《《一元一次不等式組的應(yīng)用》典型例題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《一元一次不等式組的應(yīng)用》典型例題（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、《一元一次不等式組的應(yīng)用》典型例題 例題1 車(chē)站有待運(yùn)的甲種貨物1530噸，乙種貨物1150噸，原計(jì)劃用50節(jié)兩種型號(hào)的車(chē)廂將這批貨物運(yùn)至北京，已知每節(jié)A型貨箱的運(yùn)費(fèi)為0.5萬(wàn)元，每節(jié)B型貨箱的運(yùn)費(fèi)為0.8萬(wàn)元，甲種貨物35噸和乙種貨物15噸可裝滿一節(jié)A型貨箱，甲種貨物25噸和乙種貨物35噸可裝滿一節(jié)B型貨箱，按此要求安排兩種貨箱的節(jié)數(shù)，共有哪幾種方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)，并說(shuō)明哪種方案的運(yùn)費(fèi)最少？ 例題2 幼兒園大班分蘋(píng)果，若每人分3個(gè)，則余8個(gè)，若前面每人分5個(gè)，則最后一個(gè)小朋友得到的蘋(píng)果數(shù)不足3個(gè)，求有多少個(gè)小朋友和多少個(gè)蘋(píng)果？ 例題3 某班需要買(mǎi)一些筆記本和鋼筆以

2、表?yè)P(yáng)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)的10名學(xué)生，已知筆記本的單價(jià)是3.5元，鋼筆的單價(jià)是8元，且購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品的金額不超過(guò)70元．問(wèn)至多能買(mǎi)幾支鋼筆？ 例題4　某賓館底樓客房比二樓少5間，某旅游團(tuán)有48人，若全安排在底樓，每間4人，房間不夠，每間5人，有房間沒(méi)有住滿，又若安排住二樓，每間3人，房間不夠，每間4人，又有房間沒(méi)有住滿，問(wèn)賓館底樓有客房幾間？ 例題5　幼兒園有玩具若干件，分給小朋友，如果每人3件，那么還余59件，如果每人分5件，那么最后一個(gè)小朋友少幾件，來(lái)這個(gè)幼兒園有多少玩具？多少個(gè)小朋友？ 例題6 某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、

3、B兩種產(chǎn)品共50件．已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需甲種原料9kg、乙種原料3kg；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品需甲種原料4kg、乙種原料10kg． （1）設(shè)生產(chǎn)x件A種產(chǎn)品，寫(xiě)出x應(yīng)滿足的不等式組； （2）如果x是整數(shù)，有哪幾種符合題意的生產(chǎn)方案？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)． 例題7 一條鐵路線上各站之間的路程如圖所示，單位為千米．一列火車(chē)7：30從A站開(kāi)出，向E站行駛，行駛速度為80km/h，每站停車(chē)時(shí)間約4min，問(wèn)這列火車(chē)何時(shí)行駛在D站與E站之間（不包括D站、E站）的鐵路線上． 例題8 某自行車(chē)廠今年生產(chǎn)銷(xiāo)售一種新自行車(chē)，現(xiàn)向你提供以下有關(guān)信息： （1）該廠去年已備有這種自行車(chē)的車(chē)輪10000只

4、，車(chē)輪車(chē)間今年平均每月可生產(chǎn)車(chē)輪1500只，每輛自行車(chē)需裝配2只輪； （2）該廠裝配車(chē)間（自行車(chē)生產(chǎn)最后一道工序的生產(chǎn)車(chē)間）每月至少可裝配這種自行車(chē)1000輛，但不超過(guò)1200輛； （3）今年該廠已收到各地客戶訂購(gòu)這種自行車(chē)共14500輛的訂貨單； （4）這種自行車(chē)出廠銷(xiāo)售單價(jià)為500元/輛． 設(shè)該廠今年這種自行車(chē)的銷(xiāo)售金額為萬(wàn)元，請(qǐng)你根據(jù)上述信息，判斷的取值范圍． 例題9 某園林的門(mén)票每張10元，一次使用．考慮人們的不同需求，也為了吸引更多的游客，該園林除保留原來(lái)的售票方法外，還推出了一種購(gòu)買(mǎi)個(gè)人年票的售票方法（個(gè)人年票從購(gòu)買(mǎi)日起，可供持票者使用一年）．年票分三類(lèi)：A類(lèi)年票每

5、張120元，持票者進(jìn)入園林時(shí)，無(wú)需再買(mǎi)門(mén)票；B類(lèi)年票每張60元，持票者進(jìn)入該園林時(shí)，需再購(gòu)買(mǎi)門(mén)票，每次2元；C類(lèi)年票每張40元，持票者進(jìn)入該園林時(shí)，需再購(gòu)買(mǎi)門(mén)票，每次3元． （1）如果你只選擇一種購(gòu)買(mǎi)門(mén)票的方式，并且你計(jì)劃在一年中用80元花在該園林的門(mén)票上，試通過(guò)計(jì)算，找出進(jìn)入該園林的次數(shù)最多的購(gòu)票方式． （2）求一年中進(jìn)入該園林至少超過(guò)多少次時(shí)，購(gòu)買(mǎi)A在年票比較合算． 例題10 有兩個(gè)學(xué)生參加四次測(cè)驗(yàn)，他們的平均分?jǐn)?shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)．他們又參加了第五次測(cè)驗(yàn)，測(cè)驗(yàn)后他們的平均成績(jī)都提高到90分．問(wèn)在第五次測(cè)驗(yàn)時(shí)，這兩個(gè)學(xué)生的分?jǐn)?shù)各是多少？（滿分100分，得分都是整數(shù)）

6、 例題11　大小盒子共裝球99個(gè)，每個(gè)大盒裝12個(gè)，小盒裝5個(gè)，恰好裝完，盒子個(gè)數(shù)大于10，問(wèn)：大小盒子各多少個(gè)？ 參考答案 例題1 分析 這是一道方案設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題，要將貨物運(yùn)至北京，車(chē)廂的總裝載重量必須大于或等于貨物的總量，由此可列不等式。 解答 設(shè)需要A型車(chē)廂x節(jié)， 由題意得 解得， 因?yàn)閤為整數(shù)，所以x取28，29，30， 即有3種方案： （1）A型28節(jié)，B型22節(jié)；（2）A型29節(jié)，B型21節(jié)；（3）A型30節(jié)，B型20節(jié)， 由題意知，運(yùn)費(fèi)，當(dāng)時(shí)，y取最小值，即A型車(chē)廂20節(jié)，B型車(chē)廂20節(jié)時(shí)運(yùn)費(fèi)最少． 例題2 分析 設(shè)有個(gè)小朋友，則蘋(píng)果數(shù)為．如果每人分

7、5個(gè)，因?yàn)樽詈笠粋€(gè)小朋友的蘋(píng)果數(shù)不足3個(gè)，所以應(yīng)在和之間，可得不等式組． 解答 設(shè)幼兒園大班共有個(gè)小朋友，根據(jù)題意得 由（1）得； 由（2）得． 所以不等式組的解集為． 又因?yàn)闉檎麛?shù)，故． 所以，有6個(gè)小朋友，共有蘋(píng)果3×6＋8＝26（個(gè)）． 例題3 分析 因?yàn)槊咳酥猾@1件獎(jiǎng)品，故筆記本和鋼筆的數(shù)量和是10，總金額不超過(guò)70元．根據(jù)題意，可列出下列由方程和不等式組成的式子． 解答 設(shè)購(gòu)買(mǎi)本筆記本，支鋼筆，依題意可得 由（1）得，（3） 將（3）代入（2）得，解得． 又是正整數(shù)，所以的最大值是7，即至多能買(mǎi)7支鋼筆． 例題4　解答 設(shè)底樓有間客房，則二樓

8、有(+5)間客房， 根據(jù)題意，得， 　　 　　∴9＜＜12． 　　　　依題意，又可得， 　 　　∴ 7＜＜11． 故 =10． 答：底樓有10間客房． 　　說(shuō)明 本題是列不等式解應(yīng)用題，在確定設(shè)未知數(shù)后，關(guān)鍵是找出不等式關(guān)系和列出不等式，為此須認(rèn)真斟酌關(guān)鍵詞語(yǔ)如“不夠”和“沒(méi)住滿”的含義． 例題5　分析 此問(wèn)題中有兩個(gè)未知數(shù)，且沒(méi)有等量關(guān)系，有不等關(guān)系，因此可考慮用不等式組來(lái)解． 解答 設(shè)小朋友x人，則有 解（1），得， 解（2），得， ∴ ∵ x為整數(shù)，∴ 此時(shí) 答：幼兒園有小朋友30人，玩具149件；幼兒園有小朋友31人，玩具152件．

9、 說(shuō)明 利用一元一次不等式組解應(yīng)用題的步驟與列一元二次方程組解應(yīng)用題大體相同，不同的是后者尋求的是等量關(guān)系，列出的是等式，前者尋求的是不等關(guān)系，列出的是不等式，并且解不等式組所得結(jié)果通常為一解集，需從解集中找出符合題意的答案． 例題6 解答 （1）根據(jù)題意，x滿足不等式組： （2）解不等式組，得 ． 因?yàn)閤是整數(shù)，所以． 因此生產(chǎn)方案有三種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件、B種產(chǎn)品20件；或生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件、B種產(chǎn)品19件；或生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件、B種產(chǎn)品18件． 例題7 分析 如果設(shè)這列火車(chē)行駛至DE這段鐵路線上任意一處（不包括）所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為，那么就能用的一次式表示列

10、車(chē)所經(jīng)過(guò)的路程．根據(jù)這個(gè)路程應(yīng)大于（80＋50＋70）km，且小于（80＋50＋70＋60）km，就可列出不等式組，解出的取值范圍．再根據(jù)列車(chē)出發(fā)的時(shí)間，就能求出列車(chē)何時(shí)行駛在DE這段鐵路線上． 解答 設(shè)這列火車(chē)行駛至DE這段鐵路線上任意一處（不包括）所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為，則相應(yīng)所經(jīng)過(guò)的路程為km． 依題意，得 解不等式（1），得． 解不等式（2），得． ∴不等式組的解集是． 7.5＋2.7＝10.2（時(shí)），7.5＋3.45＝10.95（時(shí)）． 答：這列火車(chē)行駛在DE這段鐵路線上的時(shí)間是10：12至10：57． 說(shuō)明 列不等式組時(shí)，要注意單位的統(tǒng)一，否則會(huì)影響表達(dá)式的正確性．

11、 例題8 解答 （1）去年備有和今年生產(chǎn)的車(chē)輪共有 1000＋1500×12＝28000（只）， 共可裝配自行車(chē)的輛數(shù)為 28000÷2＝14000（輛）． （2）該廠全年生產(chǎn)自行車(chē)的輛數(shù)范圍是： 全年生產(chǎn)自行車(chē)輛數(shù)， 即全年生產(chǎn)自行車(chē)輛數(shù)． （3）今年訂購(gòu)自行車(chē)14500輛，可知供不應(yīng)求，以最快生產(chǎn)速度也不能滿足社會(huì)要求，得擴(kuò)大生產(chǎn)能力． （4）由上分析可知， ∴600（萬(wàn)元）（萬(wàn)元）． 說(shuō)明 本例中14400輛是可以生產(chǎn)出，但實(shí)際上原料供應(yīng)只能保證生產(chǎn)14000輛，故計(jì)算的范圍時(shí)只能用14000輛參與計(jì)算． 例題9 分析 討論某次經(jīng)濟(jì)行為是否合算，即要看這種

12、方式與其他方式比較是否花費(fèi)最少，故本題（2）要轉(zhuǎn)化為用不等式組的知識(shí)求解． 解答 （1）因?yàn)?，所以不可能選A類(lèi)年票． 若選B類(lèi)年票，則（次）； 若選C類(lèi)年票，則（次）； 若不購(gòu)買(mǎi)年票，則（次）． 所以計(jì)劃用80元花在該園林的門(mén)票上時(shí)，選擇購(gòu)買(mǎi)C類(lèi)年票的方法進(jìn)入園林的次數(shù)最多，為13次． （2）設(shè)至少超過(guò)次時(shí)，購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)年票比較合算，則有不等式組 解得 其公共解集為． 所以，一年中進(jìn)入該園林至少超過(guò)30次時(shí)，購(gòu)買(mǎi)A類(lèi)年票比較合算． 說(shuō)明 本例展示的是生活中的一件小事，但暗示我們，生活中無(wú)處不存在數(shù)學(xué)的身影，滲透在生活中的一個(gè)個(gè)細(xì)節(jié)中． 例題10 分析 此例中的

13、未知量較多（如兩學(xué)生前四次的平均分?jǐn)?shù)，第五次測(cè)驗(yàn)的分?jǐn)?shù)等），且沒(méi)有足夠的等量關(guān)系，難以列方程組求解．但題中蘊(yùn)含兩個(gè)不等關(guān)系：平均分低于90分；滿分100分，即測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)不超過(guò)100分．于是考慮利用不等式的有關(guān)知識(shí)求解． 解答 設(shè)其中某個(gè)學(xué)生前4次的平均分為分，第5次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)?yōu)榉?，依題意有，即． 由第5次測(cè)驗(yàn)的成績(jī)高于90分，而又不大于100分，得， 解得， 因?yàn)闉檎麛?shù)，故或89． 又已知兩個(gè)學(xué)生平均分?jǐn)?shù)不等，故前4次的平均分一個(gè)為88分，另一個(gè)為89分，第5次測(cè)驗(yàn)一個(gè)學(xué)生的成績(jī)?yōu)?8分，另一個(gè)的成績(jī)?yōu)?4分． 說(shuō)明 利用不等式（組）解應(yīng)用題，其步驟與列方程（組）解應(yīng)用題大體相同

14、．不同的是，后者探求等量關(guān)系，列出的是等式，而前者尋求不等關(guān)系，列出的是不等式，并且解不等式（組）得到的結(jié)果通常為一解集，需從解集中找出符合題意的答案． 例題11　分析 問(wèn)題中有兩個(gè)未知量，只有一個(gè)等量關(guān)系，另外還有一個(gè)附加條件，這是一個(gè)求有條件的不定方程整數(shù)解的問(wèn)題，求不定方程整數(shù)解的一種方法是觀察系數(shù)特征，用試驗(yàn)的辦法求解． 解答 設(shè)大、小盒分別有x個(gè)、y個(gè)，根據(jù)題意得： 由①知y為奇數(shù)，且， ∵x為自然數(shù)，∴通過(guò)試驗(yàn)可得時(shí)，， 但與矛盾，故舍去， 當(dāng)時(shí)，，即 也可以用逐步代換的方法（常規(guī)方法）求解如下： 由①得， 設(shè)，則 再設(shè)，則 再設(shè)，得（t為整數(shù)）逐步回代得（t為整數(shù)）． 由于x，y均為自然數(shù)，即 ∴ ∴ 或1． 當(dāng)時(shí)，，但與矛盾，舍去． 當(dāng)時(shí)，，符合題意． 說(shuō)明 不定方程組可以通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程求解，如中國(guó)古代“百雞問(wèn)題”、“孫子定理”、“雞兔同籠”等，都屬于這一類(lèi)求解問(wèn)題．