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2015湖北高考文科數(shù)學(xué)詳解 一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.） 1.為虛數(shù)單位， A． B． C． D．1 【答案】. 【解析】 試題分析：因?yàn)?，所以?yīng)選. 考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算； 2.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【答案】. 考點(diǎn)：1、簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣； 3.命題“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 【答案】. 【解析】 試題分析：由特稱命題的否定為全稱命題可知，所求命題的否定為，，故應(yīng)選. 考點(diǎn)：1、特稱命題；2、全稱命題； 4.已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān). 下列結(jié)論中正確的是 A．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān) B．與正相關(guān)，與正相關(guān) C．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān) D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān) 【答案】. 【解析】 試題分析：因?yàn)樽兞亢蜐M足關(guān)系，其中，所以與成負(fù)相關(guān)；又因?yàn)樽兞颗c正相關(guān)，不妨設(shè)，則將代入即可得到：，所以，所以與負(fù)相關(guān)，綜上可知，應(yīng)選. 考點(diǎn)：1、線性回歸方程； 5.表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則 A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 【答案】. 考點(diǎn)：1、充分條件；2、必要條件； 6.函數(shù)的定義域?yàn)? A． B． C． D． 【答案】. 【解析】 試題分析：由函數(shù)的表達(dá)式可知，函數(shù)的定義域應(yīng)滿足條件：，解之得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，故?yīng)選. 考點(diǎn)：1、函數(shù)的定義域求法； 7.設(shè)，定義符號(hào)函數(shù) 則 A． B． C． D． 【答案】. 考點(diǎn)：1、新定義；2、函數(shù)及其函數(shù)表示； 8.在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“” 的概率，則 A． B． C． D． 【答案】. 【解析】 試題分析：由題意知，事件“”的概率為，事件“”的概率，其中，，所以，故應(yīng)選. 考點(diǎn)：1、幾何概型；2、微積分基本定理； 9.將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位 長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則 A．對(duì)任意的， B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， C．對(duì)任意的， D．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 【答案】. 考點(diǎn)：1、雙曲線的定義；2、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)； 10.已知集合，，定義集合 ，則中元素的個(gè)數(shù)為 A．77 B．49 C．45 D．30 【答案】. 【解析】 試題分析：由題意知，，，所以由新定義集合可知，或.當(dāng)時(shí)，，，所以此時(shí)中元素的個(gè)數(shù)有：個(gè)；當(dāng)時(shí)，，，這種情形下和第一種情況下除的值取或外均相同，即此時(shí)有，由分類計(jì)數(shù)原理知，中元素的個(gè)數(shù)為個(gè)，故應(yīng)選. 考點(diǎn)：1、分類計(jì)數(shù)原理；2、新定義； 第Ⅱ卷（共110分）（非選擇題共110分） 二、填空題（每題7分，滿分36分，將答案填在答題紙上） 11.已知向量，，則_________． 【答案】. 考點(diǎn)：1、平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用； 12.若變量滿足約束條件 則的最大值是_________． 【答案】. 【解析】 試題分析：首先根據(jù)題意所給的約束條件畫出其表示的平面區(qū)域如下圖所示，然后根據(jù)圖像可得: 目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)取得最大值，即，故應(yīng)填. 考點(diǎn)：1、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題； 13.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_________. 【答案】. 【解析】 試題分析：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程的根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)與的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù).于是，分別畫出其函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，函數(shù)與的圖像有2個(gè)交點(diǎn). 考點(diǎn)：1、函數(shù)與方程；2、函數(shù)圖像； 14.某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額 （單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示. （Ⅰ）直方圖中的_________； （Ⅱ）在這些購物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)為_________. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000. 考點(diǎn)：1、頻率分布直方圖； 15.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北 的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 _________m. 【答案】. 考點(diǎn)：1、正弦定理；2、解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例； 16.如圖，已知圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B（B在A的上方），且. （Ⅰ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________； （Ⅱ）圓在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為_________. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由圓與軸相切于點(diǎn)知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，半 徑.又因?yàn)?，所以，即，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 令得：.設(shè)圓在點(diǎn)處的切線方程為，則圓心到其距離為： ，解之得.即圓在點(diǎn)處的切線方程為，于是令可得 ，即圓在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，故應(yīng)填和. 考點(diǎn)：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、直線的方程； 17.a為實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為. 當(dāng)_________時(shí)，的值最小. 【答案】. ②：：， ③：： ④：：， 綜上，當(dāng)時(shí)，取到最小值 考點(diǎn)：1、分段函數(shù)的最值問題；2、函數(shù)在區(qū)間上的最值問題； 三、解答題 （本大題共5小題，共65分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 18.（本小題滿分12分） 某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象 時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表： 0 0 5 0 （Ⅰ）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)的解 析式； （Ⅱ）將圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到圖象，求 的圖象離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心. 【答案】（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表： 且函數(shù)表達(dá)式為；（Ⅱ）離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心為. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)已知表格中的數(shù)據(jù)可得方程組，解之可得函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而可補(bǔ)全其表格即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）并結(jié)合函數(shù)圖像平移的性質(zhì)可得，函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求出其圖像的對(duì)稱中心坐標(biāo)，取出其距離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心即可. 試題解析：（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)可得：，，，解得. 數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表： 且函數(shù)表達(dá)式為. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此 .因?yàn)榈膶?duì)稱中心為，. 令，解得，.即圖象的對(duì)稱中心為，，其中離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心為. 考點(diǎn)：1、函數(shù)的圖像及其性質(zhì)；2、三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)； 19.（本小題滿分12分） 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，，， ． （Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）由已知可列出方程組，解之得即可得出所求的結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，于是，易發(fā)現(xiàn)：的通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列相乘而得的，直接對(duì)其進(jìn)行求和運(yùn)用錯(cuò)位相減法即可得出結(jié)論. 試題解析：（Ⅰ）由題意有， 即，解得 或 故或. （Ⅱ）由，知，，故，于是 ， ① . ② ①-②可得 ， 故. 考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、等比數(shù)列；3、錯(cuò)位相減法； 20.（本小題滿分13分） 《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑. 在如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)是的 中點(diǎn)，連接. （Ⅰ）證明：平面. 試判斷四面體是 否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需 寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說明理由； （Ⅱ）記陽馬的體積為，四面體的 體積為，求的值． 【答案】（Ⅰ）因?yàn)榈酌?，所? 由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以. 而，所以平面.四面體是一個(gè)鱉臑；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）由側(cè)棱底面易知，；而底面為長(zhǎng)方形，有，由線面垂直的判定定理知平面，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)定理可得；在中，易得，再由線面垂直的判定定理即可得出結(jié)論.由平面，平面，進(jìn)一步可得四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即可得出結(jié)論；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）證明結(jié)論，并根據(jù)棱錐的體積公式分別求出，即可得出所求結(jié)果. 試題解析：（Ⅰ）因?yàn)榈酌?，所? 由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以. 而，所以平面. 由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是 （Ⅱ）由已知，是陽馬的高，所以；由（Ⅰ）知，是鱉臑的高， ，所以.在△中，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，于是 考點(diǎn)：1、直線與平面垂直的判定定理；2、直線與平面垂直的性質(zhì)定理；3、簡(jiǎn)單幾何體的體積； 21.（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)， ，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （Ⅰ）求，的解析式，并證明：當(dāng)時(shí)，，； （Ⅱ）設(shè)，，證明：當(dāng)時(shí)，. 【答案】（Ⅰ），.證明：當(dāng)時(shí)，，，故 又由基本不等式，有，即 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ⑤⑥ 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于 ⑦ 等價(jià)于 ⑧于是設(shè)函數(shù) ，由⑤⑥，有 當(dāng)時(shí)，（1）若，由③④，得，故在上為增函數(shù)，從而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故⑧成立.綜合⑦⑧，得 . 【解析】 試題分析：（Ⅰ）將等式中用來替換，并結(jié)合已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)可得 于是聯(lián)立方程組即可求出的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，由指數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，，進(jìn)而可得到然后再由基本不等式即可得出（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.于是要證明，即證，也就是證明，即證于是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性與極值中的應(yīng)用即可得出結(jié)論成立. 試題解析：（Ⅰ）由, 的奇偶性及,①得： ② 聯(lián)立①②解得，. 當(dāng)時(shí)，，，故 ③ 又由基本不等式，有，即 ④ （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， ⑤ ， ⑥ 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于， ⑦ 等價(jià)于 ⑧ 設(shè)函數(shù) ，由⑤⑥，有 當(dāng)時(shí)，（1）若，由③④，得，故在上為增函數(shù)，從而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故⑧成立.綜合⑦⑧，得 . 考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性與極值中的應(yīng)用；2、函數(shù)的基本性質(zhì)； 22.（本小題滿分14分） 一種畫橢圓的工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過N處鉸鏈 與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫出的橢圓記為C．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，的面積取得最小值8. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）由題意并結(jié)合三角形三邊關(guān)系（兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）知，，即，這表明橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，即可求出橢圓的方程； （Ⅱ）首先討論直線的斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知直線的方程為或，即可求出的面積的值；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程并整理得到一元二次方程，然后根據(jù)題意直線總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)知，即可得到.再分別聯(lián)立直線與直線和可解得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)原點(diǎn)到直線的距離公式可求得，于是的面積可表示為消去參數(shù)可得，于是分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)，分別求出的面積的最小值，并比較即可求出的面積取得最小值. 試題解析：（Ⅰ）因?yàn)椋?dāng)在x軸上時(shí)，等號(hào)成立；同理 ，當(dāng)重合，即軸時(shí)，等號(hào)成立. 所以橢圓C的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，其方程為 （Ⅱ）（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有. （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線， 由 消去，可得 .因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以 ，即. ① 又由 可得；同理可得.由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得 . ② 將①代入②得，. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因，則，，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8. 綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，的面積取得最小值8. 考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與橢圓相交綜合問題；