初中數(shù)學(xué)題目改編 惠陽區(qū)良井中學(xué) 編者：張立鵬 一、原題是九年級下冊（人教版）P23探究1。 原題考查目標(biāo)：會運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，根據(jù)問題找等量關(guān)系求出函數(shù)解析式，再求出二次函數(shù)最值時(shí)的自變量的值 新題：某件衣服現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每個(gè)月可賣出300件。市場調(diào)查放映；如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每月要少賣10；每降價(jià)1元，每月可多賣出20件，已知這種衣服的進(jìn)價(jià)為每件40元，當(dāng)衣服的售價(jià)為x元，每月的銷售量為y件， （1） 寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍 （2） 要使利潤最大應(yīng)該漲價(jià)還是降價(jià)？如果漲價(jià)應(yīng)漲多少，降價(jià)應(yīng)降多少，怎么定價(jià)？ 考查目標(biāo)：本問題是一道較復(fù)雜的市場營銷問題，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，通過本問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會二次函數(shù)模型在同一個(gè)問題中的不同情況下是不同的，培養(yǎng)學(xué)生考慮問題的完善性，養(yǎng)成前面分析問題的良好習(xí)慣，提升解決問題的能力。 分析：（1）調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況。 （2）設(shè)每件漲價(jià)x元。則月售出商品的利潤y隨之變化。我們先來確定y隨x變化的函數(shù)式。漲價(jià)x元時(shí)，每月少賣10x件，實(shí)際賣出（300-10x）件，銷售額為(60+x)(300-10x)元，買進(jìn)商品需付40(300-10x)元。設(shè)每件降價(jià)X元，則每月可多賣20x件，實(shí)際賣出（300+20x）件。銷售額為（6-x）（300+20x）元，買進(jìn)商品需付40（300+20x）元。 答案： 解（1）當(dāng)漲價(jià)時(shí)：y=300-10(x-60)=900-10x，x>60 當(dāng)降價(jià)時(shí)：y=20(60-x)+300=1500-20x，40≤x≤60 （3分） （2） 設(shè)每件漲價(jià)x元，每月少賣10x件，實(shí)際賣出（300－10x）件。由題意可得 y =（60＋x）(300－10x) －40（300－10x），即 y = －10x2+100x+6000。（0≤x≤30.） 當(dāng)X=5 時(shí)，y最大=6250元。即售價(jià)為65元時(shí)，利潤最大。 （2分） 設(shè)每件降價(jià)x元，每月多賣20x件，實(shí)際賣出（300+20x）件， 由題意可得 y = ( 60－x )( 300+20x ) － 40 ( 300+20x )， 即y = －20x2+100x+6000 當(dāng)x=2.5時(shí)，即售價(jià)為57.5元時(shí)，利潤最大為6125元。 （2分） 新題的特點(diǎn)：本題的變化不大，知識添設(shè)了問題（1），難度適當(dāng)加大了，能更好培養(yǎng)學(xué)生考慮問題的完善性，養(yǎng)成前面分析問題的良好習(xí)慣，提升解決問題的能力。 二、原題是九年級上冊（人教版）P45探究1。 原題：有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？ 解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了X個(gè)人。依題意得 1+x+x（1+x）=121 解得x1=10，x2=-12（舍去） 答：平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人 原題考查目標(biāo)：本題考查用一元二次方程解決實(shí)際問題，從生活中的實(shí)際問題入手，探索和學(xué)習(xí)用一元二次方程解決傳染的問題，讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷“問題情境--建立模型--求解--解釋與應(yīng)用的過程”，獲得更多運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析、解決實(shí)際問題的方法和經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步掌握解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵。 改編題：某幼兒園有兩個(gè)小朋友患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有160人被傳染了。 （1） 每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人? （2） 若流感得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人數(shù)會不會超過1500人？ 考查目標(biāo)：本題考查用一元二次方程解決實(shí)際問題，從生活中的實(shí)際問題入手，探索和學(xué)習(xí)用一元二次方程解決傳染的問題，讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷“問題情境--建立模型--求解--解釋與應(yīng)用的過程”，獲得更多運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析、解決實(shí)際問題的方法和經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步掌握解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵。 分析：開始有兩個(gè)人患了流感,第一輪的傳染源就是這兩個(gè)個(gè)人,他們分別傳染了x個(gè)人,用代數(shù)式表示,第一輪后共有_____人患了流感;第二輪傳染中,這些人中的每個(gè)人又傳染了x個(gè)人, 用代數(shù)式表示,第二輪后共有____________人患了流感. 答案： 解：（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人.由題意得 2(1+x)=160+2 （2分） (1+x)=81 1+x=9 x1=-10（舍去），x2=8 所以每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了8個(gè)人 （2分） （2）由（1）可知道經(jīng)過兩輪傳染后有162患流感，所以三輪后有 162+1628=1458<1500所以不會超過1500人 （3分） 改編題的特點(diǎn)：新題的難度比原題有所加大，探索的空間比較廣闊，使學(xué)生在學(xué)習(xí)原題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加深學(xué)習(xí)已有的知識分析題目，鼓勵(lì)學(xué)生大膽的質(zhì)疑和創(chuàng)新，從不同的角度去思考問題。 3、 原題是八年級下冊（人教版）P108例題2 原題：如圖，梯形ABCD中。BC//AD,DE//AB,DE=DC,∠A=100,求梯形其它三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。 設(shè)計(jì)的意圖：梯形問題的化歸方向；掌握等腰梯形的應(yīng)用方法 解：∵ BC∥AD，DE∥AB ∴四邊形ABED是平行四邊形 ∴AB=DE 又DE=DC ∴AB=DC 梯形ABCD是等腰梯形 E ∴∠C=∠B=180-∠A=80 ∠DAC=∠A=100 A B C D 改編題： 已知，如圖所示的等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC A B C D E 于E，求DE的長. 考查目標(biāo)：本題可通過平移腰AC，使得AD+BC的值 在同一直線上，再根據(jù)等腰三角形的三線合一來解決， 還有平行四邊形的判定方法 F 解：過點(diǎn)D做DF ∥AC交BC的延長線于點(diǎn)F ∵ AD∥BC ， ∴四邊形ACDF是平行四邊形 （2分） ∴AC=DF， BF=BC+CF=AD+BC=10 ∵ AC⊥BD， ∴ DF⊥BD ∴ △BDF是等腰直角三角形 （3分） ∵ DE⊥BC ∴DE=BE=EF=5 （2分） 新題的特點(diǎn)：等腰梯形與平行四邊形的知識相結(jié)合,比原題增加了難度。 4、 九年級上冊（人教版），P102第五題 原題：如圖,PA、PB是圓O的切線,A、B為切點(diǎn),AC是圓O的直徑,∠BAC=25,求∠P的度數(shù) 考查目標(biāo)：切線性質(zhì)的運(yùn)用，圓心角性質(zhì)定理 解 ∵∠COB=2∠BAC=50 ∴∠AOB=180-∠COB=130 ∵OA⊥PA,OB⊥PB ∴∠P=360-∠PAO-∠PBO-∠AOB=50 新題：如圖，在⊙O中D點(diǎn)A、O、B在同一條直線上，OB⊥CB,OC//AD，OA＝。 （1）求證：CD=BC （2）求的值； （3）若AD＋OC＝，求CD的長。 考查目標(biāo)：切線的性質(zhì)定理的運(yùn)用，三角形相似，線段成比例相關(guān)內(nèi)容，綜合考查學(xué)生的綜合能力。 證明：（1） 連接OD， ∵OC//AD , ∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC ∴∠DOC=∠BOC, ∵DO=BO,CO=CO ∴⊿CDO≌⊿CBO(SAS), ∴∠CDO=∠CBO=90 即DC是⊙O的切線。 ∵OB⊥CB 即BC為⊙O的切線 CD=BC （3分） （2）連結(jié)BD ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝900 ∵∠OBC＝900，∴∠ADB＝∠OBC 又∠A＝∠3，∴△ADB∽△OBC ∴ ∴ （3分） （3）由（2）知，又知AD＋OC＝ ∴AD、OC是關(guān)于的方程的兩根 解此方程得， ∵OC＞，∴OC＝ ∴CD＝ （3分） 本題的特點(diǎn)：此題把三角形全等的判定、切線的性質(zhì)、三角形相似、一元二次方程結(jié)合一起考查，考查學(xué)生的綜合能力。 5