《北師大九級上《第四章圖形的相似》單元測試含答案解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《北師大九級上《第四章圖形的相似》單元測試含答案解析（23頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、《第四章 圖形的相似》 一、選擇題： 1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，S△DEF=12cm2，則S△AOB的值為（　?。? A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm2 2．如圖，△ABC，AB=12，AC=15，D為AB上一點(diǎn)，且AD=AB，在AC上取一點(diǎn)E，使以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則AE等于（　?。? A． B．10 C．或10 D．以上答案都不對 3．（3分）在直角三角形中，兩直角邊分別為3和4，則這個三角形的斜邊與斜邊上的高的比為（　　） A． B． C． D． 4．點(diǎn)P是△ABC中AB邊上的

2、一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線（不與直線AB重合）截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有（　?。? A．2條 B．3條 C．4條 D．5條 5．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　?。? A． B． C． D． 6．正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是BC中點(diǎn)，DE交AC于F，若DE=12，則EF等于（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 7．已知正方形ABCD，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，下列條件中不能推出△ABP與△ECP相似的是（　?。? A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P

3、是BC的中點(diǎn) D．BP：BC=2：3 8．如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中點(diǎn)，下列式子成立的是（　　） A．BF2=AF2 B．BF2=AF2 C．BF2＞AF2 D．BF2＜AF2 9．（3分）如圖，正方形ABCD的面積為1，M是AB的中點(diǎn)，連接CM、DM、AC，則圖中陰影部分的面積為（　　） A． B． C． D． 10．在坐標(biāo)系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），過點(diǎn)C作直線L交x軸于點(diǎn)D，使得以點(diǎn)D，C，O為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，這樣的直線一共可以作出（　　） A．6條 B．3條 C．4條 D．5條 　 二、填空題：

4、 11．如圖，把一個矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線EF對折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形長與寬的比為　?。? 12．已知： ===，2b+3d﹣5f=9，則2a+3c﹣5e=　?。? 13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，則四邊形BCNM的面積為　?。? 14．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，且BE：EC=2：1，AE與BD交于點(diǎn)F，則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是　?。? 15．如圖，已知梯形AECF中，已知點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AF∥BC，CG=3，GA=1，若△AEG的面積為1

5、，那么四邊形BDGC的面積為　?。? 16．如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N為AB的三等分點(diǎn)，DM、DN分別交AC于P、Q兩點(diǎn)，則AP：PQ：QC=　?。? 　 三、解答題：（共36分） 17．已知：平行四邊形ABCD，E是BA延長線上一點(diǎn)，CE與AD、BD交于G、F． 求證：CF2=GF?EF． 18．（8分）已知：如圖AD?AB=AF?AC，求證：△DEB∽△FEC． 19．以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上． （1）求AM，DM的長； （2）求證

6、：AM2=AD?DM； （3）根據(jù)（2）的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？ 20．已知：如圖，AD是Rt△ABC的角平分線，AD的垂直平分線EF交CB的延長線于點(diǎn)F，求證：FD2=FB?FC． 21．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，CE的延長線交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G，AE?AD=16，． （1）求AC的長； （2）求EG的長． 　 《第四章 圖形的相似》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題： 1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，

7、S△DEF=12cm2，則S△AOB的值為（　?。? A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm2 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB，求出△DFE∽△BFA，推出===， =（）2=， ==，求出△AFB的面積是48cm2，△ADF的面積是24cm2，求出△ABD的面積即可． 【解答】解：∵E為DC的中點(diǎn)， ∴DC=2DE， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∴===， =（）2=（）2=， =

8、=， ∵S△DEF=12cm2， ∴△AFB的面積是48cm2，△ADF的面積是24cm2， ∴△ABD的面積是72cm2， ∵DO=OB， ∴△ADO和△ABO的面積相等， ∴S△AOB的值為×72cm2=36cm2， 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△AFB的面積和△ADF的面積． 　 2．如圖，△ABC，AB=12，AC=15，D為AB上一點(diǎn)，且AD=AB，在AC上取一點(diǎn)E，使以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則AE等于（　?。? A． B．10 C．或10 D．以上答案都不對 【考點(diǎn)】相似三

9、角形的性質(zhì)． 【專題】分類討論． 【分析】△ADE與△ABC相似，則存在兩種情況，即△AED∽△ACB，也可能是△AED∽△ABC，應(yīng)分類討論，求解． 【解答】解：如圖 （1）當(dāng)∠AED=∠C時，即DE∥BC 則AE=AC=10 （2）當(dāng)∠AED=∠B時，△AED∽△ABC ∴，即 AE= 綜合（1），（2），故選C． 【點(diǎn)評】會利用相似三角形求解一些簡單的計(jì)算問題． 　 3．（3分）在直角三角形中，兩直角邊分別為3和4，則這個三角形的斜邊與斜邊上的高的比為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】本題主要利用勾股定理和面積法求高即

10、可． 【解答】解：∵在直角三角形中，兩直角邊分別為3和4， ∴斜邊為5， ∴斜邊上的高為=．（由直角三角形的面積可求得） ∴這個三角形的斜邊與斜邊上的高的比為5： =． 故選A． 【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理和利用面積法求高，此題考查了學(xué)生對直角三角形的掌握程度． 　 4．點(diǎn)P是△ABC中AB邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線（不與直線AB重合）截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有（　　） A．2條 B．3條 C．4條 D．5條 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【專題】常規(guī)題型；壓軸題． 【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定作輔助線即可求得這樣的直線有幾條．

11、 【解答】解：（1）作∠APD=∠C ∵∠A=∠A ∴△APD∽△ABC （2）作PE∥BC ∴△APE∽△ABC （3）作∠BPF=∠C ∵∠B=∠B ∴△FBP∽△ABC （4）作PG∥AC ∴△PBG∽△ABC 所以共4條 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定的運(yùn)用． 　 5．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．

12、 【解答】解：根據(jù)題意得：AB==，AC=，BC=2， ∴AC：BC：AB=：2： =1：：， A、三邊之比為1：：2，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似； B、三邊之比為：：3，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似； C、三邊之比為1：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似； D、三邊之比為2：：，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似． 故選C． 【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵． 　 6．正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是BC中點(diǎn)，DE交AC于F，若DE=12，則EF等于（　　） A．8 B．

13、6 C．4 D．3 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題；探究型． 【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得出==，再根據(jù)DF=DE﹣EF即可得出EF的長． 【解答】解：如圖所示： ∵四邊形ABCD是正方形，E是BC中點(diǎn)， ∴CE=AD， ∵AD∥BC， ∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC， ∴△CEF∽△ADF， ∴==， =，即=， 解得EF=4． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及正

14、方形的性質(zhì)，先根據(jù)題意判斷出△CEF∽△ADF，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵． 　 7．已知正方形ABCD，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，下列條件中不能推出△ABP與△ECP相似的是（　?。? A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中點(diǎn) D．BP：BC=2：3 【考點(diǎn)】相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】利用兩三角形相似的判定定理，做題即可． 【解答】解：利用三角形相似的判定方法逐一進(jìn)行判斷．A、B可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；D可用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似進(jìn)行判斷．只有C中P是B

15、C的中點(diǎn)不可推斷． 故選C． 【點(diǎn)評】考查相似三角形的判定定理： （1）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似． （2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似． （3）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似． （4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似． 　 8．如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中點(diǎn)，下列式子成立的是（　　） A．BF2=AF2 B．BF2=AF2 C．BF2＞AF2 D．BF2＜AF2 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；射影定理． 【分析】此題即是探求BF2與AF2之

16、間的關(guān)系．利用△ABF∽△CEF所得比例線段探究求解． 【解答】解：根據(jù)射影定理可得BF2=AF×CF； ∵△ABF∽△CEF， ∴CF：AF=CE：AB=1：2 ∴BF2=AF×AF=AF2． 故選A． 【點(diǎn)評】本題主要考查了射影定理及三角形的相似的性質(zhì)． 　 9．（3分）如圖，正方形ABCD的面積為1，M是AB的中點(diǎn)，連接CM、DM、AC，則圖中陰影部分的面積為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到△AME∽△CDE，根據(jù)相似三角形的邊對應(yīng)邊成比例，求得EH，EF的長，從而即可求得陰影部分的

17、面積． 【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作HF⊥AB ∵AM∥CD， ∴∠DCE=∠EAM，∠CDE=∠EMA， ∴△AME∽△CDE ∴AM：DC=EH：EF=1：2，F(xiàn)H=AD=1 ∴EH=，EF=． ∴陰影部分的面積=S正﹣S△AME﹣S△CDE﹣S△MBC=1﹣﹣﹣=． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，找出各線段之間的比例關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵． 　 10．在坐標(biāo)系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），過點(diǎn)C作直線L交x軸于點(diǎn)D，使得以點(diǎn)D，C，O為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，這樣的直線一共可以作出（　　） A．6條

18、B．3條 C．4條 D．5條 【考點(diǎn)】相似三角形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【專題】常規(guī)題型；分類討論． 【分析】△AOB是直角三角形，所作的以點(diǎn)D，C，O為頂點(diǎn)的三角形中∠COD=90度，OC與AD可能是對應(yīng)邊，這樣就可以求出CD的長度，以C為圓心，以所求的長度為半徑作圓，圓與x軸有兩個交點(diǎn)，因而這樣的直線就是兩條．同理，當(dāng)OC與BD是對應(yīng)邊時，又有兩條滿足條件的直線，共有四條． 【解答】解：以點(diǎn)D，C，O為頂點(diǎn)的三角形中∠COD=90度， 當(dāng)OC與AO是對應(yīng)邊，以C為圓心，以CD的長度為半徑作圓，圓與x軸有兩個交點(diǎn)，因而這樣的直線就是兩條． 同理，當(dāng)OC與OB是對應(yīng)邊時，又有兩條

19、滿足條件的直線， 所以共有四條． 故選C． 【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的相似，注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵． 　 二、填空題： 11．如圖，把一個矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點(diǎn)連線EF對折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形長與寬的比為　?。? 【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等，設(shè)出原來矩形的長與寬，就可得到一個方程，解方程即可求得． 【解答】解：根據(jù)條件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD． ∴=． 設(shè)AD=x，AB=y，則AE=x．則=，即： x2=y2． ∴=2． ∴x：y=：1． 即原矩形長與寬的比為：1．

20、 故答案為：：1． 【點(diǎn)評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似形的對應(yīng)邊的比相等，把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題，正確分清對應(yīng)邊，以及正確解方程是解決本題的關(guān)鍵． 　 12．已知： ===，2b+3d﹣5f=9，則2a+3c﹣5e=　　． 【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等比性質(zhì)解答即可． 【解答】解：∵ ===， ∴=， ∵2b+3d﹣5f=9， ∴2a+3c﹣5e=×9=6． 故答案為：6． 【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟記并理解等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，則四

21、邊形BCNM的面積為　?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由△AMN∽△ACB，推出==，由AC：AB=4：5，設(shè)AC=4k，AB=5k，則BC=3k，由BC=15，推出k=5，AC=20，AB=25，根據(jù)四邊形BCNM的面積=S△ABC﹣S△AMN即可解決問題． 【解答】解：∵M(jìn)N⊥AB， ∴∠AMN=∠C=90°， ∵∠A=∠A， ∴△AMN∽△ACB， ∴==， ∵AC：AB=4：5，設(shè)AC=4k，AB=5k，則BC=3k， ∵BC=15， ∴3k=15， ∴k=5，AC=20，AB=25， ∴MN=6，AN=8， ∴四邊形BCNM的面積=S△A

22、BC﹣S△AMN=×20×15﹣×8×6=126． 故答案為126． 【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型． 　 14．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，且BE：EC=2：1，AE與BD交于點(diǎn)F，則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是　?。? 【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)題意，先設(shè)CE=x，S△BEF=a，再求出S△ADF的表達(dá)式，利用四部分的面積和等于正方形的面積，得到x與a的關(guān)系，那么兩部分的面積比就可以求出來． 【解答】解：設(shè)CE=

23、x，S△BEF=a， ∵CE=x，BE：CE=2：1， ∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x； ∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF， 又∵∠BFE=∠DFA； ∴△EBF∽△ADF ∴S△BEF：S△ADF===，那么S△ADF=a． ∵S△BCD﹣S△BEF=S四邊形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF， ∴x2﹣a=9x2﹣×3x?2x﹣， 化簡可求出x2=； ∴S△AFD：S四邊形DEFC=： =： =9：11，故答案為9：11． 【點(diǎn)評】此題運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)，還用到了相似三角形的面積比等于相似比的平方． 　 15．如圖，已知梯形A

24、ECF中，已知點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AF∥BC，CG=3，GA=1，若△AEG的面積為1，那么四邊形BDGC的面積為　?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；梯形． 【分析】先求出△AFG的面積，然后找出S△CEG=9S△AFG=3，再求出S△AFD=2S△AFC=2×=，S△DEB=S△AFD=，最后用面積差即可． 【解答】解：AF∥BC，CG=3，GA=1， ∴， ∴FG=EF， ∵AF∥BC， ∴， ∵D是AB的中點(diǎn)， ∴AD=BD， ∴ED=FD， ∴FD=EF， ∵=， ∴S△AFG=S△AEG=， ∵AF∥BC， ∴△CEG∽△AFG， ∴， ∴S

25、△CEG=9S△AFG=3， ∵FG=EF，F(xiàn)D=EF， ∴FD=2FG， ∴DG=FG， ∴S△AFD=2S△AFC=2×=， ∵△BED≌△AFD， ∴S△DEB=S△AFD=， ∴S四邊形BDGC的面積=S△CGE﹣S△BED =3﹣ =． 【點(diǎn)評】此題是相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查了相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平分，等底的兩三角形面積的比等于高的比，解本題的關(guān)鍵是求出△AFG的面積． 　 16．如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N為AB的三等分點(diǎn)，DM、DN分別交AC于P、Q兩點(diǎn)，則AP：PQ：QC=　?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行

26、四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題意，可得出△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，可分別得到AP、PQ、QC的關(guān)系式，進(jìn)而求出AP、PQ、QC的比值． 【解答】解：由已知得：△AMP∽△CDP， ∴AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC）=，即：3AP=PQ+QC，① △ANQ∽△CDQ， ∴AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC=，即2QC=3（AP+PQ），② 解①、②得：AQ=AC，PQ=AQ﹣AP=AC，QC=AC﹣AQ=AC， ∴AP：PQ：QC=5：3：12． 【點(diǎn)評】主要考查了三角形相似的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，要熟練掌握靈活運(yùn)用． 　 三、解答題：（

27、共36分） 17．已知：平行四邊形ABCD，E是BA延長線上一點(diǎn)，CE與AD、BD交于G、F． 求證：CF2=GF?EF． 【考點(diǎn)】平行線分線段成比例；平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AB∥CD，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得=， =，利用等量代換得到=，然后根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴=， =， ∴=， 即CF2=GF?EF． 【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．

28、也考查了平行四邊形的性質(zhì)． 　 18．（8分）已知：如圖AD?AB=AF?AC，求證：△DEB∽△FEC． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定． 【專題】證明題． 【分析】利用兩邊對應(yīng)比值相等，且夾角相等的兩三角形相似，進(jìn)而得出即可． 【解答】證明：∵AD?AB=AF?AC， ∴=， 又∵∠A=∠A， ∴△DEB∽△FEC． 【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵． 　 19．以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上． （1）求AM，DM的長；

29、 （2）求證：AM2=AD?DM； （3）根據(jù)（2）的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？ 【考點(diǎn)】黃金分割；勾股定理；正方形的性質(zhì)． 【分析】（1）由勾股定理求PD，根據(jù)AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA，DM=AD﹣AM求解； （2）由（1）計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行證明； （3）根據(jù)（2）的結(jié)論得： =，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)． 【解答】（1）解：在Rt△APD中，PA=AB=1，AD=2， ∴PD==， ∴AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA=﹣1， DM=AD﹣AM=2﹣（﹣1）=3﹣； （2）證明：∵AM2=（﹣1）2=6﹣2，AD?DM=2（3

30、﹣）=6﹣2， ∴AM2=AD?DM； （3）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．理由如下： ∵AM2=AD?DM， ∴═=， ∴點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)． 【點(diǎn)評】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段AM，DM的長，然后求得線段AM和AD，DM和AM之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷． 　 20．已知：如圖，AD是Rt△ABC的角平分線，AD的垂直平分線EF交CB的延長線于點(diǎn)F，求證：FD2=FB?FC． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】首先連接AF，可證得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例證得FA2=

31、FB?FC，則可得FD2=FB?FC． 【解答】證明：連接AF， ∵EF是AD的垂直平分線， ∴AF=DF， ∴∠FAE=∠FDE， ∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD， ∴∠FAB=∠C， ∵∠AFB是公共角， ∴△AFB∽△CFA， ∴， ∴FA2=FB?FC， 即FD2=FB?FC． 【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 21．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，

32、過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，CE的延長線交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G，AE?AD=16，． （1）求AC的長； （2）求EG的長． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】（1）∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，列出比例式整理即可得到AC2=AE?AD，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可； （2）根據(jù)勾股定理求出BC的長度為8，再根據(jù)AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，CE⊥AD證明△ACE和△AFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，CE=EF，最后

33、根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半EG=BC． 【解答】解：（1）∵CE⊥AD， ∴∠AEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠AEC=∠ACB， 又∠CAE=∠CAE， ∴△ACE∽△ADC， ∴， 即AC2=AE?AD， ∵AE?AD=16， ∴AC2=16， ∴AC=4； （2）在△ABC中，BC===8， ∵AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D， ∴∠CAE=∠FAE， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC=∠AEF=90°， 在△ACE和△AFE中， ， ∴△ACE≌△AFE（ASA）， ∴CE=EF， ∵EG∥BC， ∴EG=BC=×8=4． 【點(diǎn)評】本題主要考查兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似，相似三角形對應(yīng)邊成比例，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，難度適中．