《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 11.3 相關(guān)性、最小二乘估計、回歸分析與獨立性檢驗練習(xí) 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 11.3 相關(guān)性、最小二乘估計、回歸分析與獨立性檢驗練習(xí) 理 北師大版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 11.3 相關(guān)性、最小二乘估計、回歸分析與獨立性檢驗 核心考點·精準研析 考點一　相關(guān)關(guān)系的判斷? 1.變量x和y近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=-0.1x+1,變量y與z正相關(guān).以下結(jié)論中正確的選項是 (　　) A.x與y正相關(guān),x與z負相關(guān) B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān) C.x與y負相關(guān),x與z負相關(guān) D.x與y負相關(guān),x與z正相關(guān) 2.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,獲得如下圖的散點圖,關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比擬,正確的選項是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.r2

2、r4<00時,正相關(guān);b<0時,負相關(guān). 考點二　獨立性檢驗? 【典例】(2021·全國卷Ⅱ)海

3、水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量比照,收獲時各隨機抽取了100 個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下圖: (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg〞,估計A的概率. (2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān): 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01). χ2= 【解題導(dǎo)思】 序號 聯(lián)

4、想解題 (1) 以頻率代替概率,相互獨立時交事件概率等于兩事件概率的積 (2) 填入數(shù)據(jù),代入χ2公式計算,與臨界值比擬 (3) 中位數(shù)把頻率分布直方圖分為面積相等的兩局部 【解析】(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg〞,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg〞.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C). 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62, 故P(B)的估計值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為 (0.068+0.046+0.010+0.008

5、)×5=0.66, 故P(C)的估計值為0.66. 因此,事件A的概率估計值為0.62×0.66=0.409 2. (2) 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 由表中數(shù)據(jù)及χ2的計算公式得, χ2=≈15.705. 由于15.705>6.635,故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān). (3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5, 箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044+0.068)

6、×5=0.68>0.5, 故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為50+≈52.35(kg). 1.在2×2列聯(lián)表中,|ad-bc|越小,說明兩個變量之間關(guān)系越弱;|ad-bc|越大,說明兩個變量之間關(guān)系越強. 2.解決獨立性檢驗的應(yīng)用問題,一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論.獨立性檢驗的一般步驟: (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表. (2)根據(jù)公式χ2=計算. (3)比擬χ2與臨界值的大小關(guān)系,作統(tǒng)計推斷. (2021·合肥模擬)某校在高一年級學(xué)生中,對自然科學(xué)類、社會科學(xué)類校本選修課程的選課意向進行調(diào)查. 現(xiàn)從高一年級學(xué)生中隨機抽取180名學(xué)生,其中男生105名;在這18

7、0名學(xué)生中選擇社會科學(xué)類的男生、女生均為45名. (1)試問:從高一年級學(xué)生中隨機抽取1人,抽到男生的概率約為多少? (2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果,完成下面的2×2列聯(lián)表.并判斷能否有95%的把握認為科學(xué)類的選擇與性別有關(guān)? 選擇自然 科學(xué)類 選擇社會 科學(xué)類 合計 男生 女生 合計 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. 【解析】(1)從高一年級學(xué)生中隨機抽取1人,抽到男生的概率約為=. (2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表如表: 選擇自然 科學(xué)類 選擇社會 科學(xué)類 合計 男生 60 45 105

8、 女生 30 45 75 合計 90 90 180 那么χ2==≈5.142 9>3.841, 所以有95%的把握認為科學(xué)類的選擇與性別有關(guān). 考點三　回歸分析? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)考查線性回歸方程的求法及運用回歸方程進行預(yù)測.(2)考查散點圖、相關(guān)系數(shù)等判斷兩個變量是否相關(guān)的方法.(3)考查數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合等思想方法. 2.怎么考:與頻率分布表、頻率分布直方圖、折線圖等結(jié)合考查回歸分析的方法. 3.新趨勢:以回歸分析為載體,與頻率分布、概率等交匯命題. 學(xué) 霸 好 方 法 1.回歸分析方法: (1)

9、利用公式,求出回歸系數(shù).(2)利用回歸方程進行預(yù)測.(3)確定模型是否適宜,及時修正. 2.交匯問題: 與頻率分布直方圖、折線圖等交匯時,分析圖形提供的數(shù)據(jù)信息,獲得計算相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)等需要的數(shù)據(jù),最后計算比擬. 線性回歸方程及其應(yīng)用 【典例】現(xiàn)代社會,“鼠標手〞已成為常見病,一次實驗中,10名實驗對象進行160分鐘的連續(xù)鼠標點擊游戲,每位實驗對象完成的游戲關(guān)卡一樣,鼠標點擊頻率平均為180次/分鐘,實驗研究人員測試了實驗對象使用鼠標前后的握力變化,前臂外表肌電頻率等指標. (1)10 名實驗對象實驗前、后握力(單位:N)測試結(jié)果如下: 實驗前:346,357,358,360,3

10、62,362,364,372,373,376 實驗后:313,321,322,324,330,332,334,343,350,361 完成莖葉圖,并計算實驗后握力平均值比實驗前握力的平均值下降了多少N? (2)實驗過程中測得時間t(分)與10名實驗對象前臂外表肌電頻率的中值頻率y(Hz)的九組對應(yīng)數(shù)據(jù)(t,y)為(0,87),(20,84),(40,86),(60,79),(80,78),(100,78),(120,76),(140,77),(160,75).建立y關(guān)于時間t的線性回歸方程; (3)假設(shè)肌肉肌電水平顯著下降,提示肌肉明顯進入疲勞狀態(tài),根據(jù)(2)中9組數(shù)據(jù)分析,使用

11、鼠標多少分鐘就該進行休息了? 參考數(shù)據(jù):(ti-)(yi-)=-1 800; 參考公式:回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為: b=,a=-b. 【解析】(1)根據(jù)題意得到莖葉圖如下圖: 由圖中數(shù)據(jù)可得=×(346+357+358+360+362+362+364+372+373+376)=363, =×(313+321+322+324+330+332+334+343+350+361)=333, 所以-=363-333=30(N), 所以實驗后比實驗前握力的平均值下降30N. (2)由題意得=(0+20+40+60+80+100+120+140+160)

12、=80, =(87+84+86+79+78+78+76+77+75)=80, (ti-)2=(0-80)2+(20-80)2+(40-80)2+(60-80)2+(80-80)2+(100-80)2+(120-80)2+(140-80)2+(160-80)2=24 000, 又(ti-)(yi-)=-1 800, 所以b===-0.075, 所以a=-b=80-(-0.075)×80=86, 所以y關(guān)于時間t的線性回歸方程為y=-0.075t+86. (3)九組數(shù)據(jù)中40分鐘到60分鐘y的下降幅度最大,提示60分鐘時肌肉已經(jīng)進入疲勞狀態(tài),故使用鼠標60分鐘就該休息了. 相關(guān)系數(shù)

13、及其應(yīng)用 【典例】科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù),如表: x (年齡/ 歲) 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y (脂肪含 量/%) 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得到如圖的散點圖. (1)根據(jù)表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點圖. (i)求; (ii)計算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并刻畫它們的相關(guān)程度. (2)假設(shè)y關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.56+bx,求

14、b的值(精確到0.01),并根據(jù)回歸方程估計年齡為50歲時人體的脂肪含量. 附:參考數(shù)據(jù):=27,xiyi=13 527.8,=23 638,=7 759.6,≈6.56,≈54.18, 參考公式:相關(guān)系數(shù)r== 回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b=,a=-b. 【解析】(1)根據(jù)表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點圖: (ⅰ)==47. (ⅱ)r= = = = =. 因為≈6.56,≈54.18, 所以r≈0.98. 由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.98,可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強. (2)因為回歸方程為y=1.56+bx,即a=1.56. 所以b

15、==≈0.54. 【或利用b== =≈0.54】 所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.54x+1.56. 將x=50代入線性回歸方程得y=0.54×50+1.56=28.56. 所以根據(jù)回歸方程估計年齡為50歲時人體的脂肪含量為28.56%. 非線性回歸分析 【典例】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到如圖散點圖及一些統(tǒng)計量的值. (xi-)2 (wi-)2 (xi-) ·(yi-)

16、 (wi-) ·(yi-) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1.469 108.8 表中wi=,=wi. (1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由)? (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程. (3)這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果答復(fù)以下問題: ①年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少? ②年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大? 【解析】(1)由散點圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關(guān)于

17、年宣傳費x的回歸方程類型. (2)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程,由d===68. 得c=-d=563-68×6.8=100.6. 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+68. (3)①由(2)知,當x=49時,年銷售量y的預(yù)報值y=100.6+68=576.6, 年利潤z的預(yù)報值z=576.6×0.2-49=66.32. ②根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報值z=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12. 所以當==6.8,即x=46.24時,z取得最大值.故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預(yù)報值

18、最大. 1.兩個隨機變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系如表所示: x -4 -2 1 2 4 y -5 -3 -1 -0.5 1 根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到的回歸方程為y=bx+a,那么大致可以判斷 (　　) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 【解析】選C.作出散點圖,畫出回歸直線直觀判定b>0,a<0. 2.為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關(guān)系,從該班隨機抽取10名學(xué)生,根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回歸直線方程為y=bx+a,xi=225,yi=1 600,b=4

19、.該班某學(xué)生的腳長為24,據(jù)此估計其身高為 (　　) A.160 B.163 C.166 D.170 【解析】選C.由題意可知y=4x+a, 又=22.5,=160, 因此160=22.5×4+a,解得a=70所以y=4x+70. 當x=24時,y=4×24+70=166. 3.某市春節(jié)期間7家超市廣告費支出xi(萬元)和銷售額yi(萬元)數(shù)據(jù)如表: 超市 A B C D E F G 廣告費支出xi 1 2 4 6 11 13 19 銷售額yi 19 32 40 44 52 53 54 (1)假設(shè)用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求y

20、與x的線性回歸方程. (2)假設(shè)用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系,可得回歸方程:y=-0.17x2+5x+20,經(jīng)計算,二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R2分別約為0.93和0.75,請用R2說明選擇哪個回歸模型更適宜,并用此模型預(yù)測A超市廣告費支出3萬元時的銷售額. 參考數(shù)據(jù):=8,=42,xiyi=2 794,=708. 參考公式:b=,a=-b. 【解析】(1)b===1.7. 所以a=-b=42-1.7×8=28.4, 故y關(guān)于x的線性回歸方程是y=1.7x+28.4. (2)因為0.75<0.93,所以二次函數(shù)回歸模型更適宜. 當x=3時,y=33.47. 應(yīng)選擇

21、二次函數(shù)回歸模型更適宜,并且用此模型預(yù)測A超市廣告費支出3萬元時的銷售額為33.47萬元. 　近期,某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動,活動設(shè)置了一段時間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用掃碼支付,某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,用x表示活動推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),繪制了如下圖的散點圖: (1)根據(jù)散點圖判斷在推廣期內(nèi),y=a+bx與y=c·dx(c,d為大于零的常數(shù))哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由) (2)根據(jù)(1)

22、的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支付的人次. 參考數(shù)據(jù): xiyi xivi 100.54 4 62 1.54 2 535 50.12 140 3.47 其中vi=lg yi,=vi 【解析】(1)根據(jù)散點圖判斷,y=c·dx適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型. (2)因為y=c·dx,兩邊取常用對數(shù)得: lg y=lg=lg c+lg d·x, 設(shè)lg y=v,所以v=lg c+lg d·x 因為=4,=1.54,=140, 所以lg d==== 0.25, 把樣本點的中心(4,1.54)代入v=lg c+lg d·x得: lg c=0.54,所以v=0.54+0.25x, 那么lg y=0.54+0.25x 所以y關(guān)于x的回歸方程為y=100.54+0.25x, 把x=8代入上式得:y=100.54+0.25×8≈347, 故活動推出第8天使用掃碼支付的人次約為3 470. - 13 -