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1、2017年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題練習(xí)《特殊四邊形》
一.選擇題
1.如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊三角形ADE. AC,BE相交于點(diǎn)F,則∠BFC為( )
A.45° B.55° C.60° D.75°
2.下列關(guān)于矩形的說(shuō)法中正確的是( ?。?
A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形
B.矩形的對(duì)角線相等且互相平分
C.對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形
D.矩形的對(duì)角線互相垂直且平分
3.下列命題中,真命題是( )
A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形
B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
C.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D.對(duì)角
2、線互相垂直平分的四邊形是正方形
4.如圖,對(duì)折矩形紙片ABCD,使AB與DC重合得到折痕EF,將紙片展平;再一次折疊,使點(diǎn)D落到EF上點(diǎn)G處,并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,展平紙片后∠DAG的大小為( ?。?
A.30° B.45° C.60° D.75°
5.(2016·四川瀘州)如圖,矩形ABCD的邊長(zhǎng)AD=3,AB=2,E為AB的中點(diǎn),F(xiàn)在邊BC上,且BF=2FC,AF分別與DE、DB相交于點(diǎn)M,N,則MN的長(zhǎng)為( )
A. B. C. D.
6.如圖,在矩形ABCD中(AD>AB),點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),且DE=DA,AF⊥DE,垂足為點(diǎn)F,在下列結(jié)論中,不一定正確的是( ?。?/p>
3、
A.△AFD≌△DCE B.AF=AD C.AB=AF D.BE=AD﹣DF
二.填空題
7. (2016·內(nèi)蒙古包頭)如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD,垂足為點(diǎn)E,若∠EAC=2∠CAD,則∠BAE= 度.
8. 如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn),若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,則P、D(P、D兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為 ?。?
9. 如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為
4、 .
10. 如圖,矩形ABCD中,AD=5,AB=7. 點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把△ADE沿AE折疊,當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'落在∠ABC的角平分線上時(shí),DE的長(zhǎng)為 .
11. 如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,在AB、BC、CD、DA邊上分別取點(diǎn)A1、B1、C1、D1,使AA1=BB1=CC1=DD1=a,在邊A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分別取點(diǎn)A2、B2、C2、D2,使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2,….依次規(guī)律繼續(xù)下去,則正方形AnBnCnDn的面積為 .
三.解答題
12.已知:如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊CD上,
5、AQ⊥BE于點(diǎn)Q,DP⊥AQ于點(diǎn)P.
(1)求證:AP=BQ;
(2)在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中四對(duì)線段,使每對(duì)中較長(zhǎng)線段與較短線段長(zhǎng)度的差等于PQ的長(zhǎng).
13.已知四邊形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的兩邊分別與射線CB,DC相交于點(diǎn)E,F(xiàn),且∠EAF=60°.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí),直接寫(xiě)出線段AE,EF,AF之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與B、C重合),求證:BE=CF;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且∠EAB=15°時(shí),求點(diǎn)F到BC的距離.
14.如圖,
6、在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),以AB為直徑作⊙O分別交AC,BM于點(diǎn)D,E.
(1)求證:MD=ME;
(2)填空:
①若AB=6,當(dāng)AD=2DM時(shí),DE= ?。?
②連接OD,OE,當(dāng)∠A的度數(shù)為 時(shí),四邊形ODME是菱形.
15.(2016·陜西)問(wèn)題提出
(1)如圖①,已知△ABC,請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)的三角形.
問(wèn)題探究
(2)如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H,使得四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小?若存在,求出它周長(zhǎng)的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
問(wèn)題解決
(3
7、)如圖③,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,現(xiàn)想從此板材中裁出一個(gè)面積盡可能大的四邊形EFGH部件,使∠EFG=90°,EF=FG=米,∠EHG=45°,經(jīng)研究,只有當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上,且AF<BF,并滿(mǎn)足點(diǎn)H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí),才有可能裁出符合要求的部件,試問(wèn)能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件?若能,求出裁得的四邊形EFGH部件的面積;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
7. 22.5°8. 2﹣2 9. (4,4)10. 或.11.
12. 解:(1)∵正方形ABCD
∴AD=BA,∠BAD=90°,即∠BAQ+∠
8、DAP=90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP=90°
∴∠BAQ=∠ADP
∵AQ⊥BE于點(diǎn)Q,DP⊥AQ于點(diǎn)P
∴∠AQB=∠DPA=90°
∴△AQB≌△DPA(AAS)
∴AP=BQ
(2)①AQ﹣AP=PQ
②AQ﹣BQ=PQ
③DP﹣AP=PQ
④DP﹣BQ=PQ
13. (1)解:結(jié)論AE=EF=AF.
理由:如圖1中,連接AC,
∵四邊形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等邊三角形,
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC,
∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC
9、,
∵∠EAF=60°,
∴∠CAF=∠DAF=30°,
∴AF⊥CD,
∴AE=AF(菱形的高相等),
∴△AEF是等邊三角形,
∴AE=EF=AF.
(2)證明:如圖2中,∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAE,
在△BAE和△CAF中,
,
∴△BAE≌△CAF,
∴BE=CF.
(3)解:過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H,
∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,
∴∠AEB=45°,
在RT△AGB中,∵∠ABC=60°AB=4,
∴BG=2,AG=2,
在RT△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴AG=GE
10、=2,
14. (1)證明:∵∠ABC=90°,AM=MC,
∴BM=AM=MC,
∴∠A=∠ABM,
∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠ADE+∠ABE=180°,
又∠ADE+∠MDE=180°,
∴∠MDE=∠MBA,
同理證明:∠MED=∠A,
∴∠MDE=∠MED,
∴MD=ME.
(2)①由(1)可知,∠A=∠MDE,
∴DE∥AB,
∴=,
∵AD=2DM,
∴DM:MA=1:3,
∴DE=AB=×6=2.
故答案為2.
②當(dāng)∠A=60°時(shí),四邊形ODME是菱形.
理由:連接OD、OE,
∵OA=OD,∠A=60°,
∴△AOD是等邊
11、三角形,
∴∠AOD=60°,
∵DE∥AB,
∴∠ODE=∠AOD=60°,∠MDE=∠MED=∠A=60°,
∴△ODE,△DEM都是等邊三角形,
∴OD=OE=EM=DM,
∴四邊形OEMD是菱形.
故答案為60°.
15. 解:(1)如圖1,△ADC即為所求;
(2)存在,理由:作E關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′,
作F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′,
連接E′F′,交BC于G,交CD于H,連接FG,EH,
則F′G=FG,E′H=EH,則此時(shí)四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小,
由題意得:BF′=BF=AF=2,DE′=DE=2,∠A=90°,
∴AF′=6,AE′=8,
∴E′F′
12、=10,EF=2,
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10,
∴在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H,
使得四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小,
最小值為2+10;
(3)能裁得,
理由:∵EF=FG=,∠A=∠B=90°,∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°,
∴∠1=∠2,
在△AEF與△BGF中,,
∴△AEF≌△BGF,
∴AF=BG,AE=BF,設(shè)AF=x,則AE=BF=3﹣x,
∴x2+(3﹣x)2=()2,解得:x=1,x=2(不合題意,舍去),
∴AF=BG=1,BF=AE=2,
∴DE=4,CG=5,
連接EG,
作△EFG關(guān)于EG的對(duì)稱(chēng)△EOG,
則四邊形EFGO是正方形,∠EOG=90°,
以O(shè)為圓心,以EG為半徑作⊙O,
則∠EHG=45°的點(diǎn)在⊙O上,
連接FO,并延長(zhǎng)交⊙O于H′,則H′在EG的垂直平分線上,
連接EH′GH′,則∠EH′G=45°,
此時(shí),四邊形EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的,
∴C在線段EG的垂直平分線設(shè),
∴點(diǎn)F,O,H′,C在一條直線上,
∵EG=,