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1、 七年級數(shù)學(xué)競賽系列講座(9) 　應(yīng)用題（一） 一、 一、知識(shí)要點(diǎn) 1、 1、? 應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它著重培養(yǎng)學(xué)生理解問題、分析問題和解決問題的能力，解應(yīng)用題最主要的方法是列方程或方程組。 2、 2、? 列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟是： (1) (1)??? 弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示題目中的一個(gè)未知數(shù)； (2) (2)??? 找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系； (3) (3)??? 根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出方程； (4) (4)??? 解這個(gè)方程，求出未知數(shù)的值； (5) (5)??? 寫出答案(包括單位名稱)。 3、行程類問題 行程類

2、問題討論速度、時(shí)間和路程之間的相互關(guān)系。它們滿足如下基本關(guān)系式： 速度′時(shí)間=路程 4、數(shù)字類問題 數(shù)字類問題常用十進(jìn)制來表示數(shù)，然后通過相等關(guān)系列出方程。 解數(shù)字類問題應(yīng)注意數(shù)字間固有的關(guān)系，如：連續(xù)整數(shù)，一般設(shè)中間數(shù)為x，則相鄰兩數(shù)分別為x-1、x+1；連續(xù)奇(偶)數(shù)，一般設(shè)中間數(shù)為x，則相鄰兩數(shù)分別為x-2、x+2。 ? 二、 二、例題精講 例1 從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時(shí)每小時(shí)行駛20千米，下坡時(shí)每小時(shí)行駛35千米，。車從甲地開往乙地需9小時(shí)，乙地開往甲地需小時(shí)，問：甲、乙兩地間的公路有多少千米？從甲地到乙地須行駛多少千米

3、的上坡路？(第五屆華杯賽復(fù)賽題) 分析 本題用方程來解簡單自然。 解 設(shè)從甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為y千米，根據(jù)題意得方程組 解這個(gè)方程組有很多種方法。例如代入消元法、加減消元法等。由于方程組系數(shù)比較特殊(第一個(gè)方程中x的系數(shù)恰好是第二個(gè)方程中y的系數(shù)，而y的系數(shù)也恰好是第二個(gè)方程中x的系數(shù))，也可以采用如下的解法： (1)+(2)得 (x+y)( +)=9+ 所以 x+y= (3) (1)-(2)得 (x-y)( -)=9- 所以 x-y=

4、 (4) 由(3)、(4)得 x= 所以甲、乙兩地間的公路長210千米，從甲地到乙地須行駛140千米的上坡路。 ? 例2 公共汽車每隔x分鐘發(fā)車一次，小宏在大街上行走，發(fā)現(xiàn)從背后每隔6分鐘開過來一輛公共汽車，而每隔分鐘迎面開來一輛公共汽車。如果公共汽車與小宏行進(jìn)的速度都是均勻的，則x等于 分鐘。(第六屆迎春杯初賽試題) 分析：此題包括了行程問題中的相遇與追及兩種情況。若設(shè)汽車速度為a米/每秒，小宏速度為b米/每秒，則當(dāng)一輛汽車追上小宏時(shí)，另一輛汽車在小宏后面ax米處，它用6分鐘追上小宏。另一方面，當(dāng)一輛汽車與小宏相遇時(shí)，另一輛汽車在小宏前面ax米處，它經(jīng)過分鐘與

5、小宏相遇。由此可列出兩個(gè)方程。 解：設(shè)汽車速度為a米/每秒，小宏速度為b米/每秒，根據(jù)題意得 兩式相減得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5 評注：行程問題常分為同向運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)兩種，相遇問題就是相向運(yùn)動(dòng)，而追及問題就是同向運(yùn)動(dòng)。解這類問題分析時(shí)往往要結(jié)合題意畫出示意圖，以便幫助我們直觀、形象地理解題意。 ? 例3 攝制組從A市到B市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯。由于堵車，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了原計(jì)劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息。司機(jī)說，再走從C市到這里路程的二分之一就到達(dá)目的地了。問A

6、、B兩市相距多少千米？(第五屆華杯賽決賽試題) 分析：本題條件中只有路程，沒有時(shí)間和速度，因而應(yīng)當(dāng)仔細(xì)分析各段路程之間的關(guān)系。 解：如圖，設(shè)小鎮(zhèn)為D，傍晚 汽車在E 休息 A D C E B 由已知， AD是AC的三分之一，也就是AD =DC 又由已知，EB=CE 兩式相加得：AD+ EB=DE 因?yàn)镈E=400千米，所以AD+ EB=′400=200千米， 從而A、B兩市相距400+200=600千米 評注：行程問題常通過畫行程示意圖來幫助我們思考

7、。 ? 例4 有編號為①、②、③的3條賽艇，其在靜水中的速度依次為每小時(shí)v1、v2、v3千米，且滿足v1> v2> v3> v >0，其中v為河流的水流速度。它們在河流上進(jìn)行追逐賽，規(guī)則如下： (1) 3條賽艇在同一起跑線上同時(shí)出發(fā)，逆流而上，在出發(fā)的同時(shí)，有一浮標(biāo)順流而下； (2) 經(jīng)過1小時(shí)，①、②、③號賽艇同時(shí)掉頭，追趕浮標(biāo)，誰先追上誰為冠軍。 在整個(gè)比賽期間各艇的速度保持不變，則比賽的冠軍為 解：經(jīng)過1小時(shí)，①、②、③號賽艇同時(shí)掉頭，掉頭時(shí)，各艇與浮標(biāo)的距離為： S i=(vi-v)′1+v′1= vi ′1(i=1、2、3)

8、 第i號賽艇追上浮標(biāo)的時(shí)間為：(小時(shí)) 由此可見，掉頭后各走1小時(shí)，同時(shí)追上浮標(biāo)，所以3條賽艇并列冠軍。 評注：順流速度=靜水速度+水流速度；逆流速度=靜水速度-水流速度。 例5在一環(huán)行軌道上有三枚彈子同時(shí)沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。已知甲于第10秒鐘時(shí)追上乙，在第30秒時(shí)追上丙，第60秒時(shí)甲再次追上乙，并且在第70秒時(shí)再次追上丙，問乙追上丙用了多少時(shí)間？(第11屆希望杯競賽培訓(xùn)題) 解：設(shè)甲的運(yùn)動(dòng)速度是 乙的運(yùn)動(dòng)速度是，丙的運(yùn)動(dòng)速度是．設(shè)環(huán)形軌道長為L。甲比乙多運(yùn)動(dòng)一圈用時(shí)50秒，故有－＝ ① 甲比丙多運(yùn)動(dòng)一圈用時(shí)40秒，故有－＝ ② ②－①可

9、得到－＝－＝ ③ ④ ⑤ 甲、乙、丙初始位置時(shí)，乙、丙之間的距離＝甲、丙之間距離－甲、乙之間距離 ＝（－）×30－（ －）×10； 乙追上丙所用時(shí)間＝ ＝秒．所以第110秒時(shí)，乙追上丙． 評注：相遇問題的關(guān)系式是：路程和=速度和′時(shí)間； 追及問題的關(guān)系式是：追及路程=速度差′時(shí)間。 ? 例6 一個(gè)三位數(shù)，三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和為17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個(gè)位上的數(shù)是十位上數(shù)的3倍，求這個(gè)三位數(shù)。 解：設(shè)十位上的數(shù)為x，則個(gè)位上的數(shù)為3 x，百位上的數(shù)是x+7 由題意

10、得：3 x+x+ x+7=17，∴x=2 ∴這個(gè)三位數(shù)是：100(x+7)+10 x+3 x=926 答：這個(gè)三位數(shù)是926 評注：數(shù)字問題常設(shè)出數(shù)位上的數(shù)字，再用十進(jìn)制把數(shù)表示出來。 ? 例7 兩個(gè)三位整數(shù)，它們的和加1得1000，如果把大數(shù)放在小數(shù)的左邊，并在這兩數(shù)之間點(diǎn)上一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，則所成的數(shù)正好等于把小數(shù)放在大數(shù)的左邊，中間點(diǎn)一個(gè)小數(shù)點(diǎn)所成的數(shù)的6倍，求這兩個(gè)數(shù)。 解：設(shè)大數(shù)為x，則小數(shù)為999-x，由題意得 解這個(gè)方程得：x=857, ∴999-x=142 答：大數(shù)為857，小數(shù)為142。 ? 例8 一輛卡車在公路上勻速行駛，起初看到里程碑上的數(shù)字為

11、，過了1小時(shí)里程碑上的數(shù)字為，又行駛了1小時(shí)里程碑上的數(shù)字為，求每次看到的數(shù)字和卡車的速度。 分析：相等關(guān)系是前一小時(shí)走的路程=后一小時(shí)走的路程。 解：依題意得：-=-，即+=2， 所以 (10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B 因?yàn)锳、B取1到9的自然數(shù)，所以只有A=1，B=6 故3次看到的數(shù)字分別是16，61，106，卡車的速度為45千米/時(shí)。 評注：本題得到的是一個(gè)不定方程，通過A、B是1到9的自然數(shù)來求出A、B。 ? 例9 在黑板上從1開始，寫出一組連續(xù)的自然數(shù)，然后擦去了一個(gè)數(shù)，其余的平均值為，試問擦去的數(shù)是什么數(shù)？ 分析：設(shè)出擦去的數(shù)，用

12、平均值為來估計(jì)出寫出的自然數(shù)，從而求出擦去的數(shù)。 解：設(shè)寫出了n個(gè)自然數(shù)1，2，…，n中擦去的是k，則由題意得： 即 因?yàn)閚是自然數(shù)，且n-1必須是17的倍數(shù)，所以n=69 于是由，可解得k=7，即擦去的數(shù)為7。 評注：本題運(yùn)用了放縮原理來得出n的范圍，從而確定自然數(shù)n的值，放縮法是數(shù)學(xué)競賽中常用的方法。 ? 三、 三、鞏固練習(xí) 選擇題 1、甲、乙二人從M地同時(shí)出發(fā)去N地，甲用一半的時(shí)間以每小時(shí)a千米的速度行走，另一半的時(shí)間以每小時(shí)b千米的速度行走；乙以每小時(shí)a千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小時(shí)b千米的速度行走。若a≠b，則( )先到達(dá)N地。 A、甲

13、 B、乙 C、二人同時(shí)到達(dá) D、不確定 2、已知游艇在靜水中的航速為每小時(shí)10千米，某一旅游團(tuán)乘該游艇在黃河順?biāo)叫?小時(shí)，又用3小時(shí)返回出發(fā)地，求該團(tuán)所走的航程是( ) A、24千米 B、12千米 C、48千米 D、40千米 3、某人從A地步行到B地，當(dāng)走到預(yù)定時(shí)間時(shí)，離B地還有0.5千米；若把步行速度提高25%，則可比預(yù)定時(shí)間早半小時(shí)到達(dá)B地。已知AB兩地相距12.5千米，則某人原來步行的速度是( ) A、2千米/時(shí) B、4千米/時(shí) C、5千米/時(shí) D、6千米/時(shí) 4、一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)與

14、個(gè)位上的數(shù)的和是7，若十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)對換，現(xiàn)在的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的差是9，則現(xiàn)在的兩位數(shù)是( ) A、43 B、34 C、25 D、52 5、在由兩個(gè)不同數(shù)字組成的所有兩位數(shù)中，每個(gè)兩位數(shù)被其兩個(gè)數(shù)字之和除時(shí)，所得的商的最小值是( ) A、1.5 B、1.9 C、3.25 D、4.375 6、一個(gè)插入一個(gè)一位數(shù)(包括0)，就變成一個(gè)三位數(shù)，如：72中間插入6后變成了762。有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)一位數(shù)后變成的三位數(shù)，是原來兩位數(shù)的9倍，這樣的兩位數(shù)有( ) (第六屆《祖沖之杯》數(shù)學(xué)邀請賽試題) A、

15、1個(gè) B、4個(gè) C、10個(gè) D、超過10個(gè) 填空題 7、早晨8點(diǎn)多鐘，有兩輛汽車先后離開化肥廠，向幸福村開去。兩輛汽車的速度都是每小時(shí)60千米，8點(diǎn)32分時(shí)，第一輛車離開化肥廠的距離是第二輛車的3倍。到了8點(diǎn)39分時(shí)，第一輛車離開化肥廠的距離是第二輛車的2倍。則第一輛車是8點(diǎn) 分離開化肥廠的. 8、甲、乙兩個(gè)同學(xué)從A地到B地，甲步行的速度為每小時(shí)3千米，乙步行的速度為每小時(shí)5千米，兩人騎自行車的速度都是每小時(shí)15千米。現(xiàn)在甲先步行，乙先騎自行車，兩人同時(shí)出發(fā)。走了一段路程后，乙放下車步行，甲走到乙放車處改騎自行車，以后不斷交替行進(jìn)，兩人恰好同時(shí)

16、到達(dá)B地。甲走全程的平均速度是 千米/小時(shí)。(第六屆迎春杯初賽試題) 9、一船從重慶到上海要5晝夜，而從上海到重慶要7晝夜，那么有一木排從重慶順流漂到上海要 晝夜 10、一個(gè)六位數(shù)的4倍是，則這個(gè)六位數(shù)是 11、有四個(gè)正整數(shù)，其中任三個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和，分別等于29、23、21、19，則這四個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)是 12、一個(gè)兩位自然數(shù)等于它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和的3倍，則這樣的兩位自然數(shù)的個(gè)數(shù)是 解答題 13、一列客車的速度是60千米/時(shí)，一列貨車的速度是45千米/時(shí)，貨車比客車長13

17、5米，如果兩車在平行的軌道上同向行駛，客車從后面趕上貨車，它們交叉的時(shí)間是1分30秒，求各車的長度；如果這兩車在平行的軌道上相向行駛，它們交叉時(shí)需要多少時(shí)間？ 14、甲、乙兩人在一條長400米的環(huán)形跑道上跑步，若同向跑步每隔分鐘相遇一次，若反向跑步則每隔40秒相遇一次，求甲、乙兩人的速度(甲比乙跑得快)。 15、某人由甲地去乙地，如果他從甲地先騎摩托車行12小時(shí)，再換騎自行車行9小時(shí)，恰好到達(dá)乙地。如果他從甲地先騎自行車行21小時(shí)，再換騎摩托車行8小時(shí)，恰好也到達(dá)乙地。問：全程騎摩托車需要幾小時(shí)到達(dá)乙地？(第四屆華杯賽初賽試題) 16、快、中、慢三輛車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前

18、面的一個(gè)騎車人。這三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人。現(xiàn)在知道快車每小時(shí)走24千米，中車每小時(shí)走20千米，問慢車每小時(shí)走多少千米？(第一屆華杯賽決賽試題) 17、有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是8，并且這個(gè)兩位數(shù)除以十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的差，所得的商為11，余數(shù)為5，求這個(gè)兩位數(shù)。 18、一個(gè)十位數(shù)字為0的三位數(shù)，它恰好等于它的數(shù)字和的67倍；交換它的個(gè)位與百位數(shù)字后得到一個(gè)新的三位數(shù)，它恰好又是它的數(shù)字和的m倍,求m的值。 19、一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字，當(dāng)數(shù)字交換位置后所得的新的兩位數(shù)與原數(shù)之和大于70而小于90，求這樣的兩位數(shù)。 20、今有一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字均不相同，如將此三位數(shù)的各位數(shù)字重新排列，必得一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，且此兩數(shù)之差恰為原來的那個(gè)三位數(shù)，求原來的三位數(shù)。 6