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高二數(shù)學《圓的一般方程》教學設計 教材版本：人教版（必修） 學科：數(shù)學 年級：高二年級 冊別：第二冊（上） 課題：第七章第二節(jié)圓的方程第二課時教學設計 一、教材分析 圓的方程這節(jié)內(nèi)容是學習圓錐曲線的基礎，由于圓的方程應用及其廣泛，所以對圓的一般方程的要求層次是“掌握”，又由于圓的一般方程中含有三個參變數(shù)D、E、F,對它的理解帶來一定的困難。因而本節(jié)的難點是對圓的一般方程的認識，掌握和應用。突破難點的關鍵是抓住一般方程的特點。 二、學情分析 圓的一般方程是學生在學習了圓的標準方程后，又掌握了利用待定系數(shù)法求圓的標準方程的基礎上進行研究的。 但由于學生基礎差、學習程度較淺，且對圓的標準方程運用還不夠熟練，在學習過程中難免會出現(xiàn)困難。另外學生在探究問題的能力,合作交流的意識等方面有待加強。 三、教法分析 為了充分調(diào)動學生學習的積極性，本節(jié)課采用“合作探究與啟發(fā)式教學法”，用環(huán)環(huán)相扣的問題將探究活動層層深入，教師組織學生分析討論、合作探究。 四、學法分析 通過展開圓的標準方程，歸納總結得出圓的一般方程，通過求圓的方程，加深對數(shù)形結合思想和待定系數(shù)法的理解，通過應用圓的一般方程，熟悉用待定系數(shù)法求解的過程。 五、設計思想 本節(jié)課的設計思想是：以多媒體網(wǎng)絡教學平臺為依托，為學生營造一個探究學習的環(huán)境，讓他們參與到多媒體教學中來，探究新知，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題。 六、教學策略 結合本節(jié)內(nèi)容的特點，可以向學生滲透多種數(shù)學思想方法：:配方法、待定系數(shù)法、數(shù)形結合的思想、轉化的思想、 分類討論的思想、方程的思想，同時對學生的觀察類比，創(chuàng)新等多種能力的培養(yǎng)有利，通過求圓的一般方程使學生又進一步熟悉待定系數(shù)法的應用。 七、教學目標 （一）知識與技能 使學生掌握圓的一般方程的特點；能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心的坐標和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導出圓的方程。 （二）過程與方法 通過對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探討，讓學生經(jīng)歷知識形成的過程，培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力，并使學生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導出圓的方程的方法。 （三）情感態(tài)度價值觀 滲透數(shù)形結合、轉化、分類討論與方程等數(shù)學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創(chuàng)新，勇于探索。 八、教學重點、難點 1．重點：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標和半徑；(2)能用待定系數(shù)法，由已知條件導出圓的方程。 (解決辦法：(1)要求學生不要死記配方結果，而要熟練掌握通過配方求圓心和半徑的方法；(2)加強這方面題型訓練。) 2．難點：圓的一般方程的探討過程。 (解決辦法：通過對方程配方分三種討論得限制條件。) 九、教具：多媒體、黑板、圓規(guī)、三角板 十、【教學過程與設計】(課堂實錄) 環(huán) 節(jié) 教學內(nèi)容 教師活動 學生活動 設計意圖 舊 知 回 顧 、 新 知 鋪 墊 一、復習引入： 問題1：圓的標準方程的形式是怎樣的？其中圓心的坐標和半徑各是什么？ 若圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程怎么表示？ 問題2：若把標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2展開后，會得出怎樣的形式？ 師：同學們！上節(jié)課我們研究了圓的標準方程，請同學們回憶 一下圓的標準方程，并填寫學案， 教師：提出問題，并對學生的回答加以肯定。 教師活動：讓學生先獨立思考，自主探究， 引導學生得出方程形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，提出課題 學生活動：回答問題，并填寫學案： 學生活動：動筆展開方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 復習鞏固圓的標準方程，進一步明確其結構特征，為新知識作鋪墊。 學生帶著疑問，親自動筆實踐，發(fā)現(xiàn)新問題，引入課題。 引 入 新 課 、 提 出 課 題 二、新課講解 課題：圓的一般方程 師：這就是我們今天要學習的內(nèi)容：圓的一般方程． 教師板書：圓的一般方程 使學生明確本節(jié)課的學習內(nèi)容。 合 作 探 討 問題3：是不是每個形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲線都是圓呢？ 教師活動：提出問題. 引導學生思考圓的方程的要求，想到利用配方法將展開式化成圓的標準方程的形式，并引導學生總結在什么情況下，它的軌跡是圓、點或無軌跡。 組織學生分析討論，給學生充足的時間討論，并作適當?shù)囊龑А? 【師生互動】：教師巡視指導，參與學生的討論。 學生活動：先獨立思考，自主探究后，再與前后同學合作交流。 生生互動：在教師引導下，合作交流，共同探討方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形。 共同探討后，達成共識：先將方程配方，再與圓的標準方程比較。 讓學生經(jīng)歷知識形成的過程，體會數(shù)形結合思想，加深對知識的理解。 、 合 作 交 流 .歸納 總 結 、 獲 得 新 知 直 接 應 用 、 內(nèi) 化 新 知 深 入 探 究 、 自 主 學 習 舉例分析 、 應用新知 反 饋 訓 練 、 形 成 方 法 1、探討形成：將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方 (1) 當D2+E2-4F＞0時，方程①表示 一個圓； （2）當D2+E2-4F = 0時，方程①表示一個點； (3)當D2+E2-4F＜0時，方程①不表示任何圖形。 2.歸納總結： 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形分別是圓、點或不表示任何圖形． 3.提出概念：（圓的一般方程的定義） 4.鞏固練習： 1、下列方程各表示什么圖形？ 2、求下列各圓的圓心和半徑 問題4：圓的一般方程有什么特點？ 三、例題精講 題型一：利用圓的標準方程求圓的方程，并化為一般方程。 例1　求過點A(5，-1)，圓心在點C(8，-3)的圓的一般方程，并化為一般方程 題型二:求利用圓的一般方程求圓的方程： 例2　 求過三點O(0，0)、M1(1，1)、M2(4，2)的圓的方程。 四、反饋練習：求過三點A(-1，5)、B(-2，-2)、C(5，5)的圓的方程。 教師預設：先將方程配方，再與圓的標準方程比較。教師板書： ① 師：請同學們觀察方程①，可以看出什么？ 教師提示學生：先把方程①與標準方程比較，再分類討論。 當D2+E2-4F＞0時，方程①表示什么？ 教師繼續(xù)引導：當D2+E2-4F = 0時，又表示什么？ 教師預設：當學生回答不明確時，教師作適當?shù)奶崾荆寒擠2+E2-4F = 0時，方程① 只有實數(shù)解 教師設問：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0有沒有實數(shù)解？． 教師活動：教師在學生基礎上梳理思路，板書：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形分別是圓、點或不表示任何圖形。 師：根據(jù)以上結論，請同學們給出圓的一般方程的定義。 【教師活動】板書： 圓的一般方程的定義 當D2+E2-4F＞0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程。 圓心坐標為：，半徑為： 教師強調(diào)：不要死記結果，要熟記通過配方求圓心和半徑的方法。 教師活動：巡視學生完成情況，對學生的回答作點評，給出正確答案，同時強調(diào)：方程中隱含條件以及分類討論的情況。 教師設問：圓的一般方程有什么特點？ 教師活動：引導學生比較二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，與圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)。 教師強調(diào)：1.條件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圓的必要條件，但不是充分條件； 2.只要確定了D、E、F即可寫出圓的一般方程。 教師活動：巡視學生完成情況，并請一位學生上黑板展示，教師點評學生的回答。 教師預設： 解：（利用待定系數(shù)法） 設圓的方程為： ∵圓經(jīng)過點A（5，-1） ∴ ∴ 教師活動：引導學生嘗試利用圓的方程的兩種形式求解圓的方程，并引導學生小結例1、例2：一般說來，如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題，往往設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系，往往設圓的一般方程。 教師預設： 解：（利用待定系數(shù)法） 設圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由題意得， F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解之得，D=-8，E=6 ∴圓的方程為：x2+y2-8x+6y=0， 教師活動：讓學生先獨立思考，自主完成，教師糾錯，并給予適當?shù)狞c評，出示正確答案. 學生活動：在教師的引導下通過觀察、分析后發(fā)現(xiàn)： 當D2+E2-4F＞0時 方程①表示一個以為圓心，為半徑的圓； 學生回答：當D2+E2-4F = 0時，方程①表示一個點 學生回答：沒有，因而它不表示任何圖形 學生活動：歸納總結：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形分別是圓、點或不表示任何圖形。 學生口答： 當D2+E2-4F＞0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程．圓心坐標為：，半徑為： 學生活動：獨立完成，并回答問題。 學生活動：歸納結論： (1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于零，即A=C≠0； (2)沒有xy項，即B=0； 【學生活動】： 獨立完成，認真作答，學生自愿到黑板上展示各自解法： 學生活動：在老師的引導下，認真完成，并體會如何根據(jù)題目條件,恰當選擇圓方程形式。 學生活動：獨立完成. 讓學生積極主動地參與到討論中來，成為學習的主人， 讓學生經(jīng)歷知識形成的過程，體會知識的來龍去脈，加深對知識的理解。 使學生學會歸納總結 使學生明確圓的一般方程的定義。 加強鞏固會通過配方法判斷方程所表示的圖形和求圓的半徑及圓心坐標。 讓學生通過歸納得出圓的一般方程的形式特點，體會圓的標準方程和圓的一般方程各自的優(yōu)點。 進一步鞏固學生能夠利用圓的標準方程求解圓的方程，并加強圓的標準方程與一般方程的轉化。 通過利用圓的方程的兩種形式求解圓的方程，進一步體會各自的優(yōu)點，并掌握待定系數(shù)法求解圓的方程的方法。 讓學生進一步體會如何根據(jù)題目條件,恰當選擇圓方程形式，并加強待定系數(shù)法求解圓的方程的方法. 課 堂 小 結 、 升 華 課 題 （1）知識性小結： 問題5：通過這節(jié)課的學習你獲得了哪些知識？ （2）方法性小結： 問題6：通過這節(jié)課的學習你掌握了哪些數(shù)學思想和方法？ 教師活動：引導學生回顧本節(jié)課所學知識要點，點評學生小結，并加以歸納補充： 1.本節(jié)課的主要知識點： （1）圓的一般方程及其形式特點； （2）圓的一般方程與圓的標準方程的轉化； （3）用待定系數(shù)法求圓的方程。 2.本節(jié)課用的數(shù)學方法和數(shù)學思想: ⑴數(shù)學方法: 配方法、待定系數(shù)法。 ⑵數(shù)學思想: ① 數(shù)形結合的思想； ② 轉化的思想； ③ 分類討論的思想； ④ 方程的思想。 學生活動：回顧本節(jié)課的知識要點與方法，認真總結，并認真聽取老師的補充。 通過學生的小結，加深對新知識的記憶，通過老師的補充升華本節(jié)課的課題。 簡潔明了概括本節(jié)課的重要知識，學生易于理解記憶。 課 后 作 業(yè) 1、分層作業(yè) 鞏固型作業(yè)：（必做題） P90 習題7.6 5，6 思維拓展型作業(yè)：（選作題） 針對學生實際，對課后書面作業(yè)實施分層設置。 分兩個層次留作業(yè)，第一層次要求所有學生都要完成，第二層次要求學有余力的同學完成。 鞏固所學新知識，加深對新知識的理解。能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)和彌補教學中的不足。 十一、板書設計 一、復習引入：把圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2展開： 二、新課講解 課題：圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方： 歸納總結：當D2+E2-4F＞0時， 當D2+E2-4F = 0時， 當D2+E2-4F＜0時， 提出概念：圓的一般方程的定義 三、例題精講 例1、 例2 四、反饋練習 五、課堂小結 （1）知識性小結 （2）方法性小結 六、課后作業(yè)