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1、2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧用矩形面積公式
同學(xué)們都知道求正方形和長(zhǎng)方形面積的公式:
正方形的面積=a×a(a為邊長(zhǎng)),
長(zhǎng)方形的面積=a×b(a為長(zhǎng),b為寬)。
利用這兩個(gè)公式可以計(jì)算出各種各樣的直角多邊形的面積。例如,對(duì)左下圖,我們無(wú)法直接求出它的面積,但是通過(guò)將它分割成幾塊,其中每一塊都是正方形或長(zhǎng)方形(見(jiàn)右下圖),分別計(jì)算出各塊面積再求和,就得出整個(gè)圖形的面積。
例1 右圖中的每個(gè)數(shù)字分別表示所對(duì)應(yīng)的線段的長(zhǎng)度(單位:米)。這個(gè)圖形的面積等于多少平方米?
分析與解:將此圖形分割成長(zhǎng)方形有下面兩種較簡(jiǎn)單的方法,圖形都被分割成三個(gè)長(zhǎng)
2、方形。根據(jù)這兩種不同的分割方法,都可以計(jì)算出圖形的的面積。
5×2+(5+3)×3+(5+3+4)×2=58(米2);
或
5×(2+3+2)+3×(2+3)+4×2=58(米2)。
上面的方法是通過(guò)將圖形分割成若干個(gè)長(zhǎng)方形,然后求圖形面積的。實(shí)際上,我們也可以將圖形“添補(bǔ)”成一個(gè)大長(zhǎng)方形(見(jiàn)下圖),然后利用大長(zhǎng)方形與兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之差,求出圖形的面積。
(5+3+4)×(2+3+2)-2×3-(2+3)×4=58(米2);
或
(5+3+4)×(2+3+2)-2×(3+4)-3×4=58(米2)。
由例1看出,計(jì)算直角多邊形面積,主
3、要是利用“分割”和“添補(bǔ)”的方法,將圖形演變?yōu)槎鄠€(gè)長(zhǎng)方形的和或差,然后計(jì)算出圖形的面積。其中“分割”是最基本、最常用的方法。
例2 右圖為一個(gè)長(zhǎng)50米、寬25米的標(biāo)準(zhǔn)游泳池。它的四周鋪設(shè)了寬2米的白瓷地磚(陰影部分)。求游泳池面積和地磚面積。
分析與解:游泳池面積=50×25=1250(米2)。
求地磚面積時(shí),我們可以將陰影部分分成四個(gè)長(zhǎng)方形(見(jiàn)下圖),從而可得白瓷地磚的面積為
(2+25+2)×2×2+50×2×2=316(米2);
或
(2+50+2)×2×2+25×2×2=316(米2)。
求地磚的面積,我們還可以通過(guò)“挖”的方法,即從大長(zhǎng)方形內(nèi)
4、“挖掉”一個(gè)小長(zhǎng)方形(見(jiàn)右圖)。從而可得白瓷地磚面積為
(50+2+2)×(25+2+2)-50×25
=316(米2)。
例3 下圖中有三個(gè)封閉圖形,每個(gè)封閉圖形均由邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形組成。試求各圖形的面積。
解:每個(gè)小方格的面積為1厘米2。
圖(1)可分成四個(gè)凸出塊和一個(gè)中間塊,這五塊的面積都是2×2=4(厘米2)。圖(1)的面積為
4×5=20(厘米2)。
圖(2)可以看成是從長(zhǎng)7厘米、寬6厘米的長(zhǎng)方形中,“挖掉”4個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形。它的面積等于
7×6-(2×2)×4=26(厘米2)。
圖(3)像個(gè)寶鼎,豎行分割,從左至右
5、分成五塊,每塊面積依次為2,5,3,5,2厘米2,總面積為
2+5+3+5+2=17(厘米2)。
例3中分割成正方形、長(zhǎng)方形的方法很多,因而具體計(jì)算面積的方法也很多。由于圖形內(nèi)所含方格數(shù)不多,所以也可以通過(guò)數(shù)圖中小方格的數(shù)目來(lái)求得面積。
例4 一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是22厘米。如果它的長(zhǎng)和寬都是整數(shù)厘米,那么這個(gè)長(zhǎng)方形的面積(單位:厘米2)有多少種可能值?最大、最小各是多少?
解:因?yàn)殚L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是22厘米,所以它的長(zhǎng)、寬之和是22÷2=11(厘米)??紤]到長(zhǎng)、寬都是整數(shù)厘米,只有如下情形:
所以,這個(gè)長(zhǎng)方形的面積有五種可能值:10,18,24,28,30厘米2。最大是30厘米2,
6、最小是10厘米2。
附送:
2021-2022年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 差倍應(yīng)用題
與和倍應(yīng)用題相似的是差倍應(yīng)用題。它的“基本數(shù)學(xué)格式”是:
已知大、小二數(shù)之“差”,又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍,求大、小二數(shù)各是多少。
上面的問(wèn)題中,有“差”、有“倍數(shù)”,所以叫做差倍應(yīng)用題。差倍問(wèn)題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系可以用下面的線段圖表示:
從線段圖知,“差”是小數(shù)(即“1倍”數(shù))的(倍數(shù)-1)倍,所以,
小數(shù)=差÷(倍數(shù)-1)。
上式稱為差倍公式。由此得到
大數(shù)=小數(shù)+差,
或
大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。
例如,大、小數(shù)之差是152,大數(shù)是小數(shù)的5
7、倍,則
小數(shù)=152÷(5-1)=38,
大數(shù)=38+152=190或38×5=190。
例1 王師傅一天生產(chǎn)的零件比他的徒弟一天生產(chǎn)的零件多128個(gè),且是徒弟的3倍。師徒二人一天各生產(chǎn)多少個(gè)零件?
分析:師徒二人一天生產(chǎn)的零件的“差”是128個(gè)。小數(shù)(即“1倍”數(shù))是徒弟一天生產(chǎn)的零件數(shù),“倍數(shù)”為3。由差倍公式可以求解。
解:徒弟一天生產(chǎn)零件
128÷(3-1)=64(個(gè)),
師傅一天生產(chǎn)零件
128+64=192(個(gè))或64×3=192(個(gè))。
答:徒弟、師傅一天分別生產(chǎn)零件64個(gè)和192個(gè)。
例2 兩根電線的長(zhǎng)相差30米,長(zhǎng)的那根的長(zhǎng)是短
8、的那根的長(zhǎng)的4倍。這兩根電線各長(zhǎng)多少米?
解:“差”=30,倍數(shù)=4,由差倍公式得短的電線長(zhǎng)
30÷(4-1)=10(米),
長(zhǎng)的電線長(zhǎng)
10+30=40(米)或10×4=40(米)。
答:短的電線長(zhǎng)10米,長(zhǎng)的電線長(zhǎng)40米。
解差倍應(yīng)用題的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)是誰(shuí),“差”是什么。上兩例中,“1倍”數(shù)及“差”都極明顯地直接給出。下面講兩個(gè)稍有變化,不直接給出“差”和“1倍”數(shù)的例子。
例3 甲、乙二工程隊(duì),甲隊(duì)有56人,乙隊(duì)有34人。兩隊(duì)調(diào)走同樣多人后,甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的3倍。問(wèn):調(diào)動(dòng)后兩隊(duì)各還有多少人?
分析:畫(huà)線段圖如下:
由上圖可知,“
9、1倍”數(shù)是乙隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)。因甲、乙隊(duì)調(diào)走的人數(shù)相同(不影響他們二隊(duì)人數(shù)之差),所以,甲、乙兩隊(duì)人數(shù)之差仍是56-34=22(人)。
解:由差倍公式得調(diào)動(dòng)后乙隊(duì)有
(56-34)÷(3-1)=11(人)。
調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)有
11×3=33(人)或11+(56-34)=33(人)。
答:調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)有33人,乙隊(duì)有11人。
例4 甲、乙兩桶油重量相等。甲桶取走26千克油,乙桶加入14千克油,這時(shí),乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。兩桶油原來(lái)各有多少千克?
分析與解:畫(huà)線段圖如下:
從上圖知,當(dāng)甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后,乙桶里的油就是甲桶里的油的
10、3倍,所以,“1倍”數(shù)是甲桶里剩下的油?!安睢笔鞘裁茨兀繌膱D中可知,“1倍”與“3倍”之間的差26+14=40(千克)就是我們要找的“差”。所以,由差倍公式知,
“1倍”數(shù)=(26+14)÷(3-1)=20(千克)。
故甲、乙桶原來(lái)各有油
20+26=46(千克),
或 20×3-14=46(千克)。
答:原來(lái)各有46千克。
例5 小云比小雨少20本書(shū),后來(lái)小云丟了5本書(shū),小雨新買了11本書(shū),這時(shí)小雨的書(shū)比小云的書(shū)多2倍。問(wèn):原來(lái)兩人各有多少本書(shū)?
分析與解:“小雨的書(shū)比小云的書(shū)多2倍”,即小雨的書(shū)是小云的書(shū)的3倍。這個(gè)“倍數(shù)”是變化后的,所以“1倍”數(shù)應(yīng)是小云變化后的書(shū)(見(jiàn)下圖)?!安睢笔?
20+5+11=36(本)。
根據(jù)和差公式得:
小云現(xiàn)有書(shū)
(20+5+11)÷(3-1)=18(本)。
小云原來(lái)有書(shū)18+5=23(本),
小雨原來(lái)有書(shū)23+20=43(本)。
答:原來(lái)小云有23本書(shū),小雨有43本書(shū)。