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數(shù)學(xué)第二章 方程(組)與不等式(組)第7講 一元二次方程

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1、 第二章方程第二章方程(組組)與不等式與不等式(組組) 第第7講一元二次方程講一元二次方程考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理過(guò)關(guān)過(guò)關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)1 一元二次方程的相關(guān)概念一元二次方程的相關(guān)概念提示 判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程時(shí)要注意以下兩點(diǎn):(1)化簡(jiǎn)前,方程是整式方程;(2)化簡(jiǎn)后,只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.考點(diǎn)考點(diǎn)2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 6 6年年4 4考考拓展 十字相乘法分解因式:十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù),右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng),交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)。其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式(xa)(xb)x2(ab)xab的逆運(yùn)算來(lái)進(jìn)行因式分解。十字分解法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式(不一

2、定是整數(shù)范圍內(nèi))。對(duì)于像ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)這樣的整式來(lái)說(shuō),這個(gè)方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積,把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積,并使a1c2a2c1正好等于一次項(xiàng)的系數(shù)b。那么可以直接寫成結(jié)果:ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)考點(diǎn)考點(diǎn)3 一元二次方程的根的判別式及其應(yīng)用一元二次方程的根的判別式及其應(yīng)用 6 6年年3 3考考提示 (1)運(yùn)用一元二次方程根的判別式時(shí),先要化為一般形式,再確定a,b,c的值;(2)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含字母時(shí)注意二次項(xiàng)系數(shù)a0;(3)如果說(shuō)方程有實(shí)數(shù)根,此時(shí)b24ac0,切勿丟掉等號(hào)考點(diǎn)考點(diǎn)4 一元二次方程根與系數(shù)

3、的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系( (選學(xué)選學(xué)) )提示 運(yùn)用前提:(1)首先是一元二次方程,即a0;(2)一元二次方程必須有解,即b24ac0.幾種常見(jiàn)的一元二次方程應(yīng)用問(wèn)題:(1)握手或單循環(huán)比賽問(wèn)題(2)增長(zhǎng)率問(wèn)題:若基數(shù)為a,增長(zhǎng)率為x,則增長(zhǎng)一次后的值為a(1x),增長(zhǎng)兩次后的值為b,則有a(1x)2b.(3)面積類問(wèn)題:解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或補(bǔ)全成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關(guān)系,利用面積計(jì)算公式列出方程求解(4)利潤(rùn)類問(wèn)題:常用的關(guān)系有利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià);總利潤(rùn)單個(gè)利潤(rùn)銷售數(shù)量考點(diǎn)考點(diǎn)5 一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用 6 6年年1 1考考典型例題典型例題運(yùn)用運(yùn)

4、用類型類型1 1 一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式【例1】2017通遼中考若關(guān)于x的一元二次方程(k1)x22(k1)xk20有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是()技法點(diǎn)撥 熟練掌握解一元二次方程的定義和判別式:1.二次項(xiàng)系數(shù)不為0;2.b24ac0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,b24ac0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,b24ac0方程無(wú)實(shí)數(shù)根AA關(guān)于x的一元二次方程(k1)x22(k1)xk20有實(shí)數(shù)根, 解得k1.變式運(yùn)用 2017北京中考關(guān)于x的一元二次方程x2(k3)x2k20.(1)求證:方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;(2)若方程有一根小于1,求k的取值范圍解:(1)證明:在方程x

5、2(k3)x2k20中,(k3)241(2k2)k22k1(k1)20,方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(2)x2(k3)x2k2(x2)(xk1)0,x12,x2k1.方程有一根小于1,k11,解得k0,k的取值范圍為k0.對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根猜押預(yù)測(cè) 1.不解方程,判別方程2x23 x3的根的情況 ()A有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D無(wú)實(shí)數(shù)根2B整理方程,得2x23 x30.(3 )242(3)18240,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根22猜押預(yù)測(cè) 2.已知關(guān)于x的一元二次方程(a1)x22x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是 .a2且a1關(guān)于x的一元

6、二次方程(a1)x22x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,b24ac0,即44(a1)10.解這個(gè)不等式,得a2.又二次項(xiàng)系數(shù)是(a1),a1.故a的取值范圍是a2且a1.42015濱州,5,3分用配方法解一元二次方程x26x100時(shí),下列變形正確的為()A(x3)21 B(x3)21C(x3)219 D(x3)219命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2 解一元二次方程解一元二次方程D移項(xiàng),得x26x10.配方,得x26x919,即(x3)219.52013濱州,16,4分一元二次方程2x23x10的解為x11,x2 . a2,b3,c1,b24ac(3)2810.x x11,x2 .212162012濱州,17,4分

7、方程x(x2)x的根是 .x10,x23原方程可化為x(x2)x0,即x(x21)0.x0或x30.解得x10,x23.72017濱州,20,9分(1)根據(jù)要求,解答下列問(wèn)題:方程x22x10的解為;方程x23x20的解為;方程x24x30的解為;(2)根據(jù)以上方程特征及其解的特征,請(qǐng)猜想:方程x29x80的解為;關(guān)于x的方程的解為x11,x2n.(3)請(qǐng)用配方法解方程x29x80,以驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性解:(1)(x1)20,解得x1x21,即方程x22x10的解為x1x21;(x1)(x2)0,解得x11,x22,所以方程x23x20的解為x11,x22;(x1)(x3)0,解得x11,x

8、23,方程x24x30的解為x11,x23;(2)根據(jù)以上方程特征及其解的特征,請(qǐng)猜想:方程x29x80的解為x11,x28;關(guān)于x的方程x2(1n)xn0的解為x11,x2n.(3)x29x8,x29x 8 ,所以x11,x28.所以猜想正確答案:x1x21;x11,x22;x11,x23;x11,x28;x2(1n)xn0.481481猜押預(yù)測(cè) 3.已知等腰ABC的兩條邊的長(zhǎng)度是一元二次方程x26x80的兩根,則ABC的周長(zhǎng)是()A10 B8 C6 D8或10猜押預(yù)測(cè) 4.將一元二次方程x26x50化成(xa)2b的形式,則ab .A已知x26x80,(x2)(x4)0.x12,x24.由

9、三角形的三邊關(guān)系,可得(兩邊之和大于第三邊),腰長(zhǎng)是4,底邊是2,所以周長(zhǎng)是44210.12x26x50,x26x5,x26x959,(x3)24,所以a3,b4,ab12.命題點(diǎn)命題點(diǎn)3 3 一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用82012濱州,20,7分濱州市體育局要組織一次籃球賽,賽制為單循環(huán)形式(每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)),計(jì)劃安排28場(chǎng)比賽,應(yīng)邀請(qǐng)多少支球隊(duì)參加比賽?學(xué)習(xí)以下解答過(guò)程,并完成填空解:設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x支球隊(duì)參賽,則每隊(duì)共打 場(chǎng)比賽,比賽總場(chǎng)數(shù)用代數(shù)式表示為 .根據(jù)題意,可列出方程 .整理,得 .解這個(gè)方程,得 .合乎實(shí)際意義的解為 .答:應(yīng)邀請(qǐng) 支球隊(duì)參賽 設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x支球隊(duì)參賽,則每

10、隊(duì)共打(x1)場(chǎng)比賽,比賽總場(chǎng)數(shù)用代數(shù)式表示為 x(x1),根據(jù)題意,可列出方程 x(x1)28.整理,得x2x560,解這個(gè)方程,得x18,x27.合乎實(shí)際意義的解為x8.答:應(yīng)邀請(qǐng)8支球隊(duì)參賽2121猜押預(yù)測(cè) 5.某種型號(hào)的電腦,原售價(jià)7200元/臺(tái),經(jīng)連續(xù)兩次降價(jià)后,現(xiàn)售價(jià)為4608元/臺(tái),則平均每次降價(jià)的百分率為 .20%設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x.由題意,得7200(1x)24608.解得x11.8(舍去),x20.2.猜押預(yù)測(cè) 6.商場(chǎng)某種商品平均每天可銷售30件,每件盈利50元,為了盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件商品每降價(jià)1元,商場(chǎng)每天可多售出2件,設(shè)

11、每件商品降低x元據(jù)此規(guī)律,請(qǐng)回答:(1)商場(chǎng)日銷售量增加件,每件商品盈利元;(用含x的代數(shù)式表示)(2)在上述條件不變,銷售正常的情況下,每件商品降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元?解:(1)降價(jià)1元,可多售出2件,降價(jià)x元,可多售出2x件,盈利的錢數(shù)為(50 x)元故答案為:2x;50 x;(2)由題意,得(50 x)(302x)2100.化簡(jiǎn),得x235x3000,即(x15)(x20)0.解得x115,x220.由于該商場(chǎng)為了盡快減少庫(kù)存,因此降的越多,越吸引顧客,故選x20.答:每件商品降價(jià)20元時(shí),商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元得分要領(lǐng) 1.要熟悉常見(jiàn)問(wèn)題的等量關(guān)系,并會(huì)根據(jù)關(guān)系列出方程;2.能夠準(zhǔn)確求出方程的解;3.對(duì)于方程的解會(huì)根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行可行性分析,適當(dāng)選取

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