《2021版高考數(shù)學一輪復習 第八章 數(shù)列 8.5.2 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題練習 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021版高考數(shù)學一輪復習 第八章 數(shù)列 8.5.2 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題練習 理 北師大版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 8.5.2 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 核心考點·精準研析 考點一　數(shù)列與函數(shù)的綜合? 1.設{an}是等比數(shù)列,函數(shù)y=x2-x-2 021的兩個零點是a2,a3,那么a1a4等于 (　　) A.2 021 B.1 C.-1 D.-2 021 2.在各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}中,首項a1=2,且點(,)在直線x-9y=0上,那么數(shù)列{an}的前n項和Sn等于 (　　) A.3n-1 B. C. D. 3.f(x)=2sin x,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素從小到大依次排成一列,得到數(shù)列{an},n∈N*.數(shù)列

2、{an}的通項公式為________________.? 4.函數(shù)f(x)=log2x,假設數(shù)列{an}的各項使得2,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+4成等差數(shù)列,那么數(shù)列{an}的前n項和Sn=________. 【解析】1.選D.由題意a2,a3是x2-x-2 021=0的兩根. 由根與系數(shù)的關系得a2a3=-2 021. 又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2 021. 2.選A.由點(,)在直線x-9y=0上,得-9=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又數(shù)列{an}各項均為正數(shù),且a1=2,所以an+3an-1>0,所以an-3an-1=0

3、,即=3,所以數(shù)列{an}是首項a1=2,公比q=3的等比數(shù)列,其前n項和Sn==3n-1. 3.因為|f(x)|=2,所以x=kπ+,k∈Z,x=2k+1,k∈Z. 又因為x>0,所以an=2n-1(n∈N*). 答案:an=2n-1(n∈N*) 4.設等差數(shù)列的公差為d, 那么由題意,得2n+4=2+(n+1)d, 解得d=2, 于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,…, 從而a1=24,a2=26,a3=28,…. 易知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其公比q==4, 所以Sn==(4n-1). 答案:(4n-1) 1.將題2改為函數(shù)f(x)=xα

4、的圖像過點(4,2),令an=,n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,那么S2 021等于 (　　) A. -1 B. -1 C. -1 D.2+1 【解析】選C.由f(4)=2可得4α=2,解得α=, 那么f(x)= .所以an===-,S2 021=a1+a2+a3+… +a2 021=(-)+(-)+(-)+…+(-)+ (-)=-1. 2.數(shù)列{an}的通項an=ncos2-sin2,其前n項和為Sn,那么S40為(　　) A.10 B.15 C.20 D.25 【解析】選C.由題意得,an=ncos2-sin2 =ncos,那么a1=0,a

5、2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n, 那么S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40) =-2+4-…+40=20. 數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略 (1)函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像研究數(shù)列問題. (2)數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形. 注意數(shù)列與函數(shù)的不同,數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù),在解決問題時要注意這一特殊性. 【秒殺絕招】 特例法解T2:由題意(,

6、)在直線x-9y=0上,所以—9=0,因為a1=2,易得a2=6,所以S2=8.驗證四個選項可排除BCD. 考點二　數(shù)列與不等式的綜合? 【典例】數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=,an=-2·Sn·Sn-1(n≥2). (1)求數(shù)列{an}的通項公式an. (2)求證:++…+≤-. 【解題導思】 序號 題目拆解 (1) ①an=-2Sn·Sn-1(n≥2) 利用an=Sn-Sn-1將an=-2Sn·Sn-1轉(zhuǎn)化為Sn,Sn-1的關系 ②求數(shù)列{an}的通項公式an 先求出,利用an=-2Sn·Sn-1進而求得an. (2) 求證:++…+≤-. 由

7、(1)得Sn=,由=<,放縮后利用裂項相消法求和是解題的關鍵 【解析】(1)因為an=-2Sn·Sn-1(n≥2), 所以Sn-Sn-1=-2Sn·Sn-1. 兩邊同除以Sn·Sn-1,得-=2(n≥2), 所以數(shù)列是以==2為首項,以d=2為公差的等差數(shù)列, 所以=+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n, 所以Sn=.將Sn=代入an=-2Sn·Sn-1, 得an= (2)因為=<=(n≥2), =,所以當n≥2時,++…+ =++…+ <++…+=-; 當n=1時,==-. 綜上,++…+≤-. 　數(shù)列與不等式的綜合問題 (1)判斷數(shù)列問題的一些不等關系,可

8、以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對應的函數(shù)的單調(diào)性比較大小. (2)以數(shù)列為載體,考查不等式恒成立的問題,此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值. (3)考查與數(shù)列有關的不等式證明問題,此類問題一般采用放縮法進行證明,有時也可通過構造函數(shù)進行證明. 數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明:是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式. (2)證明:++…+<. 【解析】(1)由an+1=3an+1得an+1+=3. 又a1+=,所以是首項為,公比為3的等比數(shù)列.所以an+=, 因此{an}的通項公式為an=. (2)由(1)知=.因為當n≥1時,3n-1≥2×3n-1

9、,所以≤.于是++…+≤1++…+=<.所以++…+<. 考點三　數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合應用? 命題 精解 讀 1.考什么:(1)考查求最值、比較大小、求取值范圍等問題. (2)考查數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)及 函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法. 2.怎么考:以數(shù)列為載體,考查利用函數(shù)的性質(zhì)、圖像或不等式的性質(zhì)進行放縮、比較大小、求范圍或最值、證明結(jié)論等. 3.新趨勢:與函數(shù)、不等式綜合問題的考查 學霸 好方 法 1.求最值(或取值范圍)問題的解題思路 先構造數(shù)列對應的函數(shù)y=f(x),x∈(0,+∞).再由以下方法求最值: (1)利用函數(shù)的單調(diào)性 (2)利用

10、均值不等式 (3)利用導數(shù) 注意是在正整數(shù)內(nèi)討論的. 2.交匯問題 與函數(shù)、不等式交匯時,依據(jù)函數(shù)或不等式的性質(zhì)求解. 求最值問題 【典例】1.在等差數(shù)列{an}中,假設a1<0,Sn為其前n項和且S7=S17,那么Sn最小時的n的值為 (　　) A.12或13 B.11或12 C.11 D.12 2.在正項等比數(shù)列{an}中,為a6與a14的等比中項,那么a3+3a17的最小值為 (　　) A.2 B.89 C.6 D.3 【解析】1.選D.由S7=S17,依據(jù)二次函數(shù)對稱性知當n=12時,Sn最小. 2.選C.因為{an}是正項等比

11、數(shù)列,且為a6與a14的等比中項,所以a6a14=3=a3a17, 那么a3+3a17=a3+3·≥2=6, 當且僅當a3=3時,等號成立, 所以a3+3a17的最小值為6. 求等差數(shù)列前n項和的最值常用的方法有哪些? 提示:(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出最值; (2)利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項,便可求得和的最值; (3)將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看作二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值. 比較大小 【典例】數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a6=b7,那么有 (　　) A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9

12、≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9與b4+b10的大小不確定 【解析】選B.因為a3+a9≥2=2=2a6=2b7=b4+b10,當且僅當a3=a9時取等號. 此題利用均值不等式比較兩個式子的大小,恰到好處.利用均值不等式≥時一定要滿足其成立的三個條件分別是什么? 提示:(1)a,b均為正數(shù).(2)a,b的和或積必須有一個為定值.(3)a=b時等號成立. 求取值范圍問題 【典例】設數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1,記數(shù)列的前n項和為Tn,假設對任意的n∈N*,不等式4Tn

13、為an=2n-1, 所以==, 所以Tn= =<, 又4Tn0,解得,q=, 因為存在兩項am,an使得8=a1, 所以64qm+n-2=,整理,得m+n=8, 所以+=

14、(m+n) =≥=2, 當且僅當=時取等號,此時m,n∈N*,又m+n=8,所以只有當m=6,n=2時,+取得最小值是2. 答案:2 2.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn+3)(n∈N*)在函數(shù)y=3×2x的圖像上,等比數(shù)列{bn}滿足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n項和為Tn,那么以下結(jié)論正確的選項是 (　　) A.Sn=2Tn B.Tn=2bn+1 C.Tn>an D.Tn

15、2n-3-(3×2n-1-3) =3×2n-1, 又當n=1時,a1=S1=3, 所以an=3×2n-1. 設bn=b1qn-1,那么b1qn-1+b1qn=3×2n-1, 可得b1=1,q=2, 所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n-1. 由等比數(shù)列前n項和公式可得Tn=2n-1. 結(jié)合選項可知,只有D正確. 3.a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).假設a1>1,那么 (　　) A.a1a3,a2a4 D.a1>a3,a2>a4 【解析】選B.因

16、為ln x≤x-1(x>0), 所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1, 所以a4=a1·q3≤-1.由a1>1,得q<0. 假設q≤-1,那么ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a4 =a1(1+q)·(1+q2)≤0. 又a1+a2+a3=a1(1+q+q2)≥a1>1, 所以ln(a1+a2+a3)>0,矛盾.因此-10,a2-a4=a1q(1-q2)<0, 所以a1>a3,a2

17、n}滿足a1=-1,且=2×+1(其中Sn為{an}的前n項和),那么f(a5)+f(a6)= (　　) A.-3 B.-2 C.3 D.2 【解析】選C.由f=f(x)可知函數(shù)f(x)的圖像的對稱軸為直線x=.又函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù), 所以有f=f(x)=-f, 所以f=-f(x),即f(x-3)=f(x),所以函數(shù)y=f(x)的周期為3. 由=2×+1得Sn=2an+n. 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an+n-(2an-1+n-1)=2an-2an-1+1, 即an=2an-1-1,所以a2=-3,a3=-7,a4=-15,a5=-31,a6=-63,

18、那么f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=-f(1)+f(0).由函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)可得f(0)=0,由f(-2)=-3可得f(-2)=f(1)=-3,所以f(a5)+f(a6)=3. 2.(2021·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S9=-a5. (1)假設a3=4,求{an}的通項公式. (2)假設a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范圍. 【解析】(1)設{an}的公差為d. 由S9=-a5得a1+4d=0. 由a3=4得a1+2d=4. 于是a1=8,d=-2. 因此{an}的通項公式為an=10-2n. (2)由S9=-a5得a1=-4d, 故an=(n-5)d,Sn= . 由a1>0知d<0,故Sn≥an等價于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10. 所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10,n∈N}. 可修改 歡迎下載 精品 Word