隊(duì)多少人,乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍?
分析:容易求得“二數(shù)之和”為 45+75=120(人)。如果從“乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍”推出“1倍”數(shù)(即小數(shù))是“甲隊(duì)人數(shù)”那就錯(cuò)了,從75不是45的3倍也知是錯(cuò)的。這個(gè)“1倍”數(shù)是誰?根據(jù)題意,應(yīng)是調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)的剩余人數(shù)。倍數(shù)關(guān)系也是調(diào)動(dòng)后的人數(shù)關(guān)系,即“調(diào)入人后的乙隊(duì)人數(shù)”是“調(diào)走人后甲隊(duì)剩余的人數(shù)”
5、的3倍。由此畫出線段圖如下:
從圖中看出,把甲隊(duì)中“?”人調(diào)入乙隊(duì)后,(45+75)就是甲隊(duì)剩下人數(shù)的 3+1=4(倍)。從而,甲隊(duì)調(diào)走人后剩下的人數(shù)就是“1倍”數(shù)。由和倍公式可以求解。
解:甲隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)為
(45+75)÷(3+1)= 30(人),故甲隊(duì)調(diào)入乙隊(duì)的人數(shù)為45-30=15(人)。
答:甲隊(duì)要調(diào)15人到乙隊(duì)。
例4 妹妹有書24本,哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍,妹妹應(yīng)給哥哥多少本書?
仿照例3的分析可得如下解法。
解:兄妹圖書總數(shù)是妹妹給哥哥一些書后剩下圖書的(6+1)倍,根據(jù)和倍公式,妹妹剩下
(53+24)÷(6
6、+1)=11(本)。故妹妹給哥哥書24-11=13(本)。
答:妹妹給哥哥書13本。
例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個(gè)。后來大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個(gè),而小灰兔自己又采了10個(gè)。這時(shí),大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問:原來大白兔和小灰兔各采了多少個(gè)蘑菇?
分析與解:這道題仍是和倍應(yīng)用題,因?yàn)橛小昂汀?、有“倍?shù)”。但這里的“和”不是 160,而是160-20+10=150,“1倍”數(shù)卻是“小灰兔又自己采了10個(gè)后的蘑菇數(shù)”。線段圖如下:
根據(jù)和倍公式,小灰兔現(xiàn)有蘑菇(即“1倍”數(shù))
(160-20+10)÷(5+1)=25(個(gè)),
故小灰兔原有蘑菇
7、25-10=15(個(gè)),大白兔原有蘑菇
160-15=145(個(gè))。
答:原來大白兔采蘑菇145個(gè),小灰兔采15個(gè)。
附送:
2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 和倍問題
專題簡析:
已知兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系,求這兩個(gè)數(shù)分別是多少,像這樣的應(yīng)用題,通常叫做和倍問題。要想順利地解答和倍應(yīng)用題,最好的方法就是根據(jù)題意,畫出線段圖,使數(shù)量關(guān)系一目了然,從而正確列式解答。
解答和倍應(yīng)用題,關(guān)鍵是要找出兩數(shù)的和以及與其對(duì)應(yīng)的倍數(shù)和,從而先求出1倍數(shù),再求出幾倍數(shù)。數(shù)量關(guān)系可以這樣表示:
兩數(shù)和÷(倍數(shù)+1)=小數(shù)(1倍數(shù))
小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)(幾倍數(shù))
兩數(shù)
8、和-小數(shù)=大數(shù)
例題1 學(xué)校將360本圖書分給二、三兩個(gè)年級(jí),已知三年級(jí)所分得的本數(shù)是二年級(jí)的2倍,問二、三兩個(gè)年級(jí)各分得多少本圖書?
思路導(dǎo)航:將二年級(jí)所得圖書的本數(shù)看作1倍數(shù),則三年級(jí)所得本數(shù)是這樣的2倍。如圖所示:
由圖可知,二、三年級(jí)所得圖書本數(shù)的和360本相當(dāng)于二年級(jí)的(1+2)倍,則二年級(jí)所得圖書本數(shù)的360÷(1+2)=120本,三年級(jí)為120×2=240本。
練 習(xí) 一
1.小紅和小明共有壓歲錢800元,小紅的錢數(shù)是小明的3倍。小紅和小明各有壓歲錢多少元?
2.學(xué)校將360本圖書分給二、三年級(jí),已知三年級(jí)所得本數(shù)比二年級(jí)的2倍還多60本。二、三年級(jí)各得圖書
9、多少本?
3.甲桶有油25千克,乙桶有油17千克,乙桶倒入多少千克油給甲桶后,甲桶油是乙桶的5倍?
例題2 小寧有圓珠筆芯30枝,小青有圓珠筆芯15枝,問小青給小寧多少枝后,小寧的圓珠筆芯枝數(shù)是小青的8倍?
思路導(dǎo)航:我們把變化后小青的圓珠筆芯枝數(shù)看作1倍數(shù),那么小寧與小青圓珠筆芯的枝數(shù)和相當(dāng)于變化后小青枝數(shù)的9倍,所以變化后小青的枝數(shù)為(30+15)÷(1+8)=5枝,再用15-5=10枝,則表示小青給小寧的枝數(shù)。
練 習(xí) 二
1.紅紅有郵票80張,佳佳有郵票60張,要使紅紅的郵票張數(shù)是佳佳的4倍,那么佳佳必須給紅紅多少張郵票?
2.甲水池有水69噸,乙水池有水36噸,如果
10、甲水池中的水以每分鐘2噸的速度流入乙水池,那么多少分鐘后,乙水池的水是甲水池的2倍?
3.甲書架有圖書18本,乙書架有圖書8本,班圖書管理員又買來圖書16本,怎樣分配才能使甲書架圖書的本數(shù)是乙書架的2倍?
例題3 被除數(shù)與除數(shù)的和為320,商是7,被除數(shù)和除數(shù)各是多少?
思路導(dǎo)航:由商是7可知,被除數(shù)是除數(shù)的7倍,把除數(shù)看作1份數(shù),被除數(shù)就有這樣的7份,一共7+1=8份。
除數(shù):320÷8=40
被除數(shù):40×7=280
練 習(xí) 三
1.被除數(shù)和除數(shù)和為120,商是7,被除數(shù)和除數(shù)各是多少?
2.被除數(shù)、除數(shù)、商的和為79,商是4,被除數(shù)、除數(shù)各是多少?
3.兩個(gè)整
11、數(shù)相除商是21,余數(shù)為1,已知被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和一共是441。被除數(shù)、除數(shù)各是多少?
例題4 兩數(shù)相除商為17余6,被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是479。被除數(shù)和除數(shù)分別為多少?
思路導(dǎo)航:被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是479,減去商17和余數(shù)6,得到被除數(shù)與除數(shù)的和為479-17-6=456;又因?yàn)楸怀龜?shù)比除數(shù)的17倍多6,所以456-6=450就相當(dāng)于除數(shù)的(17+1)倍,因此除數(shù)為450÷(17+1)=25,被除數(shù)為25×17+6=431。
練 習(xí) 四
1.兩個(gè)整數(shù)相除商14余2,被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是243,被除數(shù)比除數(shù)大多少?
2.在一個(gè)減法算式里,被減
12、數(shù)、減數(shù)與差的和等于240,而減數(shù)是差的5倍。差是多少?
3.學(xué)校買來83本書,其中科技書是故事書的2倍,故事書比文藝書多5本,這三種書各多少本?
例題5 兩個(gè)數(shù)之和是792,其中一個(gè)數(shù)的最后一位數(shù)數(shù)字是0,如果把0去掉,就與另一個(gè)數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)分別是多少?
思路導(dǎo)航:把一個(gè)數(shù)的最后一位數(shù)字0去掉,就與另一個(gè)數(shù)相同,說明這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)是小數(shù)的10倍。又已知兩個(gè)數(shù)之和是792,那我們就可以求出這兩個(gè)數(shù)分別是多少了。
小數(shù):792÷(10+1)=72
大數(shù):72×10=720
練 習(xí) 五
1.兩個(gè)數(shù)之和是253,其中一個(gè)數(shù)的最后一位數(shù)字是0,如果把0去掉,就與另一個(gè)數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)分別是多少?
2.師徒兩人加工一批零件共693個(gè),師傅加工零件個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是0,如果去掉這個(gè)0,加工的個(gè)數(shù)就與徒弟一樣多。師徒二人分別加工零件多少個(gè)?
3.甲、乙兩數(shù)的和是209,甲數(shù)縮小10倍就和乙數(shù)同樣大,甲、乙兩數(shù)分別是多少?