習(xí)題課2　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動 【學(xué)習(xí)素養(yǎng)·明目標(biāo)】　物理觀念：1.了解豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的兩種基本模型.2.掌握輕繩(或輕桿)約束下圓周運(yùn)動的兩個(gè)特殊點(diǎn)的相關(guān)分析.3.學(xué)會分析圓周運(yùn)動問題的一般方法． 科學(xué)思維：1.通過對圓周運(yùn)動的兩種基本模型的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.2.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力． 豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的輕繩(過山車)模型 [要點(diǎn)歸納] 輕繩(過山車)模型(如圖所示)的最高點(diǎn)問題 1．繩或過山車(內(nèi)軌道)施力特點(diǎn)：只能施加向下的拉力或壓力． 2．在最高點(diǎn)的動力學(xué)方程FT＋mg＝m. 3．在最高點(diǎn)的臨界條件FT＝0，此時(shí)mg＝m，則v＝. v＝時(shí)，拉力或壓力為零． v＞時(shí)，小球受向下的拉力或壓力． v＜時(shí)，小球不能達(dá)到最高點(diǎn)． 即輕繩模型的臨界速度為v臨＝. 【例1】　一細(xì)繩與水桶相連，水桶中裝有水，水桶與細(xì)繩一起在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，如圖所示，水的質(zhì)量m＝0.5 kg，水的重心到轉(zhuǎn)軸的距離l＝50 cm.(g取10 m/s2) (1)若在最高點(diǎn)水不流出來，求桶的最小速率；(結(jié)果保留三位有效數(shù)字) (2)若在最高點(diǎn)水桶的速率v＝3 m/s，求水對桶底的壓力大?。? 思路點(diǎn)撥：在最高點(diǎn)水不流出的臨界條件為只有水的重力提供向心力，水與水桶間無彈力的作用． [解析]　(1)以水桶中的水為研究對象，在最高點(diǎn)恰好不流出來，說明水的重力恰好提供其做圓周運(yùn)動所需的向心力，此時(shí)桶的速率最?。校簃g＝m 則所求的最小速率為：v0＝≈2.24 m/s. (2)此時(shí)桶底對水有一向下的壓力，設(shè)為FN，則由牛頓第二定律有：FN＋mg＝m 代入數(shù)據(jù)可得：FN＝4 N 由牛頓第三定律，水對桶底的壓力：FN′＝4 N. [答案]　(1)2.24 m/s　(2)4 N 1．如圖所示為模擬過山車的實(shí)驗(yàn)裝置，小球從左側(cè)的最高點(diǎn)釋放后能夠通過豎直圓軌道而到達(dá)右側(cè)．若豎直圓軌道的半徑為R，要使小球能順利通過豎直圓軌道，則小球通過豎直圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的角速度最小為(　　) A.　　　　　　　 B．2 C. D. C　[小球能通過豎直圓軌道的最高點(diǎn)的臨界狀態(tài)為重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，選項(xiàng)C正確．] 豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的輕桿(管)模型 [要點(diǎn)歸納] 1．最高點(diǎn)的最小速度 如圖所示，細(xì)桿上固定的小球和管形軌道內(nèi)運(yùn)動的小球，由于桿和管在最高處能對小球產(chǎn)生向上的支持力，故小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度v＝0，此時(shí)小球受到的支持力FN＝mg. 2．小球通過最高點(diǎn)時(shí)，軌道對小球的彈力情況 (1)v＞，桿或管的外側(cè)對球產(chǎn)生向下的拉力或彈力，F(xiàn)隨v增大而增大． (2)v＝，球在最高點(diǎn)只受重力，不受桿或管的作用力，F(xiàn)＝0. (3)0＜v＜，桿或管的內(nèi)側(cè)對球產(chǎn)生向上的彈力，F(xiàn)隨v的增大而減小． 【例2】　長度為0.5 m的輕桿OA繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，A端連著一個(gè)質(zhì)量m＝2 kg的小球．求在下述的兩種情況下，通過最高點(diǎn)時(shí)小球?qū)U的作用力的大小和方向．(g取10 m/s2) (1)桿做勻速圓周運(yùn)動的轉(zhuǎn)速為2.0 r/s； (2)桿做勻速圓周運(yùn)動的轉(zhuǎn)速為0.5 r/s. [解析]　小球在最高點(diǎn)的受力如圖所示： (1)桿的轉(zhuǎn)速為2.0 r/s時(shí)， ω＝2π·n＝4π rad/s 由牛頓第二定律得F＋mg＝mLω2 故小球所受桿的作用力 F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N 即桿對小球提供了138 N的拉力 由牛頓第三定律知小球?qū)U的拉力大小為138 N，方向豎直向上． (2)桿的轉(zhuǎn)速為0.5 r/s時(shí)，ω′＝2π·n＝π rad/s 同理可得小球所受桿的作用力 F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N 力F為負(fù)值表示它的方向與受力分析中所假設(shè)的方向相反，故小球?qū)U的壓力大小為10 N，方向豎直向下． [答案]　(1)小球?qū)U的拉力為138 N，方向豎直向上 (2)小球?qū)U的壓力為10 N，方向豎直向下 (1)注意r/s與rad/s的不同． (2)先求小球受到桿的彈力，再用牛頓第三定律得出桿受小球的力. (3)當(dāng)未知力的方向不確定時(shí)，要采用假設(shè)正方向的辦法． 2．如圖所示，一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動，以下說法正確的是(　　) A．小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿所受的彈力不能等于0 B．小球過最高點(diǎn)時(shí)，速度至少為 C．小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對球的作用力可以與球受重力方向相反，此時(shí)重力一定大于桿對球的作用 D．小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對球作用力一定與小球受重力方向相反 C　[當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為時(shí)，桿所受彈力為0，A錯(cuò)誤；因?yàn)槭羌?xì)桿，小球過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度是0，B錯(cuò)誤；小球過最高點(diǎn)時(shí)，如果速度在0～范圍內(nèi)，則桿對小球有向上的支持力，但由于合力向下，故此時(shí)重力一定大于桿對球的作用，C正確；小球通過最高點(diǎn)的速度大于，小球的重力不足以提供向心力，此時(shí)桿對球產(chǎn)生向下作用力，D錯(cuò)誤．] 1．如圖所示，某公園里的過山車駛過軌道的最高點(diǎn)時(shí)，乘客在座椅里面頭朝下，人體顛倒，若軌道半徑為R，人體受重力為mg，要使乘客經(jīng)過軌道最高點(diǎn)時(shí)對座椅的壓力等于自身的重力，則過山車在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為(　　) A．0　　　　　　　　　　B. C. D. C　[由題意知F＋mg＝m即2mg＝m，故速度大小v＝，C正確．] 2．(多選)如圖所示，用細(xì)繩拴著質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，圓周半徑為R，則下列說法正確的是(　　) A．小球過最高點(diǎn)時(shí)，繩子張力可能為零 B．小球過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為零 C．小球剛好過最高點(diǎn)時(shí)的速度為 D．小球過最高點(diǎn)時(shí)，繩子對小球的作用力可以與球所受的重力方向相反 AC　[繩子只能提供拉力作用，其方向不可能與重力相反，D錯(cuò)誤；在最高點(diǎn)有mg＋FT＝m，拉力FT可以等于零，此時(shí)速度最小，為vmin＝，故B錯(cuò)誤，A、C正確．] 3．(多選)如圖所示，一個(gè)固定在豎直平面上的光滑圓形管道，管道里有一個(gè)直徑略小于管道內(nèi)徑的小球，小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動，下列說法中正確的是(　　) A．小球通過管道最低點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿赖膲毫ο蛳? B．小球通過管道最低點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿赖膲毫ο蛏? C．小球通過管道最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿赖膲毫赡芟蛏? D．小球通過管道最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)艿揽赡軣o壓力 ACD　[設(shè)管道的半徑為R，小球的質(zhì)量為m，小球通過最低點(diǎn)時(shí)速度大小為v1，根據(jù)牛頓第二定律：N－mg＝m可知小球所受合力向上，則管道對小球的支持力向上，則小球?qū)艿赖膲毫ο蛳?，故A正確，B錯(cuò)誤；最高點(diǎn)時(shí)速度大小為v2，根據(jù)牛頓第二定律：mg－N＝m，當(dāng)v2＝時(shí)，N＝0，說明管道對小球無壓力；當(dāng)v2＞時(shí)，N＜0，說明管道對小球的作用力向下，則小球?qū)艿赖膲毫ο蛏?，故C、D正確．] 4．如圖所示，長為L＝0.5 m的輕桿OA繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，A端連著一個(gè)質(zhì)量m＝2 kg的小球，g取10 m/s2. (1)如果小球的速度為3 m/s，求在最低點(diǎn)時(shí)桿對小球的拉力為多大； (2)如果在最高點(diǎn)桿對小球的支持力為4 N，求桿旋轉(zhuǎn)的角速度為多大． [解析]　(1)小球在最低點(diǎn)受力如圖甲所示： 甲　　　　　　　乙 合力等于向心力：FA－mg＝m 解得：FA＝56 N. (2)小球在最高點(diǎn)如圖乙所示： 則：mg－FB＝mω2L 解得：ω＝4 rad/s. [答案]　(1)56 N　(2)4 rad/s 6