射影面積法求二面角
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射影面積法() 凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式(cos)求出二面角的大小。 例1、 如圖,在底面是一直角梯形的四棱錐S-ABCD中, AD∥BC,∠ABC=90,SA⊥平面ABC,SA=AB=BC=1, AD= .求面SCD與面SAB所成的角的大小。 圖1 S D C B A 解法1:可用射影面積法來求, 這里只要求出S△SCD與S△SAB即可, 故所求的二面角θ應(yīng)滿足= == 。 例2.(2008北京理)如圖,在三棱錐中, ,, ,. (Ⅰ)求證:; (Ⅱ)求二面角的大??; A C B P 解:(Ⅰ)證略 (Ⅱ),,. A C B E P 又,. 又,即,且, 平面. 取中點(diǎn).連結(jié). ,. 是在平面內(nèi)的射影, . ∴△ACE是△ABE在平面ACP內(nèi)的射影, 于是可求得:,,則, 設(shè)二面角的大小為,則 ∴二面角的大小為 練習(xí)1: 如圖5,E為正方體ABCD-A1B1C1D1的 棱CC1的中點(diǎn),求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成 銳角的余弦值. (答案:所求二面角的余弦值為cosθ=). A1 D1 B1 C1 E D B C A 圖5 2. 如圖一,在四棱錐中,底面是矩形,平面,,,分別是的中點(diǎn). (1)證明:平面;(2)求平面與平面夾角的大小. 題(1)解略;題(2)中平面與平面夾角即為平面與平面所成的銳二面角. 方法一:垂面法 在圖中找到或作出一個(gè)與二面角的兩個(gè)半平面均垂直的平面,此平面截得的圖形便是二面角的平面角. 如圖一:平面,平面,. 又,平面. 又平面,平面平面. 由題(1),平面,平面,平面平面. 所以是所求二面角的平面角. , 即平面與平面夾角為. 方法二:平移平面法 如果兩平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ).利用此結(jié)論可以平移某一平面到合適的位置以便作出二面角的平面角. 如圖二:取的中點(diǎn),連接. 分別是的中點(diǎn),. 又, 平面平面. 二面角的大小就是平面與平面夾角的大小. 可以證明為二面角的平面角,并求出其大小為. 方法三:射影法 利用公式,其中表示二面角的一個(gè)半平面內(nèi)某個(gè)多邊形的面積,表示此多邊形在另一個(gè)半平面射影的面積,表示原圖形與射影圖形所成的二面角. 如圖三:取的中點(diǎn),連接, 為中點(diǎn), . 由解法一知,平面, 平面,平面, 點(diǎn)、在平面內(nèi)的射影分別為、. 在平面上的射影為. 可以證明和均為直角三角形. , 四邊形為平行四邊形,. 記平面與平面夾角為,則, 所以,即平面與平面夾角為. 3.已知是正三角形,平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。 E P C B A F [思維]二面角的大小是由二面角的平面角 來度量的,本題可利用三垂線定理(逆)來作 平面角,還可以用射影面積公式或異面直線上兩點(diǎn) 間距離公式求二面角的平面角。 解1:(三垂線定理法) 取AC的中點(diǎn)E,連接BE,過E做EFPC,連接BF 平面ABC,PA平面PAC 平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC 圖1 BE平面PAC 由三垂線定理知BFPC 為二面角A-PC-B的平面角 設(shè)PA=1,E為AC的中點(diǎn),BE=,EF= tan= =argtan 解2:(三垂線定理法) P C B A E F M 取BC的中點(diǎn)E,連接AE,PE過A做AFPE, FMPC,連接FM AB=AC,PB=PC AEBC,PEBC BC平面PAE,BC平面PBC 圖2 平面PAE平面PBC, 平面PAE平面PBC=PE 由三垂線定理知AMPC 為二面角A-PC-B的平面角 設(shè)PA=1,AM=,AF= sin= P C B A E =argsin 解3:(投影法) 過B作BEAC于E,連結(jié)PE 平面ABC,PA平面PAC 圖3 平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC BE平面PAC 是在平面PAC上的射影 設(shè)PA=1,則PB=PC=,AB=1 , 由射影面積公式得,, 4.在單位正方體中, 求二面角的度數(shù)。 一、 三垂線法 利用三垂線定理或逆定理構(gòu)造出二面 角的平面角,進(jìn)而求解。 解法一. 作取的中點(diǎn), 連結(jié). 由三垂線逆定理知 為所求二面角的平面角 在中 二.射影法 利用斜面面積和射影面積的關(guān)系: (為斜面與射影所成二面角的平面角)直接求解。 解法二、取的中點(diǎn),連結(jié) 在平面上的射影為 由 從而二面角的大小為- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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