《（山西專版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 提分專練03 二次函數(shù)簡單綜合問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（山西專版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 提分專練03 二次函數(shù)簡單綜合問題（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、提分專練(三)　二次函數(shù)簡單綜合問題 |類型1|　運動產(chǎn)生的線段、面積問題 1.如圖T3-1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+3與x軸,y軸分別交于點A,點B,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A,B與點C(-1,0). (1)求拋物線的解析式. (2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點(不與點A,B重合),過點P作x軸的垂線,垂足為D,交線段AB于點E.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m. ①求△PAB的面積y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)m為何值時,y有最大值,最大值是多少? ②若點E是垂線段PD的三等分點,求點P的坐標(biāo). 圖T3-1

2、 |類型2|　運動產(chǎn)生的特殊圖形問題 2.[2019·山西省適應(yīng)訓(xùn)練]如圖T3-2,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象交x軸于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,連接AC. (1)求點A、點B和點C的坐標(biāo); (2)若點D為第四象限內(nèi)拋物線上一動點,點D的橫坐標(biāo)為m,△BCD的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值; (3)拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△BCP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 圖T3-2 3.[2018·自貢]如圖T3-3,拋物線y=ax2+bx-3過A(1,0

3、),B(-3,0),直線AD交拋物線于點D,點D的橫坐標(biāo)為-2,點P(m,n)是線段AD上的動點(點P不與點A,D重合). (1)求直線AD及拋物線的解析式. (2)過點P的直線垂直于x軸,交拋物線于點Q,求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式,當(dāng)m為何值時,PQ最長? (3)在平面內(nèi)是否存在整點(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))R,使得以P,Q,D,R為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點R的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 圖T3-3 |類型3|　運動產(chǎn)生的相似三角形問題 4.[2018·鄂州]如圖T3-4,已知直線y=12x+12與拋物線y=ax2+bx+c相交于A(-1,0

4、),B(4,m)兩點,拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點C0,-32,交x軸的正半軸于點D,拋物線的頂點為M. (1)求拋物線的解析式及點M的坐標(biāo); (2)設(shè)點P為直線AB下方的拋物線上一動點,當(dāng)△PAB的面積最大時,求△PAB的面積及點P的坐標(biāo); (3)點Q為x軸上一動點,點N是拋物線上一點,當(dāng)△QMN∽△MAD(點Q與點M對應(yīng))時,求點Q的坐標(biāo). 圖T3-4 【參考答案】 1.解:(1)∵直線y=-x+3與x軸,y軸分別交于點A,點B, ∴A(3,0),B(0,3). 把A(3,0),B(0,3),C(-1,0)分別代入y=ax2+bx+c, 得9a

5、+3b+c=0,a-b+c=0,c=3,解得a=-1,b=2,c=3, ∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3. (2)①∵點P的橫坐標(biāo)為m, ∴P(m,-m2+2m+3). ∵PD⊥x軸,∴E(m,-m+3), ∴PE=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m, ∴y=12(-m2+3m)·m+12(-m2+3m)(3-m), ∴y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為y=-32m2+92m. ∵y=-32m2+92m=-32m-322+278, ∴當(dāng)m=32時,y有最大值,最大值是278. ②當(dāng)PE=2ED時,-m2+3m=2(-m+3),解得m=2或m=3(不合題意,舍去); 當(dāng)2PE

6、=ED時,-2m2+6m=-m+3,整理得,2m2-7m+3=0,解得m=12,m=3(不合題意,舍去). 綜上,點P的坐標(biāo)為(2,3),12,154. 2.解:(1)當(dāng)y=0時,x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1. 又∵A在B的左側(cè), ∴A(-1,0),B(3,0), 當(dāng)x=0時,y=x2-2x-3=-3, ∴C(0,-3). (2)∵D的橫坐標(biāo)為m, ∴D(m,m2-2m-3). ∵點D在第四象限, ∴m>0,m2-2m-3<0,∴0

7、-2m-3)=-32m2+3m+92, S△OBC=12×3×3=92. S△BCD=S△OCD+S△OBD-S△OCB =32m+-32m2+3m+92-92 =32m-32m2+3m+92-92 =-32m2+92m. ∵-32<0, ∴當(dāng)m=-922×-32=32時, S最大=4×-32×0-92?24×-32=278. (3)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,故拋物線的對稱軸為直線x=1. ∵點P在拋物線的對稱軸上,∴設(shè)其坐標(biāo)為P(1,t). ∴CP2=1+(t+3)2,CB2=18,PB2=t2+4. ①若PC=PB,則1+(t+3)2=t2+4,解得:t

8、=-1, 即P(1,-1). ②若PC=CB,則1+(t+3)2=18,解得:t=-3±17, 即P(1,-3+17)或P(1,-3-17). ③若BC=PB,則t2+4=18,解得:t=±14, 即P(1,14)或P(1,-14). 綜上所述,滿足條件的點P共有5個,分別為P1(1,-1),P2(1,14),P3(1,-14),P4(1,-3+17),P5(1,-3-17). 3.解:(1)∵拋物線y=ax2+bx-3過A(1,0),B(-3,0), ∴a+b-3=0,9a-3b-3=0. 解得a=1,b=2. ∴該拋物線的解析式為y=x2+2x-3. 當(dāng)x=-2時,y

9、=(-2)2+2×(-2)-3=-3, ∴D(-2,-3). 設(shè)直線AD的解析式為y=kx+t. 易得k+t=0,-2k+t=-3. 解得k=1,t=-1. ∴直線AD的解析式為y=x-1. (2)由題意,得P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),-2

10、1). [解法提示]以P,Q,D,R為頂點的四邊形是平行四邊形,可分如下情況討論: 分類一:PD是平行四邊形的對角線,此時PQ∥RD,且PQ=RD,點R在點D的上方. ∵D(-2,-3),要使R為整點, ∴線段RD長必須是整數(shù). 又∵PQ=RD,∴線段PQ長必須是整數(shù). 由(2)知,PQ=-m2-m+2=-m+122+94, -2

11、線. D(-2,-3),P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3). 設(shè)R(xR,yR).根據(jù)中點坐標(biāo)公式,得 -2+xR2=m,-3+yR2=yP+yQ2=12(m2+3m-4). 解得xR=2m+2,yR=m2+3m-1. ∴R(2m+2,m2+3m-1). ∵-2

12、4,52. 將A(-1,0),B4,52,C0,-32的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+c, 得a-b+c=0,16a+4b+c=52,c=-32.解得a=12,b=-1,c=-32. ∴拋物線的解析式為y=12x2-x-32, y=12(x2-2x)-32=12(x-1)2-12-32=12(x-1)2-2,故頂點M的坐標(biāo)為(1,-2). (2)如圖①,過點P作PE⊥x軸,交AB于點E,交x軸于點G,過點B作BF⊥x軸于點F. ∵A(-1,0),B4,52,∴AF=4―(―1)=5. 設(shè)點P的坐標(biāo)為n,12n2-n-32, 則點E的坐標(biāo)為n,12n+12. ∵點P在直線AB下

13、方, ∴PE=12n+12-12n2-n-32=-12n2+32n+2.∴S△PAB=S△APE+S△BPE=12PE·AG+12PE·FG=12PE·(AG+FG)=12PE·AF=12×5-12n2+32n+2=-54n-322+12516.∴當(dāng)n=32時,△PAB的面積最大,且最大面積為12516.當(dāng)n=32時,12n2-n-32=12×322-32-32=-158,故此時點P的坐標(biāo)為32,-158. (3)∵拋物線的解析式為y=12x2-x-32=12x-12-2, ∴拋物線的對稱軸為直線x=1. 又∵A(-1,0),∴點D的坐標(biāo)為(3,0). 又∵M(jìn)的坐標(biāo)為(1,-2), ∴AD=3―(―1)=4,AD2=42=16, AM2=[1-(-1)]2+(-2)2=8, DM2=(1―3)2+(―2―0)2=8, ∴AD2=AM2+DM2,且AM=DM. ∴△MAD是等腰直角三角形,∠AMD=90°. 又∵△QMN∽△MAD, ∴△QMN也是等腰直角三角形且QM=QN, ∠MQN=90°,∠QMN=45°. 又∵∠AMD=90°,∴∠AMQ=∠QMD=45°, 此時點D(或點A)與點N重合(如圖②),此時MQ⊥x軸,故點Q的坐標(biāo)為(1,0). 9