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1、考點07 不等式與不等式組 一、不等式的概念、性質(zhì)及解集表示 1．不等式 一般地，用符號“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解． 2．不等式的基本性質(zhì) 理論依據(jù) 式子表示 性質(zhì)1 不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變 若，則 性質(zhì)2 不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變 若，，則或 性質(zhì)3 不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變 若，，則或 溫馨提示：不等式的性質(zhì)是解不等式的重要依據(jù)，在解不等式時，應(yīng)注意：在不等式的兩邊同

2、時乘以（或除以）一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向一定要改變． 3．不等式的解集及表示方法 （1）不等式的解集：一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解是一個范圍，這個范圍就是不等式的解集． （2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式有無限個解． 二、一元一次不等式及其解法 1．一元一次不等式 不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫一元一次不等式． 2．解一元一次不等式的一般步驟 解一元一次不等式的一般步驟為：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1

3、（注意不等號方向是否改變）． 三、一元一次不等式組及其解法 1．一元一次不等式組 一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一元一次不等式組． 2．一元一次不等式組的解集 一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集，求不等式組解集的過程，叫做解不等式組． 3．一元一次不等式組的解法 先分別求出每個不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果沒有公共部分，則該不等式組無解． 4．幾種常見的不等式組的解集 設(shè)，，是常數(shù)，關(guān)于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號取不到時在數(shù)軸上用空心圓點表示）：

4、 不等式組 （其中） 數(shù)軸表示 解集 口訣 同大取大 同小取小 大小、小大中間找 無解 大大、小小取不了 考情總結(jié)：一元一次不等式（組）的解法及其解集表示的考查形式如下： （1）一元一次不等式（組）的解法及其解集在數(shù)軸上的表示； （2）利用一次函數(shù)圖象解一元一次不等式； （3）求一元一次不等式組的最小整數(shù)解； （4）求一元一次不等式組的所有整數(shù)解的和． 四、列不等式（組）解決實際問題 列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下： ①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列不等式(組)；④解不等式(組)；⑤檢驗并寫出答案． 考情總結(jié)：列不等

5、式（組）解決實際問題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的題型常與方案設(shè)計型問題相聯(lián)系，如最大利潤、最優(yōu)方案等．列不等式時，要抓住關(guān)鍵詞，如不大于、不超過、至多用“≤”連接，不少于、不低于、至少用“≥”連接． 考向一 不等式的定義及性質(zhì) （1）含有不等號的式子叫做不等式． （2）不等式兩邊同乘以或除以一個相同的負(fù)數(shù)，不等號要改變方向，在運用中，往往會因為忘記改變不等號方向而導(dǎo)致錯誤． 典例1 下列式子屬于不等式的個數(shù)有 ①>50；②3x=4；③–1>–2；④；⑤2x≠1． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】C 【解析】∵（1）是不等式；（2）是

6、等式；（3）是不等式；（4）是代數(shù)式（既不是等式，也不是不等式）；（5）是不等式；∴上述式子中屬于不等式的有3個.故選C. 【名師點睛】解答本題的要點有兩點：（1）熟記不等式的定義：“用不等號表示不等關(guān)系的式子叫做不等式”；（2）熟記常見的5種不等號：. 典例2 下列不等式變形正確的是 A．由a>b，得ac>bc B．由a>b，得–2a>–2b C．由a>b，得–a>–b D．由a>b，得a–2>b–2 【答案】D 【解析】A、由a>b，當(dāng)c<0時，得acb，得–2a<–2b，錯誤； C、由a>b，得–a<–b，錯誤； D、由a>b，得a–2>b–

7、2，正確； 故選D． 【名師點睛】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變． 1．有下列數(shù)學(xué)表達式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中是不等式的有 A．個 B．個 C．個 D．個 2．根據(jù)等式和不等式的基本性質(zhì)，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法： （1）若a–b>0，則a__________b； （2）若a–b=0，則a__________b； （3）若a–b<0，則a__________b. 這種比較大小的方法

8、稱為“求差法比較大小”． 請運用這種方法嘗試解決下面的問題： 比較4＋3a2–2b＋b2與3a2–2b＋1的大?。? 考向二 一元一次不等式的解集及數(shù)軸表示 （1）一元一次不等式的求解步驟：去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為1． （2）進行“去分母”和“系數(shù)化為1”時，要根據(jù)不等號兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù)，決定是否改變不等號的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論． 典例3 不等式的解集為________________． 【答案】 【解析】去分母：，去括號：，移項：，合并同類項：，系數(shù)化為1：，故不等式的解集為． 典例4 某

9、不等式的解集在數(shù)軸上表示如下圖所示，則該不等式的解集是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】觀察數(shù)軸可得，故該不等式的解集是，故選C． 【名師點睛】本題主要考查對在數(shù)軸上表示不等式的解集的理解和掌握，能根據(jù)數(shù)軸上不等式的解集得出答案是解此題的關(guān)鍵． 3．不等式的解集為 A． B． C． D． 4．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是 A． B． C． D． 考向三 一元一次不等式組的解集及數(shù)軸表示 不等式解集的確定有兩種方法： （1）數(shù)軸法：在

10、數(shù)軸上把各個不等式解集表示出來，尋找公共部分并用不等式表示出來； （2）口訣法：“大大取大小小取小，大小小大中間找，大大小小取不了．” 典例5 已知點在第二象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示是 A． B．C． D． 【答案】C 【解析】∵點在第二象限，∴，解得a<–1．故選C． 【名師點睛】本題考查了點所在象限的橫縱坐標(biāo)符號和解一元一次不等式組的有關(guān)知識，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意正確構(gòu)造不等式組并正確求解. 典例6 解不等式組，并把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來． 【答案】–1≤x<3 【解析】， 解不等式①，得：x≥–1，解不等式②，得：x<3， 則不等式組的解集為

11、–1≤x<3， 將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下： 【名師點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，正確求得不等式組中每一個不等式的解集是解決問題的關(guān)鍵. 5．解不等式組：. 6．解不等式組，并把它的解集在如下的數(shù)軸上表示出來． 考向四 一元一次不等式（組）的整數(shù)解問題 此類問題的實質(zhì)是解不等式（組），通過不等式（組）的解集，然后寫出符合題意的整數(shù)解即可． 典例7 若實數(shù)是不等式的一個解，則可取的最小正整數(shù)為 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】根據(jù)題意，是不等式的一個解，將代入不等

12、式，可得，解得，則可取的最小正整數(shù)為5，故選D． 【名師點睛】本題主要考查不等式的整數(shù)解，熟練掌握不等式解的定義及解不等式的能力是解題的關(guān)鍵． 典例8 不等式組的最小整數(shù)解是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】不等式組即，即，大于2的最小整數(shù)是3，所以不等式組的最小整數(shù)解是3，故選C． 7．不等式的非負(fù)整數(shù)解有_______________個． 8．不等式組的所有整數(shù)解之和為_______________． 考向五 求參數(shù)的值或取值范圍 求解此類題目的難點是根據(jù)不等式（組）的解的情況得到關(guān)于參數(shù)的等式或不

13、等式，然后求解即可． 典例9 若關(guān)于的不等式組的解集是，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)題意得，解得，故選A． 典例10 已知不等式組僅有個整數(shù)解，那么的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，解不等式①可得，解不等式②可得，由題可得不等式組的解集為，因為不等式組僅有個整數(shù)解，即2和3，所以，解得．故選D． 【名師點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解．已知解集（整數(shù)解）求字母的取值或取值范圍的一般思路：先把題目中除了未知數(shù)以外的字母當(dāng)做常數(shù)看

14、待，解不等式組，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制條件得到有關(guān)字母的式子，求解即可． 9．若關(guān)于的一元一次不等式組有解，則的取值范圍為 A． B． C． D． 10．若關(guān)于的不等式的整數(shù)解共有個，則的取值范圍為______________． 考向六 一元一次不等式（組）的應(yīng)用 求解此類題目的難點是建立“不等式（組）模型”，通過求解不等式（組）的解集并與實際相結(jié)合即可． 典例11 對于三個數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個數(shù)的中位數(shù)，用max{a，b，c}表示這三個數(shù)中最大的數(shù)．例如：M{–2，–1，0}=–1；max{–2，–1，

15、0}=0，max{–2，–1，a}=，根據(jù)以上材料，解決下列問題：若max{3，5–3x，2x–6}=M{1，5，3}，則x的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】∵max{3，5–3x，2x–6}=M{1，5，3}=3， ∴，∴， 故答案為． 【名師點睛】此題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意得到不等式去求解，考查綜合應(yīng)用能力. 典例12 某小區(qū)準(zhǔn)備新建50個停車位，用以解決小區(qū)停車難的問題.已知新建1個地上停車位和1個地下停車位共需0.6萬元；新建3個地上停車位和2個地下停車位共需1.3萬元. （1）該小區(qū)新建1個地上停車位和1個地下

16、停車位各需多少萬元？ （2）該小區(qū)的物業(yè)部門預(yù)計投資金額超過12萬元而不超過13萬元，那么共有哪幾種建造停車位的方案？ 【答案】（1）0.1，0.5；（2）3． 【解析】（1）設(shè)該小區(qū)新建1個地上停車位需要x萬元，1個地下停車位需y萬元， 根據(jù)題意得：，解得：． 故該小區(qū)新建1個地上停車位需要0.1萬元，1個地下停車位需0.5萬元． （2）設(shè)新建a個地上停車位， 根據(jù)題意得：， 解得：， 根據(jù)題意因為a只能取整數(shù)， 所以a=30或a=31或a=32， 對應(yīng)的50–a=50–30=20或50–31=19或50–32=18， 所以則共有3種建造方案． ①建30個地上停車位

17、，20個地下停車位； ②建31個地上停車位，19個地下停車位； ③建32個地上停車位，18個地下停車位. 11．“綠水青山就是金山銀山”，為保護生態(tài)環(huán)境，A，B兩村準(zhǔn)備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，每村參加清理人數(shù)及總開支如下表： 村莊 清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)/人 清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)/人 總支出/元 A 15 9 57000 B 10 16 68000 （1）若兩村清理同類漁具的人均支出費用一樣，求清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱的人均支出費用各是多少元； （2）在人均支出費用不變的情況下，為節(jié)約開支，兩村準(zhǔn)備抽調(diào)40人共同清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，要使總支出不超過10

18、2000元，且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)小于清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)，則有哪幾種分配清理人員方案？ 12．某文化商店計劃同時購進A、B兩種儀器，若購進A種儀器2臺和B種儀器3臺，共需要資金1700元；若購進A種儀器3臺，B種儀器1臺，共需要資金1500元． （1）求A、B兩種型號的儀器每臺進價各是多少元； （2）已知A種儀器的售價為760元/臺，B種儀器的售價為540元/臺．該經(jīng)銷商決定在成本不超過30000元的前提下購進A、B兩種儀器，若B種儀器是A種儀器的3倍還多10臺，那么要使總利潤不少于21600元，該經(jīng)銷商有哪幾種進貨方案？ 1．不等式3x<18的解

19、集是 A．x>6 B．x<6 C．x<–6 D．x<0 2．若，則下列式子一定成立的是 A． B． C． D． 3．對于實數(shù)a，b，若b1，那么a的取值范圍是 A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)<﹣1 C．a(chǎn)>﹣1 D．a(chǎn)是任意有理數(shù) 5．有數(shù)顆等重的糖果和數(shù)個大、小砝碼，其中大砝碼皆為5克、小砝碼皆為1克，如圖是將糖果與砝碼放在等臂天平上的兩種情形．判斷下列哪一種情形是正確的 A． B． C． D． 6．把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列選項正確的是 A

20、． B． C． D． 7．關(guān)于x的不等式組的解集為x>1，則a的取值范圍是 A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)≤1 D．a(chǎn)<1 8．若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組有且只有4個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程=3的解為正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為 A．﹣2 B．0 C．3 D．6 9．如圖，直角△ADB中，∠D=90°，C為AD上一點，且∠ACB的度數(shù)為，則的值可能是 A．10 B．20 C．30 D．40 10．若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組 至少有3個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程=2有非負(fù)整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和是 A．14 B．15 C．23 D．24 11．若關(guān)

21、于x的一元一次不等式組無解，則a的取值范圍是 A．a(chǎn)≥6 B．a(chǎn)>6 C．a(chǎn)≤﹣6 D．a(chǎn)<﹣6 12．在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B、C、D是坐標(biāo)軸上的點且點C坐標(biāo)是（0，﹣1），AB=5，點（a，b）在如圖所示的陰影部分內(nèi)部（不包括邊界），已知OA=OD=4，則a的取值范圍是 A． B． C． D． 13．若不等式的解集是，則必須滿足的條件是 A． B． C． D． 14．已知不等式組，其解集在數(shù)軸上表示正確的是 A． B． C． D． 15．某大型超市從生產(chǎn)基地購進一批水果，運輸過程中質(zhì)量損失，假設(shè)不計超市其他費

22、用，如果超市要想至少獲得的利潤，那么這種水果的售價在進價的基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高 A． B． C． D． 16．已知關(guān)于的不等式組的整數(shù)解有4個，則的取值范圍是 A． B． C． D． 17．如圖表示下列四個不等式組中其中一個的解集，這個不等式組是 A． B． C． D． 18．適合不等式組的全部整數(shù)解的和是 A． B． C． D． 19．老師在黑板上寫了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有_____________

23、____個． 20．不等式的解集為_________________． 21．不等式組的整數(shù)解是_________________． 22．不等式組的解集是，則的取值范圍是_________________． 23．若關(guān)于的不等式組的解集為，那么的取值范圍為_________________． 24．若關(guān)于的一元一次不等式組無解，則的取值范圍是_________________． 25．不等式組的最小整數(shù)解是_________________． 26．若關(guān)于的不等式的整數(shù)解共有4個，則的取值范圍是_________________． 27．張老師把手中一包棒棒糖準(zhǔn)備分給幼兒園小

24、班的小朋友，如果每個小朋友分3個棒棒糖，那么還剩59個；如果前面每一個小朋友分5個棒棒糖，則最后一個小朋友得到了棒棒糖，但不足3個．則張老師手中棒棒糖的個數(shù)為_________________． 28．“保護好環(huán)境，拒絕冒黑煙”．某市公交公司將淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴(yán)重的公交車，計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛，若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元． （1）求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元？ （2）預(yù)計在該線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次．若該公司購買A型和B型

25、公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？哪種購車方案總費用最少？最少總費用是多少？ 29．某商城銷售A，B兩種自行車型自行車售價為2100元輛，B型自行車售價為1750元輛，每輛A型自行車的進價比每輛B型自行車的進價多400元，商城用80000元購進A型自行車的數(shù)量與用64000元購進B型自行車的數(shù)量相等． （1）求每輛A，B兩種自行車的進價分別是多少？ （2）現(xiàn)在商城準(zhǔn)備一次購進這兩種自行車共100輛，設(shè)購進A型自行車m輛，這100輛自行車的銷售總利潤為y元，要求購進B型自行車數(shù)量不超過A

26、型自行車數(shù)量的2倍，總利潤不低于13000元，求獲利最大的方案以及最大利潤． 30．學(xué)校為了獎勵初三優(yōu)秀畢業(yè)生，計劃購買一批平板電腦和一批學(xué)習(xí)機，經(jīng)投標(biāo)，購買1臺平板電腦3000元，購買1臺學(xué)習(xí)機800元． （1）學(xué)校根據(jù)實際情況，決定購買平板電腦和學(xué)習(xí)機共100臺，要求購買的總費用不超過168000元，則購買平板電腦最多多少臺？ （2）在（1）的條件下，購買學(xué)習(xí)機的臺數(shù)不超過平板電腦臺數(shù)的倍．請問有哪幾種購買方案？哪種方案最省錢？ 1．（2019?河北）語句“x的與x的和不超過5”可以表示為 A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5

27、D．+x=5 2．（2019?桂林）如果a>b，c<0，那么下列不等式成立的是 A．a(chǎn)+c>b B．a(chǎn)+c>b-c C．a(chǎn)c-1>bc-1 D．a(chǎn)（c-1）

28、·襄陽）不等式組的解集在數(shù)軸上用陰影表示正確的是 A． B． C． D． 8．（2019·廣元）不等式組的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)是 A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2019·內(nèi)江）若關(guān)于的代等式組恰有三個整數(shù)解，則的取值范圍是 A． B． C． D．或 10．（2019·永州）若關(guān)于x的不等式組有解，則在其解集中，整數(shù)的個數(shù)不可能是 A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2019·呼和浩特）若不等式的解集中的每一個值，都能使關(guān)于的不等式成立，則的取值范圍是 A． B． C． D． 12．（2019?呼和浩特）若不等式-1≤2-x的解集中x的每一個值，都能使關(guān)于x的不等

29、式3（x-1）+5>5x+2（m+x）成立，則m的取值范圍是 A．m>- B．m<- C．m<- D．m>- 13．（2019?常德）小明網(wǎng)購了一本《好玩的數(shù)學(xué)》，同學(xué)們想知道書的價格，小明讓他們猜．甲說：“至少15元．”乙說：“至多12元．”丙說：“至多10元．”小明說：“你們?nèi)齻€人都說錯了”．則這本書的價格x（元）所在的范圍為 A．10

30、具的數(shù)量．則小明的購買方案有 A．5種 B．4種 C．3種 D．2種 15．（2019·重慶A卷）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是xa，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為 A．0 B．1 C．4 D．6 16．（2019·無錫）某工廠為了要在規(guī)定期限內(nèi)完成2160個零件的任務(wù)，于是安排15名工人每人每天加工a個零件（a為整數(shù)），開工若干天后，其中3人外出培訓(xùn)，若剩下的工人每人每天多加工2個零件，則不能按期完成這次任務(wù)，由此可知a的值至少為 A．10 B．9 C．8 D．7 17．（2019?重慶）某次知

31、識競賽共有20題，答對一題得10分，答錯或不答扣5分，小華得分要超過120分，他至少要答對的題的個數(shù)為 A．13 B．14 C．15 D．16 18．（2019?廣東）某校為了開展“陽光體育運動”，計劃購買籃球、足球共60個，已知每個籃球的價格為70元，每個足球的價格為80元． （1）若購買這兩類球的總金額為4600元，求籃球，足球各買了多少個？ （2）若購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額，求最多可購買多少個籃球？ 19．（2019?河南）學(xué)校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買

32、5個A獎品和4個B獎品共需210元． （1）求A，B兩種獎品的單價； （2）學(xué)校準(zhǔn)備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的．請設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由． 20．（2019·聊城）某商場的運動服裝專柜，對兩種品牌的遠動服分兩次采購試銷后，效益可觀，計劃繼續(xù)采購進行銷售．已知這兩種服裝過去兩次的進貨情況如下表． 第一次 第二次 品牌運動服裝數(shù)/件 20 30 品牌運動服裝數(shù)/件 30 40 累計采購款/元 10200 14400 （1）問兩種品牌運動服的進貨單價各是多少元？ （2）由于品牌運動服的銷量明

33、顯好于品牌，商家決定采購品牌的件數(shù)比品牌件數(shù)的倍多5件，在采購總價不超過21300元的情況下，最多能購進多少件品牌運動服？ 21．（2019·張家界）某社區(qū)購買甲、乙兩種樹苗進行綠化，已知甲種樹苗每棵30元，乙種樹苗每棵20元，且乙種樹苗棵數(shù)比甲種樹苗棵數(shù)的2倍少40棵，購買兩種樹苗的總金額為9000元． （1）求購買甲、乙兩種樹苗各多少棵？ （2）為保證綠化效果，社區(qū)決定再購買甲、乙兩種樹苗共10棵，總費用不超過230元，求可能的購買方案？ 22．（2019·遵義）某校計劃組織240名師生到紅色教育基地開展革命傳統(tǒng)教育活動．

34、旅游公司有A，B兩種客車可供租用，A型客車每輛載客量45人，B型客車每輛載客量30人．若租用4輛A型客車和3輛B型客車共需費用10700元；若租用3輛A型客車和4輛B型客車共需費用10300元． （1）求租用A，B兩型客車，每輛費用分別是多少元； （2）為使240名師生有車坐，且租車總費用不超過1萬元，你有哪幾種租車方案？哪種方案最省錢？ 23．（2019·廣元）某水果商計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售，經(jīng)了解，甲種水果的進價比乙種水果的進價每千克少4元，且用800元購進甲種水果的數(shù)量與用1000元購進乙種水果的數(shù)量相同． （1）求甲、乙兩種水果的單價分別是多

35、少元？ （2）該水果商根據(jù)該水果店平常的銷售情況確定，購進兩種水果共200千克，其中甲種水果的數(shù)量不超過乙種水果數(shù)量的3倍，且購買資金不超過3420元，購回后，水果商決定甲種水果的銷售價定為每千克20元，乙種水果的銷售價定為每千克25元，則水果商應(yīng)如何進貨，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？ 變式拓展 1．【答案】B 【解析】①，是不等式，符合題意； ②，是不等式，符合題意； ③，是等式，不合題意； ④，是多項式，不符合題意； ⑤，是不等式，符合題意； ⑥，是不等式，符合題意， 故選B. 【名師點睛】本題考查了不等式的識別，明確用“

36、>、<、≥、≤、≠”等表示不等關(guān)系的符號連接的式子叫不等式是解題的關(guān)鍵. 2．【答案】（1）>；（2）=；（3）<；（4）4＋3a2–2b＋b2>3a2–2b＋1． 【解析】（1）因為a–b>0，所以a–b+b>0+b，即a>b； （2）因為a–b=0，所以a–b+b=0+b，即a=b； （3）因為a–b<0，所以a–b+b<0+b，即a0，所以4+3a2–2b+b2>3a2–2b+1． 故答案為：>、=、<、4+3a2–2b+b2>3a2–

37、2b+1． 【名師點睛】（1）本題考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變；（3）等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變． （2）此題還考查了“求差法比較大小”方法的應(yīng)用，要熟練掌握． 3．【答案】C 【解析】移項，可得，系數(shù)化為1，可得．故選C． 4．【答案】D 【解析】對移項及合并同類項，可得，在數(shù)軸上表示為，故選D． 5．【答案】 【解析】， 由不等式①得，解得， 由不等式②得，解得， 將不等式①，②的解集表示在數(shù)軸

38、上為 所以該不等式組的解集為. 【名師點睛】本題考查解一元一次不等式組，掌握不等式組解集的表示方法是關(guān)鍵. 6．【答案】–3–3； 解不等式②，得：x≤1； 所以不等式組的解集為：–3

39、可得，因為關(guān)于的一元一次不等式組有解，所以，．故選C． 【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結(jié)合數(shù)軸來判斷，也可以觀察不等式的解，若大于較小的數(shù)、小于較大的數(shù)，那么該不等式組有解． 10．【答案】 【解析】不等式組可化為，由不等式的整數(shù)解有2個，可得，整數(shù)解為3，4，則的范圍為． 11．【答案】（1）清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費用為2000元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費用為3000元；（2）分配清理人員方案有兩種：方案一：18人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，22人清理捕魚網(wǎng)箱；方案二：19人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，21人清理捕魚網(wǎng)箱． 【解析】（1）設(shè)清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費用為x元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費

40、用為y元， 根據(jù)題意，得：， 解得：， 答：清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費用為2000元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費用為3000元； （2）設(shè)m人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，則（40–m）人清理捕魚網(wǎng)箱， 根據(jù)題意，得：， 解得：18≤m<20， ∵m為整數(shù)，∴m=18或m=19， 則分配清理人員方案有兩種： 方案一：18人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，22人清理捕魚網(wǎng)箱； 方案二：19人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，21人清理捕魚網(wǎng)箱． 【名師點睛】本題主要考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關(guān)系或不等關(guān)系，并據(jù)此列出方程或不等式組． 12．【答案】（1）A、B兩種型號的儀器每臺進

41、價各是400元、300元；（2）有三種具體方案：①購進A種儀器18臺，購進B種儀器64臺；②購進A種儀器19臺，購進B種儀器67臺；③購進A種儀器20臺，購進B種儀器70臺． 【解析】（1）設(shè)A、B兩種型號的儀器每臺進價各是x元和y元． 由題意得：，解得：． 答：A、B兩種型號的儀器每臺進價各是400元、300元； （2）設(shè)購進A種儀器a臺，則購進A種儀器（3a+10）臺． 則有：， 解得． 由于a為整數(shù)，∴a可取18或19或20． 所以有三種具體方案： ①購進A種儀器18臺，購進B種儀器64臺； ②購進A種儀器19臺，購進B種儀器67臺； ③購進A種儀器20臺，購進B種

42、儀器70臺． 【名師點睛】考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系．注意：利潤=售價–進價． 考點沖關(guān) 1．【答案】B 【解析】系數(shù)化為1得：x<6． 2．【答案】B 【解析】A、若0>a>b時，a+b<0．故A選項錯誤； B、在a>b的兩邊同時減去b，不等式仍成立，即a–b>0．故B選項正確； C、若a>0>b時，ab<0．故C選項錯誤； D、若b=0時，該不等式不成立．故D選項錯誤． 故選B． 【名師點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子

43、），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變. 3．【答案】D 【解析】∵b0，故A選項不符合題意， ∵a<0，b<0，∴ab>0，>0，故B、C選項不符合題意， ∵b

44、果（a+1）x1，得a+1<0，a<–1.故選B. 5．【答案】D 【解析】設(shè)1個糖果的質(zhì)量為x克，則，解得5，≥向右畫；<，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“<”，“>”要用空心圓點表示． 7．【答案】C

45、 【解析】∵不等式組的解集為x>1，根據(jù)大大取大可得：a≤1，故選C． 【名師點睛】本題主要考查的是求不等式組的解集，屬于基礎(chǔ)題型．理解不等式組的解集與不等式的解之間的關(guān)系是解決這個問題的關(guān)鍵． 8．【答案】B 【解析】解不等式，得：x≤3， 解不等式7x+4>﹣a，得：x>， ∵不等式組有且只有4個整數(shù)解， ∴在的范圍內(nèi)只有4個整數(shù)解， ∴整數(shù)解為x=0，1，2，3， ∴，解得：﹣40，解得：a<5②， ∴所有滿足①②的整數(shù)a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3， ∴符合條件的所有整數(shù)a的和為0．故選B． 【名師點

46、睛】本題考查了解一元一次不等式組及應(yīng)用，解分式方程．解題關(guān)鍵是由不等式組有4個整數(shù)解推出不等式②解集的范圍，再得到a的取值范圍． 9．【答案】C 【解析】∠ACB=∠90°+∠CBD，∴（5x?10）°=∠90°+∠CBD，化簡得：x=20+∠DBC， ∵0°<∠DBC<90°，∴20°

47、， 解不等式5x﹣2a>2x+a，得：x>a， ∵不等式組至少有3個整數(shù)解，∴a<9； 分式方程兩邊乘以y﹣1，得：a﹣3+2=2（y﹣1），解得：y=， ∵分式方程有非負(fù)整數(shù)解，∴a取﹣1，1，3，5，7，9，11，…… ∵a<9，且y≠1，∴a只能取﹣1，3，5，7， 則所有整數(shù)a的和為﹣1+3+5+7=14， 故選A． 【名師點睛】此題考查一元一次不等式組的整數(shù)解和分式方程的解，關(guān)鍵在于用含有a的式子表示y 11．【答案】A 【解析】由x﹣6<0知x<6，由x﹣a>0知x>a， ∵不等式組無解，∴a≥6，故選A． 【名師點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“

48、同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵． 12．【答案】D 【解析】∵AB=5，OA=4，∴OB=，∴點B（–3，0）． ∵OA=OD=4，∴點A（0，4），點D（4，0）． 設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b， 將A（0，4）、D（4，0）代入y=kx+b，，解得：， ∴直線AD的解析式為y=–x+4； 設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n， 將B（–3，0）、C（0，–1）代入y=mx+n， ，解得：，∴直線BC的解析式為y=–x–1． 聯(lián)立直線AD、BC的解析式成方程組，，解得：， ∴直線AD、BC的交點坐標(biāo)為（，–）． ∵點（a，b

49、）在如圖所示的陰影部分內(nèi)部（不包括邊界），∴–3

50、得，因為不等式組有4個整數(shù)解，所以，整數(shù)解為5，6，7，8，所以，故選C． 17．【答案】D 【解析】因為處是空心圓點，且折線向右，處是實心圓點，且折線向左，所以這個不等式組的解集是，對應(yīng)的不等式組為，故選D． 18．【答案】B 【解析】，解不等式①得，解不等式②得， 不等式組的解集為?，整數(shù)解為，，， 全部整數(shù)解的和是，故選B． 19．【答案】4 【解析】因為用不等號連接的式子叫做不等式，其中常用不等號有：“>，<，≥，≤，≠”，所以屬于不等式的是①②③⑥，共有4個． 20．【答案】 【解析】因為，所以，所以．故不等式的解集為． 21．【答案】3、4 【解析】解不等式

51、x–1≥0，得：x≥3， 解不等式x–16<1–3x，得：x<， 則不等式組的解集為3≤x<， 所以不等式組的整數(shù)解為3、4， 故答案為：3、4． 【名師點睛】本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結(jié)合數(shù)軸來判斷．還可以觀察不等式的解，若x>較小的數(shù)、<較大的數(shù)，那么解集為x介于兩數(shù)之間． 22．【答案】 【解析】，解不等式①得，解不等式②得， 因為不等式組的解集是，所以，所以． 23．【答案】 【解析】解不等式組不等式組可得． 因為關(guān)于的不等式組的解集為，所以． 24．【答案】 【解析】，由①可得，由②可得， 因為關(guān)于的一元一次不等式組無解，所以．

52、25．【答案】 【解析】，由①可得，由②可得，不等式組的解集為，所以不等式組的最小整數(shù)解為． 26．【答案】 【解析】，由①可得，由②可得， 因為關(guān)于的不等式的整數(shù)解共有4個，所以，整數(shù)解應(yīng)為3，4，5，6， 所以． 27．【答案】 【解析】設(shè)共有個小朋友，則棒棒糖有個，再根據(jù)最后一個小朋友得到了棒棒糖，但不足個列出不等式組，解得，所以，所以，故張老師手中棒棒糖的個數(shù)為． 28．【答案】（1）購買A型和B型公交車每輛各需100萬元、150萬元；（2）該公司有3種購車方案，第3種購車方案的總費用最少，最少總費為1100萬元. 【解析】（1）設(shè)購買A型公交車每輛需x萬元，購買B型

53、公交車每輛需y萬元，由題意得，解得． 答：購買A型公交車每輛需100萬元，購買B型公交車每輛需150萬元． （2）設(shè)購買A型公交車a輛，則B型公交車（10–a）輛， 由題意得，解得：6≤a≤8， 所以a=6，7，8； 則（10–a）=4，3，2； 三種方案： ①購買A型公交車6輛，則B型公交車4輛：100×6+150×4=1200萬元； ②購買A型公交車7輛，則B型公交車3輛：100×7+150×3=1150萬元； ③購買A型公交車8輛，則B型公交車2輛：100×8+150×2=1100萬元； 購買A型公交車8輛，則B型公交車2輛費用最少，最少總費用為1100萬元． 【名

54、師點睛】此題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，注意理解題意，找出題目蘊含的數(shù)量關(guān)系，列出方程組或不等式組解決問題． 29．【答案】（1）每輛A型自行車的進價為2000元，每輛B型自行車的進價為1600元；（2）當(dāng)購進A型自行車34輛，B型自行車66輛時獲利最大，最大利潤為13300元． 【解析】（1）設(shè)每輛B型自行車的進價為x元，則每輛A型自行車的進價為（x+400）元， 根據(jù)題意，得=，解得x=1600， 經(jīng)檢驗，x=1600是原方程的解， x+400=1600+400=2000， 答：每輛A型自行車的進價為2000元，每輛B型自行車的進價為1600元； （2）由題意

55、，得y=（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）=﹣50m+15000， 根據(jù)題意，得，解得：33≤m≤40， ∵m為正整數(shù)，∴m=34，35，36，37，38，39，40． ∵y=﹣50m+15000，k=﹣50<0， ∴y隨m的增大而減小，∴當(dāng)m=34時，y有最大值， 最大值為：﹣50×34+15000=13300（元）． 答：當(dāng)購進A型自行車34輛，B型自行車66輛時獲利最大，最大利潤為13300元． 【名師點睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用及一元一次不等式組的應(yīng)用.仔細(xì)審題，找出題目中的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵. 30．【答案】（1）

56、平板電腦最多購買40臺；（2）購買平板電腦38臺，學(xué)習(xí)機62臺最省錢． 【思路分析】（1）設(shè)購買平板電腦臺，則購買學(xué)習(xí)機臺，根據(jù)購買的總費用不超過168000列出不等式，求出解集即可；（2）購買學(xué)習(xí)機的臺數(shù)不超過購買平板電腦臺數(shù)的倍列出不等式，求出不等式組的解集，即可得出購買方案，進而得出最省錢的方案． 【解析】（1）設(shè)購買平板電腦臺，則購買學(xué)習(xí)機臺， 根據(jù)題意，得，解得． 答：平板電腦最多購買40臺． （2）設(shè)購買平板電腦臺，則購買學(xué)習(xí)機臺， 根據(jù)題意，得，解得， 又為正整數(shù)且，所以38，39，40， 因此該校有三種購買方案： 方案一：購買平板電腦38臺，學(xué)習(xí)機62臺，總費

57、用為163600元； 方案二：購買平板電腦39臺，學(xué)習(xí)機61臺，總費用為165800元； 方案三：購買平板電腦40臺，學(xué)習(xí)機60臺，總費用為168000元； 顯然163600<165800<168000，所以購買平板電腦38臺，學(xué)習(xí)機62臺最省錢． 答：購買平板電腦38臺，學(xué)習(xí)機62臺最省錢． 直通中考 1．【答案】A 【解析】“x的與x的和不超過5”用不等式表示為x+x≤5．故選A． 2．【答案】D 【解析】∵c<0，∴c-1<-1，∵a>b，∴a（c-1）

58、不等式的兩邊都乘以-3，不等號的方向改變，故B錯誤； C、不等式的兩邊都除以3，不等號的方向不變，故C錯誤； D、如，故D正確，故選D． 4．【答案】A 【解析】，3-x>2x，3>3x，x<1，故選A． 5．【答案】C 【解析】∵點關(guān)于原點對稱的點在第四象限，∴點在第二象限， ∴，解得：．則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是：．故選C． 6．【答案】B 【解析】， 由①得， 由②得， ∴不等式組的解集為， 故選B． 【名師點睛】本題考查了解一元一次方程組，求不等式組的解集應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了． 7．【答案】C 【解

59、析】不等式組整理得：， ∴不等式組的解集為， 故選C． 【名師點睛】此題考查了解一元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵． 8．【答案】B 【解析】， 解①得：， 解②得：， 則不等式組的解集為． 故非負(fù)整數(shù)解為0，1，2，3共4個， 故選B． 【名師點睛】考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，解不等式組應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，大小小大中間找，大大小小解不了． 9．【答案】B 【解析】解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式組恰有三個整數(shù)解， ∴這三個整數(shù)解為0、1、2， ∴， 解得， 故選B． 【名師點睛】此

60、題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則． 10．【答案】C 【解析】解不等式2x-6+m<0，得：x， 解不等式4x-m>0，得：x， ∵不等式組有解， ∴， 解得m<4， 如果m=2，則不等式組的解集為m<2，整數(shù)解為x=1，有1個； 如果m=0，則不等式組的解集為0

61、．【答案】C 【解析】解不等式得：， ∵不等式的解集中的每一個值，都能使關(guān)于的不等式成立， ∴， ∴， 解得：， 故選C． 【名師點睛】本題主要對解一元一次不等式組，不等式的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能根據(jù)已知得到關(guān)于m的不等式是解此題的關(guān)鍵． 12．【答案】C 【解析】解不等式-1≤2-x得：x≤， ∵不等式-1≤2-x的解集中x的每一個值，都能使關(guān)于x的不等式3（x-1）+5>5x+2（m+x）成立， ∴x<，∴>，解得：m<-，故選C． 13．【答案】B 【解析】根據(jù)題意可得：，可得：12≤x≤15，∴12

62、明購買了A種玩具x件，則購買的B種玩具為件，根據(jù)題意得，， 解得，1≤x<3，∵x為整數(shù)，∴x=1或2或3，∴有3種購買方案．故選C． 15．【答案】B 【解析】由不等式組，解得，∵解集是x≤a，∴a<5． 由關(guān)于的分式方程得得2y-a+y-4=y-1，∴， 又∵非負(fù)整數(shù)解，∴a≥-3，且a=-3，a=-1（舍，此時分式方程為增根），a=1，a=3它們的和為1，故選B． 16．【答案】B 【解析】設(shè)原計劃m天完成，開工x天后3人外出培訓(xùn)，則有15am=2160，得到am=144， 由題意得15ax+12（a+2）（m-x）<2160，即：ax+4am+8m-8x<720， ∵

63、am=144，∴將其代入得：ax+576+8m-8x<720，即：ax+8m-8x<144， ∴ax+8m-8xx，∴m-x>0，∴a>8，∴a至少為9，故選B． 17．【答案】C 【解析】設(shè)要答對x道．10x+（-5）×（20-x）>120，10x-100+5x>120，15x>220， 解得：x>， 根據(jù)x必須為整數(shù)，故x取最小整數(shù)15，即小華參加本次競賽得分要超過120分，他至少要答對15道題．故選C． 18．【解析】（1）設(shè)購買籃球x個，購買足球y個， 依題意得： ． 解得． 答：購買籃球20個，購買足球40個． （2）

64、設(shè)購買了a個籃球， 依題意得：70a≤80（60-a）， 解得a≤32． 答：最多可購買32個籃球． 19．【解析】（1）設(shè)A的單價為x元，B的單價為y元， 根據(jù)題意，得， ∴， ∴A的單價30元，B的單價15元； （2）設(shè)購買A獎品z個，則購買B獎品為（30-z）個，購買獎品的花費為W元， 由題意可知，z≥（30-z）， ∴z≥， W=30z+15（30-z）=450+15z， 當(dāng)z=8時，W有最小值為570元， 即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少． 20．【解析】（1）設(shè)兩種品牌運動服的進貨單價分別為元和元， 根據(jù)題意，得， 解得， 經(jīng)檢驗，方程

65、組的解符合題意． 答：兩種品牌運動服的進貨單價分別為240元和180元． （2）設(shè)購進品牌運動服件，則購進品牌運動服件， ∴， 解得，． 經(jīng)檢驗，不等式的解符合題意，∴． 答：最多能購進65件品牌運動服． 21．【解析】（1）設(shè)購買甲種樹苗x棵，購買乙種樹苗棵， 由題意可得，， ， ， ∴購買甲種樹苗196棵，乙種樹苗352棵． （2）設(shè)購買甲樹苗y棵，乙樹苗棵， 根據(jù)題意可得，， ， ∴， ∵y為自然數(shù)， ∴y=3、2、1、0，有四種購買方案， 購買方案1：購買甲樹苗3棵，乙樹苗7棵； 購買方案2：購買甲樹苗2棵，乙樹苗8棵； 購買方案3：購買甲樹苗1

66、棵，乙樹苗9棵； 購買方案4：購買甲樹苗0棵，乙樹苗10棵． 【名師點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系、不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 22．【解析】（1）設(shè)租用A，B兩型客車，每輛費用分別是x元、y元， ， 解得，， 答：租用A，B兩型客車，每輛費用分別是1700元、1300元． （2）設(shè)租用A型客車a輛，租用B型客車b輛， ， 解得，，，， ∴共有三種租車方案， 方案一：租用A型客車2輛，B型客車5輛，費用為9900元， 方案二：租用A型客車4輛，B型客車2輛，費用為9400元， 方案三：租用A型客車5輛，B型客車1輛，費用為9800元， 由上可得，方案二：租用A型客車4輛，B型客車2輛最省錢． 【名師點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用不等式的性質(zhì)和方程的知識解答． 23．【解析】（1）設(shè)甲種水果的單價是x元，則乙種水果的單價是元， ， 解得，， 經(jīng)檢驗，是原分式方程的解， ∴， 答：甲、乙兩種水果的單價分別是16元、20元． （2）設(shè)購進甲種水果