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1、 1.5 1.5 功和能功和能（work and energy)1.5.11.5.1 功功1.5.21.5.2 動能定理動能定理1.5.31.5.3 保守力和勢能保守力和勢能1.5.4 1.5.4 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 一一. . 功的概念及定義功的概念及定義質(zhì)點(diǎn)在力質(zhì)點(diǎn)在力 的作用下的作用下, ,發(fā)生一小段位移發(fā)生一小段位移 時，時，稱此力對該質(zhì)點(diǎn)做了功稱此力對該質(zhì)點(diǎn)做了功. .Fr 質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動時恒力功的大小質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動時恒力功的大小1.5.1 功功 （work )功的特點(diǎn)功的特點(diǎn): : 標(biāo)量標(biāo)量. . 無方向無方向, , 但有正、負(fù)。但有正、負(fù)。0,0;,0;,0222dAdAdA

2、本章研究力的空間累積效應(yīng)本章研究力的空間累積效應(yīng) 功功 及動能、勢能、動能定理、機(jī)械能守恒定律。及動能、勢能、動能定理、機(jī)械能守恒定律。ABsF恒力恒力 sFFsA cos二二. . 質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動時變力的功質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動時變力的功設(shè)：質(zhì)點(diǎn)沿設(shè)：質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸運(yùn)動軸運(yùn)動 F（x）x1x iixixxfA xxxiixxixdxxfxxfAAii100limlimnixxxxx .11 ixxiixixfxFAii cosF（xi） iix將各段元功疊加：將各段元功疊加：在在 處（無限小），處（無限?。?認(rèn)為不變認(rèn)為不變ix()iF x例：例： 彈性力的功。以彈簧原長為坐標(biāo)原點(diǎn)，計算彈性力的功

3、。以彈簧原長為坐標(biāo)原點(diǎn)，計算 m 由由 x1 x2 彈性力的功。彈性力的功。2222222112111111022222xxkxkxkxkxkxkxfx dxkxdxfAxxxxx 2121x1x2x 0m由此式可見由此式可見, ,彈力的功只與小球的彈力的功只與小球的初末位置初末位置有關(guān)有關(guān), ,而與而與移動的移動的中間過程無關(guān)中間過程無關(guān), ,例如若先將例如若先將 m 從從 x1 點(diǎn)向右拉點(diǎn)向右拉伸，然后再壓縮至伸，然后再壓縮至 x2 點(diǎn)點(diǎn), , 彈力的功仍為上式彈力的功仍為上式iiiirFA cos 元功元功iiirFA iiiriirrFAA00ABlimlim三三質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動時變力的

4、功質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動時變力的功iF i iABir m BAcos rdF BArdF注意：在積分過程中注意：在積分過程中, , 不僅不僅力的大小和方向力的大小和方向可能可能改變改變, , 而且力和線元之間的而且力和線元之間的夾角夾角也可能改變也可能改變. . 例：例： m 沿曲線由沿曲線由a b, ,求重力的功求重力的功hh1h2abir i img解：解： cosrdmgrdFdA mgdhdA ba21hhmgdhdAA與彈性力一樣，重力所作的功只取決于運(yùn)動物體的與彈性力一樣，重力所作的功只取決于運(yùn)動物體的起起末位置，末位置，與與中間過程無關(guān)中間過程無關(guān)。dhrd cos 21hhmg 四四

5、. . 合力的功合力的功 BAABrdFA合力做的總功等于每個分力合力做的總功等于每個分力沿同一路徑沿同一路徑做功的代數(shù)和做功的代數(shù)和五五. . 功率功率 P P1. 1. 平均功率平均功率tAP 2. 2. 瞬時功率瞬時功率dtdAtAPt lim0vF rdFFFN .21NABABABBABABAAAArdFrdFrdF .2121例：彈簧例：彈簧( (倔強(qiáng)系數(shù)為倔強(qiáng)系數(shù)為k ) )一端固定在一端固定在A點(diǎn)點(diǎn), ,另一端連一另一端連一質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體的物體, ,靠在靠在光滑光滑的的圓圓柱體表面柱體表面( (半徑半徑a ),),彈彈簧原長簧原長AB，在外力作用下在外力作用下極緩慢極緩慢

6、地沿表面從地沿表面從B到到C，求求：外力做的功外力做的功解解: : 物體物體m勻速移動合外力為零勻速移動合外力為零 切向合外力為零切向合外力為零 kamgF cos ccdakadamg 00cos CBrdFA2221sincckamga CFfNmgmAB 例例. .已知：地下貯水池橫截面已知：地下貯水池橫截面S，池中貯水深度，池中貯水深度 h1, 水平面與地面間水平面與地面間h0。 求：將池中水全部吸到地面需作功求：將池中水全部吸到地面需作功A= ?解：解：hdhh1h0對象：一層水（坐標(biāo)如圖）對象：一層水（坐標(biāo)如圖）)(SdhdVdm 重力：重力：gSdhdmg hgdmhdmgdA

7、)( 100hhhgShdhdAA 2211021hhhgS h0克服重力所做的元功：克服重力所做的元功：例例. . 設(shè)作用在質(zhì)量為設(shè)作用在質(zhì)量為 2 kg 的物體上的力的物體上的力 (N) 12 itF 解：解： BAxBAdxFrdFA 30)(12vdttmFdtdva 如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動，在頭如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動，在頭3 s時間內(nèi)，時間內(nèi)，這個力作了多少功？這個力作了多少功？dtmFadtdv ttttdttdtmv00236121 (J) 729361230330 dtttvdtA1.5.2 動能定理動能定理合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的

8、功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。cosbbaaAF drFds據(jù)牛二定律據(jù)牛二定律ttdvFmamdsvdtdt且2122211122bbvtaavdvAFdsmvdtmvdvmvmvdt二、質(zhì)點(diǎn)的動能定理二、質(zhì)點(diǎn)的動能定理btaF ds一、動能一、動能質(zhì)量為質(zhì)量為m，速率為，速率為v的質(zhì)點(diǎn)的的質(zhì)點(diǎn)的動能動能定義為：定義為：221mvEk 單位：焦耳單位：焦耳（J）（）（SI）abm Frd3.3.在所有慣性系中在所有慣性系中, ,動能定理形式保持不變。動能定理形式保持不變。但是，動能定理的量值相對不同慣性系值不相同但是，動能定理的量值相對不同慣性系值不相同, , 即（即（V22-V12）的值不相同。的

9、值不相同。1.1.動能定理給出了力的動能定理給出了力的空間積累空間積累效應(yīng)，即功可以改效應(yīng)，即功可以改變質(zhì)點(diǎn)的動能。變質(zhì)點(diǎn)的動能。2.2.其優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)作用力在位移過程中不清楚時，就可其優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)作用力在位移過程中不清楚時，就可通過始、末狀態(tài)動能的增量來求得該力的功。通過始、末狀態(tài)動能的增量來求得該力的功。功是功是過程量，過程量，動能是動能是狀態(tài)量。狀態(tài)量。2122AB2121mvmvA 2122AB2121mvmvA 討討論論例：長度為例：長度為L、質(zhì)量為質(zhì)量為M的均勻鏈條的均勻鏈條, ,置于水平光置于水平光滑桌面上。開始時滑桌面上。開始時, ,有少部分鏈條（長度為有少部分鏈條（長度為a）下下垂在

10、桌外。在重力作用下垂在桌外。在重力作用下, ,鏈條下落。鏈條下落。求求: : 當(dāng)鏈條尾端剛剛離開桌面時的速率當(dāng)鏈條尾端剛剛離開桌面時的速率 v = ?解解: : 鏈條下落是重力做功的結(jié)鏈條下落是重力做功的結(jié) 果，當(dāng)下落長度變化時果，當(dāng)下落長度變化時, ,重力大重力大小也變化，因此為變力做功。小也變化，因此為變力做功。用動能定理可求末狀態(tài)速度。用動能定理可求末狀態(tài)速度。1. 1. 建立坐標(biāo)建立坐標(biāo) ox , ,向下為正方向向下為正方向. .a L，M光滑光滑光滑光滑0axxL、M2.2. 某時刻端點(diǎn)位置為某時刻端點(diǎn)位置為 x. 光滑光滑0axxL、MxLMm xgLMmgf dxxgLMdxfd

11、A dxgxLMALa 22aLLgv 0212 Mv 222121aLgLM下落部分的下落部分的質(zhì)量及所受重力分別為質(zhì)量及所受重力分別為例例: : 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球經(jīng)長為的小球經(jīng)長為 l 的擺線懸掛于固定點(diǎn)的擺線懸掛于固定點(diǎn)O,O,開始時把小球拉到水平位置開始時把小球拉到水平位置, ,并自由釋放并自由釋放, ,求擺線求擺線下擺角為下擺角為 0 時小球的速率時小球的速率v. . O 0lABdr d mgT解：外力為繩子張力和重力解：外力為繩子張力和重力繩子張力始終與位移垂直繩子張力始終與位移垂直, ,不作功不作功 BABAABrdgmrdFA 00cos dlmg0sin mgl mvB

12、2 0 = mg l sin 0210sin2 glvB 由動能定理由動能定理三三. . 質(zhì)點(diǎn)系的動能定理質(zhì)點(diǎn)系的動能定理兩個質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)兩個質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)21, ff-為內(nèi)力為內(nèi)力. .21, FF-為外力為外力. .分別應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動能定理分別應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動能定理: : 21121111111112121ABvmvmrdfFBA 22222222222222121ABvmvmrdfFBA 2222112222112211221121212211221121212121AABBvmvmvmvmrdfrdfrdFrdFBABABABAm1A1 B11F1f1rdA2B22fm22rd2F 222211222

13、2112211221121212211221121212121AABBvmvmvmvmrdfrdfrdFrdFBABABABAA外外 + A內(nèi)內(nèi) = EkB - EkA外力總功外力總功+ +內(nèi)力總功內(nèi)力總功= =系統(tǒng)總動能的增量系統(tǒng)總動能的增量內(nèi)力雖不能改變系統(tǒng)的動量，但內(nèi)力雖不能改變系統(tǒng)的動量，但能改變系統(tǒng)的動能能改變系統(tǒng)的動能。例例: :炸彈爆炸過程炸彈爆炸過程, ,內(nèi)力內(nèi)力( (火藥的爆炸力火藥的爆炸力) )所做的功使所做的功使得彈片的動能增加。得彈片的動能增加。內(nèi)力功的和不一定為零內(nèi)力功的和不一定為零（各質(zhì)點(diǎn)位移不一定相同各質(zhì)點(diǎn)位移不一定相同）。）。mgRA 重力重力RMm解：解：1)

14、重力只對小球做功重力只對小球做功例：有一面為例：有一面為1/41/4凹圓柱面（半徑凹圓柱面（半徑R）的物體（質(zhì)量）的物體（質(zhì)量M）放置在光滑水平面，一小球（質(zhì)量放置在光滑水平面，一小球（質(zhì)量m）, ,從靜止開始沿圓從靜止開始沿圓面從頂端無摩擦下落（如圖）面從頂端無摩擦下落（如圖）, ,小球從水平方向飛離大物小球從水平方向飛離大物體時速度體時速度 v ，求：求：1 1）重力所做的功；）重力所做的功；2 2）內(nèi)力所做的功。）內(nèi)力所做的功。222121mvMVAA 內(nèi)力內(nèi)力重力重力2)對整個系統(tǒng)用動能定理對整個系統(tǒng)用動能定理221122AMVmvmgR內(nèi)力對對 m，內(nèi)力所做的功，內(nèi)力所做的功mgRm

15、v 221對對M，內(nèi)力所做的功，內(nèi)力所做的功222221MvmMV * 本例中實際內(nèi)力對兩個物體分別所做功互相抵消。本例中實際內(nèi)力對兩個物體分別所做功互相抵消。RMm0 MVmvMmvV 水平方向無外力，系統(tǒng)保持水平方向動量守恒。水平方向無外力，系統(tǒng)保持水平方向動量守恒。222122m vAmvmgRM內(nèi)力四、一對力的功四、一對力的功 分別作用在兩個物體上的分別作用在兩個物體上的大小相等、方向相反大小相等、方向相反的力，的力， 我們稱之為我們稱之為“一對力一對力”。 一對力通常是作用力與反作用力，但也可以不是一對力通常是作用力與反作用力，但也可以不是。如圖示的如圖示的 f1與與 f2就不是作用

16、力與反作用力，但仍是就不是作用力與反作用力，但仍是一對力。另外，一對力中的兩個力也并不要求必須在一對力。另外，一對力中的兩個力也并不要求必須在同一直線上。同一直線上。1.1.一對力一對力21 f2 f1 = - f2一對力所做的功，等于其中一對力所做的功，等于其中一個質(zhì)點(diǎn)受的力和該質(zhì)點(diǎn)相一個質(zhì)點(diǎn)受的力和該質(zhì)點(diǎn)相對另一質(zhì)點(diǎn)的位移的點(diǎn)積。對另一質(zhì)點(diǎn)的位移的點(diǎn)積。2.2.一對力的功一對力的功 m2相對于相對于m1的元位移。的元位移。 21rd2211rdfrdfdA 對對212122)(rdfrrdf A1A2B1B2m1m21r2r21rO1r d2r d1f2f1) dA對對 與參考系選取無關(guān)。

17、與參考系選取無關(guān)。 為方便起見，計算時常認(rèn)為其中一個質(zhì)點(diǎn)靜止，為方便起見，計算時常認(rèn)為其中一個質(zhì)點(diǎn)靜止，并以該質(zhì)點(diǎn)所在位置為原點(diǎn)，計算另一質(zhì)點(diǎn)受力并以該質(zhì)點(diǎn)所在位置為原點(diǎn)，計算另一質(zhì)點(diǎn)受力所做的功，這就是一對力的功。所做的功，這就是一對力的功。說說明明 2) 2) 一對滑動摩擦力的功恒小于零一對滑動摩擦力的功恒小于零 Sm f地面地面S f以地面為參考系：以地面為參考系： SfSfA 對對 以滑塊為參考系：以滑塊為參考系：SfSfA 對對Sf 3) 3) 在無相對位移或相對位移與一對力垂直的情況下，在無相對位移或相對位移與一對力垂直的情況下， 一對力的功必為零。一對力的功必為零。NNv1Mv1

18、2光滑光滑m21v21v 不不垂垂直直于于N0 NA2v 不垂直于不垂直于N 0 NA0 NNAAA對對但但圖中圖中）即即（1212d,rNN v例例. . 固定的水平桌面上有一環(huán)帶，環(huán)帶與小物體的固定的水平桌面上有一環(huán)帶，環(huán)帶與小物體的摩擦摩擦 系數(shù)系數(shù) m m ，在外力作用下小物體（在外力作用下小物體（質(zhì)量質(zhì)量 m )以速以速率率 v 做勻速圓周運(yùn)動。做勻速圓周運(yùn)動。 求求: : 轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功。轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功。rvmf2 解：小物體對環(huán)帶壓力解：小物體對環(huán)帶壓力摩擦力的大小摩擦力的大小: :rvmfF2 m mm mm mrom10dsFrdFdA m mdsrvmdAArr22

19、020 m m22mv m m 1.5.3 1.5.3 保守力和勢能保守力和勢能一一. .保守力定義保守力定義如果力所做的功只與物體的始末位置有關(guān)而如果力所做的功只與物體的始末位置有關(guān)而與路與路徑無關(guān)徑無關(guān), ,這樣的力稱為保守力這樣的力稱為保守力. .或或: : 物體沿物體沿閉合路徑閉合路徑繞行一周繞行一周, ,力對物體所力對物體所做的做的功等于零功等于零, , 這樣的力稱為保守力這樣的力稱為保守力如如: : 重力、萬有引力、靜電力、彈性力。重力、萬有引力、靜電力、彈性力。 二二. .非保守力非保守力 作功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力作功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力(1)(1)作功為負(fù)，摩擦力（

20、耗散力作功為負(fù)，摩擦力（耗散力) )；(2)(2)作功為正，爆炸力。作功為正，爆炸力。1. 1. 重力重力 A)(BB)(A21LLdAdAdAhAhBhAB12 cosBABA rdmgrdFAdhrd cos)(ABhhmghmghmgdhBA 無論物體沿?zé)o論物體沿1路徑還是路徑還是2路徑路徑結(jié)果都如此結(jié)果都如此0 ABBAhhhhmgdhmgdh三、幾種保守力三、幾種保守力mgirdi mg可見，重力的功只與初末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。可見，重力的功只與初末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。ABABrGMmrGMmA 一對萬有引力做功之和只與兩質(zhì)點(diǎn)的始末相對位置有關(guān)。一對萬有引力做功之和只與兩質(zhì)點(diǎn)的始

21、末相對位置有關(guān)。rdrrGMmrdfA BA2BAAB1cosr drdrdr drrGMmArr BA2AB2.2.萬有引力萬有引力質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)M和和m間有萬有引力作用間有萬有引力作用, ,計算這一對力的功可以計算這一對力的功可以認(rèn)為認(rèn)為M靜止，且選靜止，且選M為原點(diǎn)，則為原點(diǎn)，則M對對m的萬有引力為：的萬有引力為：Mmrrdr rddrArBrABLrrGMmf2 水平桌面上一個質(zhì)量為水平桌面上一個質(zhì)量為m的小物體的小物體, ,沿半徑為沿半徑為R的的圓弧移動一周圓弧移動一周, , 設(shè)摩擦系數(shù)為設(shè)摩擦系數(shù)為 m ms , , 求摩擦力的求摩擦力的 功。功。 fdsrdfA四四. .非保守力非保守

22、力摩擦力的功摩擦力的功fdrRRmgdsmgsRs m mm m 220 2122212121kxkxdxfAxxx 3.3.彈性力彈性力彈力的功只與始末位置有關(guān)，與中間過程無關(guān)。彈力的功只與始末位置有關(guān)，與中間過程無關(guān)。x1x2x om摩擦力的功與所經(jīng)歷的路徑有關(guān)摩擦力的功與所經(jīng)歷的路徑有關(guān), ,沿封閉回路的功不為零沿封閉回路的功不為零四、勢能四、勢能 ( Potential Energy )因此，可定義一個只與位置有關(guān)的函數(shù)因此，可定義一個只與位置有關(guān)的函數(shù) EP , 該該函數(shù)被稱為系統(tǒng)的勢能函數(shù)函數(shù)被稱為系統(tǒng)的勢能函數(shù) 。222121BAkxkx 彈力的功彈力的功 AAB=重力的功重力的

23、功 AAB= mghA- mghB)()(2121BArmGmrmGm 萬有引力的功萬有引力的功 AAB=1、幾種保守力的功、幾種保守力的功特點(diǎn)：保守力的功可以寫成兩項之差，第一項只特點(diǎn)：保守力的功可以寫成兩項之差，第一項只與與初位置有關(guān)初位置有關(guān)，第二項只與，第二項只與末位置有關(guān)末位置有關(guān)。保守力所作的功等于勢能增量的負(fù)值保守力所作的功等于勢能增量的負(fù)值PPPEEEA BAAB(勢能差勢能差)上式只定義了勢能差上式只定義了勢能差, , 這樣勢能的絕對值可以這樣勢能的絕對值可以相差一個任意常數(shù)相差一個任意常數(shù). .2、勢能、勢能要想求出某點(diǎn)勢能值，則應(yīng)規(guī)定一要想求出某點(diǎn)勢能值，則應(yīng)規(guī)定一勢能零

24、點(diǎn)勢能零點(diǎn)如：若規(guī)定如：若規(guī)定C點(diǎn)的勢能為零，點(diǎn)的勢能為零，0 pcE即：即：則系統(tǒng)在任意點(diǎn)則系統(tǒng)在任意點(diǎn) A 的勢能為：的勢能為： CAACACrdfEEEApppA質(zhì)點(diǎn)在空間某點(diǎn)的勢能值等于把其從該點(diǎn)沿任意質(zhì)點(diǎn)在空間某點(diǎn)的勢能值等于把其從該點(diǎn)沿任意路徑移到勢能為零的參考點(diǎn)保守力所做的功。路徑移到勢能為零的參考點(diǎn)保守力所做的功。說明說明: :1)1)勢能勢能零點(diǎn)零點(diǎn)不同不同, , 勢能表達(dá)式也不同，各點(diǎn)勢能表達(dá)式也不同，各點(diǎn)勢能值勢能值也就不同也就不同, ,但不影響任意兩點(diǎn)的但不影響任意兩點(diǎn)的勢能差勢能差. .2） 勢能的勢能的“所有者所有者”應(yīng)是系統(tǒng)共有應(yīng)是系統(tǒng)共有, ,它不屬于某它不屬于

25、某一一 個質(zhì)點(diǎn)。它實質(zhì)上是一種相互作用能。個質(zhì)點(diǎn)。它實質(zhì)上是一種相互作用能。3）勢能是標(biāo)量、是狀態(tài)量。勢能是標(biāo)量、是狀態(tài)量。 只有對保守內(nèi)力才能引入相應(yīng)的勢能。只有對保守內(nèi)力才能引入相應(yīng)的勢能。3、幾種保守力的勢能、幾種保守力的勢能mghEp 221kxEp rGmMEp 重力勢能：重力勢能：彈性勢能：彈性勢能：萬有引力勢能：萬有引力勢能：零點(diǎn)在零點(diǎn)在 h = 0 處。處。零點(diǎn)在零點(diǎn)在 x=0自然伸長處。自然伸長處。零點(diǎn)選在零點(diǎn)選在 處。處。 r4、由勢能求保守力、由勢能求保守力 cospABdEAFdlFdl cosFFl lddEP PEF yEFPy xEFPx zEFPz PPPEEE

26、Fijkxyz 已知保守力可以求勢能已知保守力可以求勢能如果已知勢能分布如果已知勢能分布, , 如何求保守力如何求保守力? ? F 在在dl 方向的分量方向的分量,用用Fl 表示表示. B FlAl dlFrmGmEp21 rrmGmrrmGmdrdF)(221211.5.4 1.5.4 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy） 一、功能原理一、功能原理kAkBEEAA 內(nèi)內(nèi)外外功能原理功能原理外力和非保守內(nèi)力做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量外力和非保守內(nèi)力做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量由質(zhì)點(diǎn)系的動能定理由質(zhì)點(diǎn)系的動能定理將內(nèi)力

27、分為兩部分將內(nèi)力分為兩部分kAkBEEAAA 內(nèi)內(nèi)非非內(nèi)內(nèi)保保外外pBpAEEA 內(nèi)內(nèi)保保 pAkApBkBEEEEAA 內(nèi)內(nèi)非非外外EEEAAAB 內(nèi)非內(nèi)非外外系統(tǒng)的機(jī)械能系統(tǒng)的機(jī)械能 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 當(dāng)當(dāng) 只有保守內(nèi)力做功時系統(tǒng)機(jī)械能守恒只有保守內(nèi)力做功時系統(tǒng)機(jī)械能守恒 二、機(jī)械能守恒定律二、機(jī)械能守恒定律 三、能量守恒定律三、能量守恒定律一個不受外力作用的系統(tǒng)稱為一個不受外力作用的系統(tǒng)稱為孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)1.1.若系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力為零，或它不做功，則系統(tǒng)機(jī)若系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力為零，或它不做功，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。械能守恒。2. 2. 若非保守內(nèi)力作功不為零若非保守內(nèi)力作功不為零

28、, , 機(jī)械能則不守恒機(jī)械能則不守恒, ,但各但各種形式能量種形式能量( (包括熱能包括熱能, ,化學(xué)能化學(xué)能, ,光能光能) )的總和仍守恒的總和仍守恒, ,這就是這就是普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律, ,這是自然界最普遍的定律這是自然界最普遍的定律之一之一. .由功能原理由功能原理BAAAEE外內(nèi)非內(nèi)非0AA外外內(nèi)非內(nèi)非0A外ABEE上節(jié)課主要內(nèi)容上節(jié)課主要內(nèi)容 (2) 保守力保守力 (4) 勢能勢能 重力、萬有引力、彈力和靜電力重力、萬有引力、彈力和靜電力 ABABPPPAEEE (5)保守力功與勢能保守力功與勢能 （1）動能定理）動能定理2122AB2121mvmvA 0f dr

29、rGmMEp 零點(diǎn)選在零點(diǎn)選在 處。處。 r作功與具體路徑無關(guān)作功與具體路徑無關(guān)（3）一對力的功）一對力的功一對力所做的功，等于其中一個質(zhì)點(diǎn)受的力和該質(zhì)點(diǎn)一對力所做的功，等于其中一個質(zhì)點(diǎn)受的力和該質(zhì)點(diǎn)相對另一質(zhì)點(diǎn)的位移的點(diǎn)積。相對另一質(zhì)點(diǎn)的位移的點(diǎn)積。上節(jié)課主要內(nèi)容上節(jié)課主要內(nèi)容 0AApEf dr勢能 點(diǎn)PEF BAAAEEE 外內(nèi)非(8)功能原理：功能原理： (7)由勢能求保守力由勢能求保守力 (6)求求A點(diǎn)勢能點(diǎn)勢能 (9)機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 (10)能量守恒定律能量守恒定律四、守恒定律的意義四、守恒定律的意義 1. 1. 守恒定律是關(guān)于變化過程的規(guī)律。守恒定律是關(guān)于變化過程的

30、規(guī)律。當(dāng)滿足一定條件下當(dāng)滿足一定條件下, ,不必考慮過程的細(xì)節(jié)不必考慮過程的細(xì)節(jié), ,而對系統(tǒng)而對系統(tǒng)的初、末狀態(tài)進(jìn)行討論。的初、末狀態(tài)進(jìn)行討論。這就是各個守恒定律的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)。這就是各個守恒定律的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)。2. 2. 當(dāng)守恒定律不成立時當(dāng)守恒定律不成立時, , 再考慮動量定理、動能定再考慮動量定理、動能定理理, , 分析力的兩個積累效應(yīng)。分析力的兩個積累效應(yīng)。121221kkBAttEErdFAPPdtFI443. 3. 若研究物體瞬時狀態(tài)若研究物體瞬時狀態(tài), , 用牛頓運(yùn)動定律。用牛頓運(yùn)動定律。解：設(shè)碰撞后兩球速度解：設(shè)碰撞后兩球速度21vvv 由動量守恒由動量守恒21vv,兩邊平方兩邊

31、平方22212122vvvvv 由機(jī)械能守恒（勢能無變化）由機(jī)械能守恒（勢能無變化）22212vvv 021 vv兩球速度總互相垂直兩球速度總互相垂直例：在光滑的平面兩相同的球做完全彈性碰撞，其中例：在光滑的平面兩相同的球做完全彈性碰撞，其中一球開始時處于靜止?fàn)顟B(tài)，另一球速度一球開始時處于靜止?fàn)顟B(tài)，另一球速度 v。求證：碰撞后兩球速度總互相垂直。求證：碰撞后兩球速度總互相垂直。例例: : 一種實驗小車質(zhì)量為一種實驗小車質(zhì)量為M，擺球質(zhì)量為，擺球質(zhì)量為m, ,輕擺桿輕擺桿長為長為L，擺從水平位置自由下擺，求到達(dá)最低點(diǎn)時小，擺從水平位置自由下擺，求到達(dá)最低點(diǎn)時小車和擺球的速度車和擺球的速度V和和v

32、. . 計算中忽略摩擦計算中忽略摩擦. . VvmML解解: : 取取 m, M, 地球地球作為一個系統(tǒng)作為一個系統(tǒng), ,水平方向不受外力水平方向不受外力, , 水平動量守恒水平動量守恒，另外整個過程只有保守力，另外整個過程只有保守力( (重力重力) )做功做功, , 整個過程機(jī)械能守恒整個過程機(jī)械能守恒 水平動量守恒水平動量守恒: : - mv + MV = 0 機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒： mv 2 + MV2 = mgL2121解之得：解之得： gLMmMv2 gLMmMmV2)(2 例 質(zhì)點(diǎn)在力的作用下由 移到 ，路程為 s，若力函數(shù)分別為 和 ，其中 k1 和 k2 為常數(shù)，和 是單位矢

33、量，求 和 的功，并判斷是否為保守力。11fk r22fk varbr r v1f2frdrrOarbrdr rsrd解：1111()babrarbaAk r drk drk rr1cosr drdrdr 1cos0v drdrdrds 兩個力的功分別為2222bbaaAk v drk dsk s所以 的功與路徑無關(guān)，為保守力； 的功與路徑有關(guān)，為非保守力。1f2f例：例： 兩小球質(zhì)量為兩小球質(zhì)量為 m1, m2，其間距為其間距為 l0，它們間只存在的萬有引它們間只存在的萬有引力，初始時刻力，初始時刻m2靜止。若使小球靜止。若使小球 m1 以勻速以勻速 v0 沿兩小球連線方向沿兩小球連線方向向

34、外運(yùn)動，需加一變力向外運(yùn)動，需加一變力 F 。求求:(1) 兩小球間的最大距離及最大距兩小球間的最大距離及最大距離時所加的外力離時所加的外力 F 的大小；的大小；(2) 變力變力 F 在此過程中所做的功。在此過程中所做的功。外力外力 F 等于兩小球間的萬有引力；等于兩小球間的萬有引力；m2 受受萬有引力作用從靜止開始做變加速運(yùn)動，萬有引力作用從靜止開始做變加速運(yùn)動，當(dāng)速度達(dá)到當(dāng)速度達(dá)到 v0 ，兩小球間的距離最大。兩小球間的距離最大。解解:voFm1m2l0ff考慮考慮 m1 、 m2 構(gòu)成系統(tǒng)，以構(gòu)成系統(tǒng)，以 m1 為為參照系，參照系， m2 以初速度以初速度 v0 離開，離開， m2 只受

35、萬有引力，機(jī)械能守恒：只受萬有引力，機(jī)械能守恒：max00lmGmlmGmvm212121202 對兩小球構(gòu)成的系統(tǒng)，由功能原理：對兩小球構(gòu)成的系統(tǒng)，由功能原理：)(0()(vm21(A021max21202FlmGmlmGmE202vm 2maxlmGm21F注意：注意： 勢能是一種相互作用能（系統(tǒng)內(nèi)部保守力的功），不能勢能是一種相互作用能（系統(tǒng)內(nèi)部保守力的功），不能在用隔離物體法考慮單個物體時應(yīng)用勢能的概念。在用隔離物體法考慮單個物體時應(yīng)用勢能的概念。maxlm2 只受萬有引力，機(jī)械能守恒：只受萬有引力，機(jī)械能守恒：初時刻：動能，勢能初時刻：動能，勢能末時刻：動能，勢能末時刻：動能，勢能maxlmGm21 0lmGm21 202vm21max00lmGmvm21lmGm2120221 m2 只受萬有引力，機(jī)械能守恒：只受萬有引力，機(jī)械能守恒：初時刻：動能，勢能初時刻：動能，勢能末時刻：動能，勢能末時刻：動能，勢能maxlmGm21 0lmGm21 202vm21max00lmGmvm21lmGm2120221 牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)框架和理論體系：牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)框架和理論體系：(1)微元分析法；微元分析法； （2）科學(xué)抽象法；）科學(xué)抽象法； （3)分析守恒條件。分析守恒條件。