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1、數(shù)列綜合問題 一、教材分析: Ⅰ、地位與作用 數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，是學習高等數(shù)學的基礎，在高考中占有重要的 地位. 考綱要求:“理解數(shù)列的概念, 了解通項公式的意義, 了解遞推公式, 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式, 并能解決簡單的問題.” 教材中數(shù)列編排在函數(shù)內(nèi)容之后, 因為數(shù)列是以正整數(shù)為自變量的一種特殊函數(shù), 這樣安排既有利于認識數(shù)列的本質(zhì), 也有利于加深和鞏固對函數(shù)概念的理解. 數(shù)列綜合問題以數(shù)列為引線和依托, 結合函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識, 題型新穎, 解法靈活, 能有效地考查學生的思維能力、創(chuàng)新意識和實踐能力. Ⅱ、重點、難點與關鍵 根

2、據(jù)高考《考試說明》的要求，結合對歷屆高考試題的分析, 本節(jié)內(nèi)容的教學重點是: 利用數(shù)列的通項公式與前項和等有關知識為主要工具求解數(shù)列綜合問題. 而與數(shù)列交匯的、呈現(xiàn)遞推關系的綜合性試題, 特別是與不等式的綜合是教學的難點. 從教學實踐來看, 學生對數(shù)列綜合題存在畏難情緒, 總覺得難以掌握, 因此教學的關鍵是運用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化成簡單的、熟悉的問題來求解, 同時注意培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì), 特別是排除萬難的精神. 二、高考回顧 “在知識的交匯點設置能力型問題”是指導高考命題的思想之一. 數(shù)列是高中數(shù)學知識結構的一個重要的交匯點. 數(shù)列綜合題在每年高考中都會重點考查. 下面列表對近兩

3、年高考試題作分類統(tǒng)計, 統(tǒng)計如下表: 2004年 2005年 全國1 分奇、偶項的遞推數(shù)列的通項 等比數(shù)列的公比與前項和 全國2 通項與前項和、等比數(shù)列的判定 等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合 全國3 數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明 等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合 全國4 導數(shù)、數(shù)列求和與數(shù)列極限 ——————————— 北京 抽象函數(shù)、數(shù)列通項與極限 等比數(shù)列的判定、數(shù)列極限 上海 點列、等差數(shù)列、探索性問題 涉及兩個數(shù)列的應用性問題 天津 函數(shù)迭代、數(shù)列的通項與極限 數(shù)列的求和、數(shù)列的極限 重慶 數(shù)列不等

4、式、數(shù)列項大小比較 數(shù)學歸納法、數(shù)列不等式 遼寧 函數(shù)迭代中的數(shù)列不等式 函數(shù)迭代、數(shù)列不等式證明 山東 同全國卷1 導數(shù)、等比數(shù)列的判定 江蘇 數(shù)列前項的和、探索性問題 數(shù)列不等式的證明 浙江 點列問題、等比數(shù)列的判定 點列問題、等差數(shù)列的判定 福建 涉及兩個數(shù)列的應用性問題 遞推公式、數(shù)列不等式 湖北 遞推數(shù)列的極限、數(shù)列不等式 數(shù)列不等式的證明、數(shù)列極限 湖南 解析幾何、遞推數(shù)列的綜合 應用探索性問題、數(shù)列不等式 廣東 三角函數(shù)中的等比數(shù)列問題 無 江西 同全國卷1 數(shù)列通項、數(shù)列不等式的

5、證明 從上表可以看出, 2004年的15份理科試題中, 每套試題均有一道解答題. 其中處在壓卷題位置的有8道; 2005年的16份理科試題中, 除廣東卷外每套試題均有一套解答題, 其中處在壓卷題位置的有5道. 由此不難得知, 數(shù)列解答題是高考命題必考的難度大的內(nèi)容, 其命題熱點是與不等式交匯的、呈現(xiàn)遞推關系的綜合性試題, 其中, 以函數(shù)迭代、解析幾何中曲線上的點列為命題載體, 有著高等數(shù)學背景的數(shù)列解答題是未來高考命題的一個新的亮點. 三、數(shù)列綜合問題類型及求解策略 由于數(shù)列綜合問題形式多變、思考性強、區(qū)分度高, 因此大多數(shù)同學解此類問題時思維常常受阻, 甚至無從下手, 下面我結合近幾年

6、的高考題, 就數(shù)列綜合問題類型及解題策略作一點探討: 1、數(shù)列各部分知識的綜合 例1. 已知數(shù)列為等差數(shù)列(公差), 中的部分項組成的數(shù)列 為等比數(shù)列, 其中, 求的值. 解析: 由題意得, 即, ∴ ∵ ∴ . 在等比數(shù)列中, 公比 又 ∴ 又是等差數(shù)列的第項, ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ = [求解策略] 解純數(shù)列綜合題, 要充分利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關性質(zhì)求解.本題的關鍵是注意到的雙重身份——既是等比數(shù)列的第項, 又是等差數(shù)列的第項, 先求出通項, 再求出其前項的和. 2、數(shù)列與函數(shù)的綜合 例2. 已知函數(shù)是定義

7、在R上的不恒為零的函數(shù), 且對于任意的, 都滿足 若.求證: 數(shù)列是等比數(shù)列. 分析一: 由于已知條件只有抽象函數(shù)關系式和的表達式, 要求證數(shù)列是等比數(shù)列, 最關鍵是求出, 可以嘗試數(shù)學歸納法. 證法一: 由已知可得: 猜想: 用數(shù)學歸納法證明(略). 分析二: 將所給函數(shù)關系式適當變形, 根據(jù)其形式特點構造另一個函數(shù), 設法用此函數(shù)求出. 證法二: 當時, 由可得: , 令 上式為: 分析三: 設法將轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列. 證法三: 所以, 即是公差為 首項為的等差數(shù)列. [求解策略] 解數(shù)列與函數(shù)的綜合題, 一般要利用函數(shù)、數(shù)列的性質(zhì)以及它們之間的相互聯(lián)系. 本

8、題是一道已知抽象函數(shù)關系, 利用函數(shù)迭代求證數(shù)列是等比數(shù)列的問題. 所提供的三種證法中, 證法一思路自然, 但較為繁瑣; 證法二技巧性強; 證法三思維跨度大, 但三種證法都體現(xiàn)了一個不變的事實: 充分應用已知條件變形轉(zhuǎn)化, 根據(jù)其形式特點構造新的數(shù)列, 然后利用數(shù)列的性質(zhì)求解. 3、數(shù)列與不等式的綜合 例3. (2004年重慶卷)設數(shù)列滿足 對一切正整數(shù)成立； (1) 法一: (數(shù)學歸納法) ①當時, 不等式成立. ②假設時, 成立. 當時, 即時, 成立. 綜上, 可知對一切正整數(shù)成立. 法二: (數(shù)學歸納法) ①當時, 不等式成立. ②假設時, 成立.

9、 當時, 由函數(shù)的單調(diào)性和歸納假設有 . 因此只需證: , 即證 只需, 顯然成立. 即時, 結論成立. 因此, 對一切正整數(shù)成立. 法三: 由遞推公式得, , , 將上述各式相加并化簡得 () 又時, 顯然成立. 所以對一切正整數(shù)成立. (2)解法一: 解法二: ∴ 又 ∴ [求解策略] 證明數(shù)列不等式問題, 一般可采用數(shù)學歸納法、分析法、綜合法、比較法、放縮法等方法來證明. 有時要綜合使用其中的幾種方法. (1) 中的證法一、證法二都利用了數(shù)學歸納法, 證法一、證法三都將目標定為證 明, 去掉了根式, 利用放縮法得證; 證

10、法二, 看到遞推關系與函數(shù)的關系, 利用函數(shù)單調(diào)性和分析法得證. 證法三利用迭加法, 變更了遞推關系, 這是對遞推公式常用的變形方式之一. (2)中利用比較法, 方法一是作商法, 方法二并不是直接作差, 而是利用平方差, 消除了根式, 簡化了運算, 在不等式的證明中, 觀察式子的結構特征合理地進行放縮, 是成功的關鍵. 4、數(shù)列與解析幾何的綜合 例4.(2004浙江)如圖, △的三個頂點坐標分別為(0,0)、(1,0)、(0,2),設為線段的中點,為線段的中點,為線段的中點,對于每一個正整數(shù),為線段的中點,令的坐標為,. (1) 求 (2)證明 (3)若記 證明是等比數(shù)列. 解析:

11、 (1)∵ ∴ 又由題意可知 ∴ ∴ 為常數(shù)列. 即 (2) 將等式兩邊除以2, 得 又 ∴ (3)∵ 又 ∴ 是公比為的等比數(shù)列. [求解策略] 數(shù)列與解析幾何的綜合題以坐標為載體, 以數(shù)列為主體內(nèi)容將解析幾何、平面幾何與數(shù)列的相關知識聯(lián)系在一起.該類問題往往以曲線上的點的無限運動為背景, 解決問題的關鍵是尋求點的坐標間的相互聯(lián)系, 得到遞推關系, 再運用數(shù)列知識進行求解. 5、數(shù)列應用問題 (2001年全國卷)從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā), 某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設, 并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃, 本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減

12、少,本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元, 由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用, 預計今后的旅游業(yè)每年會比上年增加 (1) 設年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元, 旅游總收入為萬元, 寫出 的通項公式; (2) 至少經(jīng)過幾年, 旅游業(yè)的總收入才能超過總投入? 解析: (1)第1年投入800萬元, 第2年投入800萬元,…,第年投入 萬元，所以年內(nèi)的總投入為 旅游業(yè)第1年收入400萬元, 第2年收入400(1+)萬元,…,第年收入 萬元, 所以年內(nèi)的總收入為 (3) 設至少經(jīng)過年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入, 由 即 化簡得 設代入, 得 解得

13、(舍), 即, 即 從而至少經(jīng)過5年旅游業(yè)總收入才能超過總投入. [求解策略] 解數(shù)列應用題的關鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題(等差、等比數(shù)列、遞推關系模型), 然后利用相關知識求解. 解題時首先要讀懂題目, 理解題意, 對陌生的背景、文字敘述比較長的題目, 要充滿信心, 從問題中盡可能多地獲取信息, 大膽聯(lián)想, 合理轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題. 總之, 數(shù)列綜合題常常是數(shù)列與函數(shù)、不等式、幾何等知識點的交匯, 因此要加強數(shù)學知識的綜合運用, 要有意識的運用函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想來探求解題思路，同時要鼓勵合理的猜想、要重視數(shù)學歸納法的運用. 四、教法分析 新的課程標準指出,

14、教學過程也是學生的認識過程, 學生在教學活動中始終處于主體地位, 教師則應成為學習活動的促進者, 而非單純的知識傳授者, 其基本任務也就在于促進和增強學生的數(shù)學學習過程. 根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點和學生的認知規(guī)律, 我采用: 問題探究式、啟發(fā)發(fā)現(xiàn)式等方法進行教學, 同時采用討論式組織課堂教學. 在教學中我都是先提出問題, 讓學生觀察分析、自主探索、歸納總結, 從而真正使學生養(yǎng)成獨立思考, 仔細觀察, 認真分析, 嚴謹推理的學習習慣, 并提高他們的自學能力與探索意識.同時鼓勵學生相互交流，從而促使學生真正成為自覺投入且積極建構的學習活動中的主體. 五、評價分析 本節(jié)內(nèi)容的設計從教學內(nèi)容的引入、展開

15、、揭示等方面出發(fā), 教給學生探求知識的方法, 教會學生應用所學知識解決問題的能力. 本節(jié)教學設計以發(fā)展學生的思維能力為中心, 以轉(zhuǎn)化為主線, 注重展示學生的思維過程, 注重讓學生參與知識的形成過程, 由特殊到一般, 由易到難, 一環(huán)扣一環(huán), 從而增強他們學好數(shù)學的信心. 同時以問題為載體, 讓學生經(jīng)歷主動參與, 積極探求的過程, 讓學生觀察、歸納、總結、反思,因而有效的實現(xiàn)了教學目標,發(fā)展了學生的能力. 六、教學過程設計 本節(jié)內(nèi)容共分兩個課時, 數(shù)列各部分知識、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合為第一課時, 數(shù)列與解析幾何的綜合和數(shù)列的應用題為第二課時. 第一課時共分五個環(huán)節(jié), 具體安排如下

16、: [復習回顧] 教師開門見山點出主題, 并引導學生回顧數(shù)列的有關性質(zhì). [課前熱身] 教師給出三個小題, 讓學生先練習, 教師進行行間巡視, 個別輔導, 然后請學生回答, 教師再作補充. [范例分析] 將復習目標題型化, 通過三個典型例題, 讓學生在具體問題中理解知識, 掌握方法, 這樣能使學生理解更加具體、深刻. 該環(huán)節(jié)先讓學生獨立思考、自主練習, 然后教師采用“焦點訪談”式的教學, 在焦點(難點、疑點、迷點、易錯點)啟發(fā)學生尋找突破口, 通過訪談(請同學回答), 集中學生的智慧,讓學生的思維在關鍵處閃光, 能力在要害處增長, 缺點在細微處暴露, 意志在艱難處磨礪. 通過訪談, 實現(xiàn)

17、師生之間、學生之間智慧和能力互補, 并促進心靈和感情的溝通. [歸納總結] 提煉本節(jié)課的要點, 歸納主要涉及的數(shù)學思想方法、技巧、規(guī)律. 這一環(huán)節(jié)先讓學生回答, 然后教師適當補充、完善. [鞏固練習] 本節(jié)課共布置練習六個, 其中最后兩題為選作題(為第二節(jié)課作鋪墊). 以上是我的想法, 不足之處, 敬請各位專家批評指正. 七、附：教案 數(shù)列綜合問題（第一課時） 教學目標： 1、 知識目標: 進一步鞏固數(shù)列有關知識, 構建數(shù)列、函數(shù)、不等式交互知識體系,探索數(shù)列綜合問題的求解策略. 2、 能力目標: 以發(fā)展思維能力為核心, 培養(yǎng)學生觀察

18、、分析、歸納、概括等能力,培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力. 3、 情感目標: 激發(fā)學生勤于思考、勇于探索的精神, 培養(yǎng)學生戰(zhàn)勝難題的信心. 重點、難點: 重點: 數(shù)列知識的綜合應用. 難點: 以數(shù)列為工具解決與函數(shù)、不等式的綜合問題. 教學過程: (一) [課題引入] 開門見山提出課題 (二) [知識回顧] 引導學生復習回顧數(shù)列的有關性質(zhì) (三) [課前熱身] (投影) 1.(2005年天津卷) 在數(shù)列中, , 則S100= . 2. (2005年湖南卷)已知數(shù)列滿足, 則=( ) A. 0 B. C. D. 3. 已知數(shù)

19、列中,,則在前30項中最大項和最小項分別是( ) A. B. C. D. 由學生練習, 教師請學生分析, 再作補充. (四) [范例分析] (投影) 例1. 已知數(shù)列為等差數(shù)列(公差), 中的部分項組成的數(shù)列 為等比數(shù)列, 其中, 求的值. 解析: 由題意得, 即, ∴ ∵ ∴ . 在等比數(shù)列中, 公比 又 ∴ 又是等差數(shù)列的第項, ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ = 師生共同歸納小結: 例2. 已知函數(shù)是定義在R上的不恒為零的函數(shù), 且對于任意的, 都滿足 若.求證: 數(shù)列是等比數(shù)列. 分析一: 由

20、于已知條件只有函數(shù)關系式和的表達式, 要求證數(shù)列是等比數(shù)列, 最關鍵是求出, 可以嘗試數(shù)學歸納法. 證法一: 由已知可得: 猜想: 用數(shù)學歸納法證明(略). 分析二: 將所給函數(shù)關系式適當變形, 根據(jù)其形式特點構造另一個函數(shù), 設法用此函數(shù)求出. 證法二: 當時, 由可得: , 令 上式為: 分析三: 設法將轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列. 證法三: 所以, 即是公差為 首項為的等差數(shù)列. 師生共同歸納小結: 例3. (2004年重慶卷)設數(shù)列滿足 對一切正整數(shù)成立； 并說明理由. (2) 法一: (數(shù)學歸納法) ①當時, 不等式成立. ②假設時, 成立.

21、 當時, 即時, 成立. 綜上, 可知對一切正整數(shù)成立. 法二: (數(shù)學歸納法) ①當時, 不等式成立. ②假設時, 成立. 當時, 由函數(shù)的單調(diào)性和歸納假設有 . 因此只需證: , 即證 只需, 顯然成立. 即時, 結論成立. 因此, 對一切正整數(shù)成立. 法三: 由遞推公式得, , , 將上述各式相加并化簡得 () 又時, 顯然成立. 所以對一切正整數(shù)成立. (2)解法一: . 由, 故 解法二: ∴ 又 ∴ 師生共同歸納小結: (五) 歸納小結: 讓學生小結本節(jié)內(nèi)容, 教師適當補充完善. (六)鞏固練

22、習: 一、選擇題: 1. 設函數(shù), 利用課本中推導等差數(shù)列前項和的方法, 可求得的值為 . 2. 設△ABC的三邊成等差數(shù)列, 則角B的取值范圍是 . 3. (2004年遼寧卷) 已知函數(shù)的最大值不大于, 又當時, (1)求的值; (2) 設 4. (2005年山東卷) 已知數(shù)列的首項, 前項和為 (1) 證明數(shù)列是等比數(shù)列; (2) 令, 求函數(shù)在點處的導數(shù), 并比較與的大小. 5．（2004浙江)如圖, △的三個頂點坐標分別為(0,0)、(1,0)、(0,2),設為線段的中點,為線段的中點,為線段的中點,對于每一個正整數(shù),為線段的中點,令的坐標為,. (1)求 (2)證明 (3)若記 證明是等比數(shù)列. 6．(2001年全國卷)從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā), 某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設, 并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃, 本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少,本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元, 由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用, 預計今后的旅游業(yè)每年會比上年增加 (1)設年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元, 旅游總收入為萬元, 寫出 的通項公式; (2)至少經(jīng)過幾年, 旅游業(yè)的總收入才能超過總收入? 18