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1、專題強化一 運動學圖象 追及相遇問題
專題解讀 1.本專題是勻變速直線運動規(guī)律和運動學圖象的綜合應用,為高考必考內(nèi)容,多以選擇題形式命題.
2.學好本專題,可以提高同學們通過畫運動情景示意圖和v-t圖象分析和解決運動學問題的能力.
3.用到的知識有:x-t圖象和v-t圖象的理解,勻變速直線運動的規(guī)律,臨界條件的確定,極值思想等數(shù)學方法.
一、運動學圖象
1.直線運動的x-t圖象
(1)圖象的物理意義
反映了做直線運動的物體的位移隨時間變化的規(guī)律.
(2)圖線斜率的意義
①圖線上某點切線的斜率大小表示物體速度的大小
②圖線上某點切線的斜率正負表示物體速度的方向.
(3)交點
2、
兩圖線交點,表示兩物體相遇.
2.直線運動的v-t圖象
(1)圖象的物理意義
反映了做直線運動的物體的速度隨時間變化的規(guī)律.
(2)圖線斜率的意義
①圖線上某點切線的斜率大小表示物體加速度的大小.
②圖線上某點切線的斜率正負表示加速度的方向.
(3)兩種特殊的v-t圖象
①勻速直線運動的v-t圖象是與橫軸平行的直線.
②勻變速直線運動的v-t圖象是一條傾斜的直線.
(4)圖象與時間軸圍成的面積的意義(如圖1)
圖1
①圖象與時間軸圍成的面積表示位移.
②若此面積在時間軸的上方,表示這段時間內(nèi)的位移方向為正;若此面積在時間軸的下方,表示這段時間內(nèi)的位移方向為負.
3、(5)交點
兩圖線交點表示此時兩物體速度相同.
自測1 甲、乙兩物體從同一點出發(fā)且在同一條直線上運動,它們的位移—時間(x-t)圖象如圖2所示,由圖象可以看出在0~4 s內(nèi)( )
圖2
A.甲、乙兩物體始終同向運動
B.第4 s末時,甲、乙兩物體間的距離最大
C.甲的平均速度等于乙的平均速度
D.乙物體一直做勻加速直線運動
答案 C
解析 由題圖可知在0~2 s內(nèi),甲、乙同向運動,在2~4 s內(nèi)兩者反向運動,選項A錯誤;第4 s末兩物體相遇,兩物體間的距離不是最大,選項B錯誤;由題圖知在0~4 s內(nèi),甲、乙的位移都是2 m,故平均速度相等,選項C正確;根據(jù)圖線斜率的絕對值等
4、于速度的大小,可知乙物體一直做勻速直線運動,選項D錯誤.
自測2 如圖3所示,為某物體做直線運動的v-t圖象,由此可知( )
圖3
A.前1 s物體的位移大小為1 m
B.前2 s末物體的瞬時速度大小為2 m/s
C.前3 s內(nèi)物體的加速度大小為3 m/s
D.前3 s物體做勻變速直線運動
答案 A
解析 在v-t圖象中,相應圖線與時間軸所圍的面積表示位移,由題圖知,前1 s內(nèi)物體的位移大小x=×1×2 m=1 m,選項A正確;在1~3 s內(nèi)由題圖得,物體的加速度a===-1 m/s,第2 s末物體的瞬時速度v=v0+at=2 m/s-1 m/s2×1 s=1 m/s,選項
5、B、C錯誤;第1 s內(nèi)物體做勻加速直線運動,1~3 s內(nèi)物體做勻減速直線運動,選項D錯誤.
二、追及與相遇問題
1.概述
當兩個物體在同一條直線上運動時,由于兩物體的運動情況不同,所以兩物體之間的距離會不斷發(fā)生變化,就會涉及追及、相遇或避免碰撞等問題.
2.兩類情況
(1)若后者能追上前者,則追上時,兩者處于同一位置,后者的速度一定不小于前者的速度.
(2)若后者追不上前者,則當后者的速度與前者的速度相等時,兩者相距最近.
3.相遇問題的常見情況
(1)同向運動的兩物體追及并相遇:兩物體位移大小之差等于開始時兩物體間的距離.
(2)相向運動的兩物體相遇:各自發(fā)生的位移大小之和
6、等于開始時兩物體間的距離.
自測3 平直公路上的甲車以10 m/s的速度做勻速直線運動,乙車靜止在路面上,當甲車經(jīng)過乙車旁邊時,乙車立即以大小為1 m/s2的加速度沿相同方向做勻加速運動,從乙車加速開始計時,則( )
A.乙車追上甲車所用的時間為10 s
B.乙車追上甲車所用的時間為20 s
C.乙追上甲時,乙的速度是15 m/s
D.乙追上甲時,乙的速度是10 m/s
答案 B
解析 設乙車追上甲車所用的時間為t,則有v甲t=at2,解得t=20 s,選項A錯誤,B正確;由v=at得,乙車追上甲車時,乙車速度v乙=20 m/s,選項C、D錯誤.
命題點一 運動學圖象的理解和
7、應用
1.x-t圖象與v-t圖象的比較
x-t圖象
v-t圖象
圖象
舉例
意義
傾斜直線表示勻速直線運動;曲線表示變速直線運動
傾斜直線表示勻變速直線運動;曲線表示變加速直線運動
特別處
兩條圖線的交點表示相遇
圖線與時間軸所圍面積表示位移
運動
情況
甲做勻速直線運動,乙做速度逐漸減小的直線運動
丙做勻加速直線運動,丁做加速度逐漸減小的變加速直線運動
位移
0~t1時間內(nèi)甲、乙位移相等
0~t2時間內(nèi)丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0~t1時間內(nèi)甲、乙平均速度相等
0~t2時間內(nèi)丁的平均速度大于丙的平均速度
2.三點說明
(1)
8、x-t圖象與v-t圖象都只能描述直線運動,且均不表示物體運動的軌跡;
(2)分析圖象要充分利用圖象與其所對應的物理量的函數(shù)關系;
(3)識圖方法:一軸、二線、三斜率、四面積、五截距、六交點.
例1 (多選)如圖4,直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位移—時間(x-t)圖線,由圖可知( )
圖4
A.在時刻t1,a車追上b車
B.在時刻t2,a、b兩車運動方向相反
C.在t1到t2這段時間內(nèi),b車的速率先減少后增加
D.在t1到t2這段時間內(nèi),b車的速率一直比a車的大
答案 BC
解析 由題圖可知,t1時刻,b車追上a車,故A錯誤;x-t圖象的斜率表示速度,
9、由于t2時刻a、b兩圖象的斜率一正、一負,故兩車運動方向相反,B正確;由b圖線的斜率的變化可以看出t1到t2這段時間b車的速率先減少后反向增加,C正確;如圖所示,在t3時刻b圖線的斜率與a圖線的相等,此時兩車的速率相等,故D錯誤.
例2 (2019·新課標全國Ⅱ·14)甲、乙兩汽車在一平直公路上同向行駛.在t=0到t=t1的時間內(nèi),它們的v—t圖象如圖5所示.在這段時間內(nèi)( )
圖5
A.汽車甲的平均速度比乙的大
B.汽車乙的平均速度等于
C.甲、乙兩汽車的位移相同
D.汽車甲的加速度大小逐漸減小,汽車乙的加速度大小逐漸增大
答案 A
解析 根據(jù)v—t圖象中圖線與時間軸所圍的
10、面積表示位移,可以看出汽車甲的位移x甲大于汽車乙的位移x乙,選項C錯誤;根據(jù)v=得,汽車甲的平均速度v甲大于汽車乙的平均速度v乙,選項A正確;汽車乙的位移x乙小于初速度為v2、末速度為v1的勻減速直線運動的位移x,即汽車乙的平均速度小于,選項B錯誤;根據(jù)v—t圖象的斜率反映了加速度的大小,因此汽車甲、乙的加速度大小都逐漸減小,選項D錯誤.
變式1 甲、乙兩車在同一條直道上行駛,它們運動的位移x隨時間t變化的關系圖象如圖6所示.已知乙車做勻變速直線運動,其圖線與t軸相切于10 s處.則下列說法正確的是( )
圖6
A.甲車的初速度為零
B.乙車的初位置在x0=60 m處
C.乙車的加
11、速度大小為1.6 m/s2
D.5 s時兩車相遇,此時甲車速度較大
答案 C
解析 由題圖可知甲車做勻速直線運動,速度v甲== m/s=4 m/s.故A錯;由題圖可知乙車做勻減速直線運動,可看做是反方向的勻加速直線運動,則有x=at2.由題圖可知,當其反向運動5 s時,位移為20 m.則有20=a·52,得加速度大小a=1.6 m/s2.因其共運動了10 s,可得x0=×1.6×102 m=80 m.C對,B錯;t=5 s時,兩車相遇,但甲車速度v甲=4 m/s小于乙車速度v乙=8 m/s,D錯.
變式2 (2019·廣東佛山質(zhì)檢)如圖7所示為甲、乙兩質(zhì)點做直線運動的速度-時間圖象,則
12、下列說法中正確的是( )
圖7
A.在0~t3時間內(nèi)甲、乙兩質(zhì)點的平均速度相等
B.甲質(zhì)點在0~t1時間內(nèi)的加速度與乙質(zhì)點在t2~t3時間內(nèi)的加速度相同
C.甲質(zhì)點在0~t1時間內(nèi)的平均速度小于乙質(zhì)點在0~t2時間內(nèi)的平均速度
D.在t3時刻,甲、乙兩質(zhì)點都回到了出發(fā)點
答案 A
解析 因在0~t3時間內(nèi)甲、乙兩質(zhì)點的速度圖線與t軸所圍“面積”相等,說明位移相等,則甲、乙兩質(zhì)點的平均速度相等,故A項正確;在0~t1時間內(nèi),甲的圖線斜率為正值,加速度為正方向,在t2~t3時間內(nèi),乙的圖線斜率為負值,加速度為負方向,兩個加速度不相同,故B項錯誤;甲質(zhì)點在0~t1時間內(nèi)的平均速度等于
13、=,乙質(zhì)點在0~t2時間內(nèi)的平均速度等于=,故C項錯誤;由圖可知甲、乙兩質(zhì)點的速度均為正值.則兩質(zhì)點均做單向直線運動,不可能回到出發(fā)點,故D項錯誤.
拓展點1 非常規(guī)圖象
1.三類圖象
(1)a-t圖象:由v=v0+at可知圖象與橫軸所圍面積表示速度變化量Δv,如圖8甲所示;
(2)-t圖象:由x=v0t+at2可得=v0+at,圖象的斜率為a,如圖乙所示.
圖8
(3)v2-x圖象:由v2-v02=2ax可知v2=v02+2ax,圖象斜率為2a.
2.解題技巧
圖象反映了兩個變量(物理量)之間的函數(shù)關系,因此要由運動學公式推導出兩個物理量間的函數(shù)關系,來分析圖象的意義.
例
14、3 一質(zhì)點沿直線運動,如圖9所示是從t=0時刻開始的質(zhì)點的-t圖象(x為位移),可以推知( )
圖9
A.質(zhì)點做勻減速運動 B.加速度的大小是1 m/s2
C.t=2 s時的速度是1 m/s D.t=2 s時位移是3 m
答案 B
解析 由題意可得圖線的函數(shù)表達式為=1+t,即x=t+t2,又因為勻變速直線運動中位移公式為x=v0t+at2,根據(jù)對應關系得v0=1 m/s,a=1 m/s2>0,因此質(zhì)點做勻加速運動,故A項錯誤,B項正確.當t=2 s時,根據(jù)公式v=v0+at,求出速度是3 m/s,故C項錯誤;當t=2 s時,代入表達式x=t+t2,可得位移是4 m,故D項錯誤.
15、
變式3 (2019·江西南昌3月模擬)一輛汽車做直線運動,其v2-x圖象如圖10所示.關于汽車的運動,下列說法錯誤的是( )
圖10
A.汽車的初速度為4 m/s
B.汽車的加速度大小為0.5 m/s2
C.汽車第4 s末的速度為2 m/s
D.汽車前10 s內(nèi)的位移為15 m
答案 D
解析 由題圖可知初始時速度的平方為16 m2/s2,則汽車的初速度v0=4 m/s,A項正確.由題圖可知v2與x的關系式為v2-42=-x,再與公式v2-v02=2ax對比可知汽車做勻減速直線運動,加速度a=-0.5 m/s2,B項正確.由v=v0+at,可得汽車第4 s末的速度為v4=4
16、m/s-0.5×4 m/s=2 m/s,C項正確.因=8 s,則知第8 s末車停止,汽車前10 s內(nèi)位移x==16 m,D項錯誤.
拓展點2 圖象間的相互轉(zhuǎn)化
例4 一物體由靜止開始沿直線運動,其加速度隨時間變化的規(guī)律如圖11所示.取物體開始運動的方向為正方向,則下列關于物體運動的v-t圖象正確的是( )
圖11
答案 C
命題點二 追及相遇問題
1.分析思路
可概括為“一個臨界條件”“兩個等量關系”.
(1)一個臨界條件:速度相等.它往往是物體間能否追上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件,也是分析判斷問題的切入點;
(2)兩個等量關系:時間等量關系和位移等量關系,通過畫
17、草圖找出兩物體的時間關系和位移關系是解題的突破口.
2.能否追上的判斷方法
物體B追趕物體A:開始時,兩個物體相距x0,到vA=vB時,若xA+x0<xB,則能追上;若xA+x0=xB,則恰好不相撞;若xA+x0>xB,則不能追上.
3.特別提醒
若被追趕的物體做勻減速直線運動,一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng)停止運動.
4.三種方法
(1)臨界法:尋找問題中隱含的臨界條件,例如速度小者加速追趕速度大者,在兩物體速度相等時有最大距離;速度大者減速追趕速度小者,若追不上則在兩物體速度相等時有最小距離.
(2)函數(shù)法:設兩物體在t時刻相遇,然后根據(jù)位移關系列出關于t的方程f(t)
18、=0,若方程f(t)=0無正實數(shù)解,則說明這兩個物體不可能相遇;若方程f(t)=0存在正實數(shù)解,說明這兩個物體能相遇.
(3)圖象法.
①若用位移圖象求解,分別作出兩個物體的位移圖象,如果兩個物體的位移圖象相交,則說明兩物體相遇.
②若用速度圖象求解,則注意比較速度圖線與時間軸包圍的面積.
例5 甲、乙兩車在同一直線軌道上同向行駛,甲車在前,速度為v1=8 m/s,乙車在后,速度為v2=16 m/s,當兩車相距x0=8 m時,甲車因故開始剎車,加速度大小為a1=2 m/s2,為避免相撞,乙車立即開始剎車,則乙車的加速度至少為多大?
答案 6 m/s2
解析 方法一:臨界法
設兩車
19、速度相同時均為v,所用時間為t,乙車的加速度大小為a2,則v1-a1t=v2-a2t=v,t=t-x0,解得t=2 s,a2=6 m/s2,即t=2 s時,兩車恰好未相撞,顯然此后在停止運動前,甲的速度始終大于乙的速度,故可避免相撞.滿足題意的條件為乙車的加速度至少為6 m/s2.
方法二:函數(shù)法
甲、乙運動的位移:x甲=v1t-a1t2,x乙=v2t-a2t2
避免相撞的條件為x乙-x甲0
代入數(shù)據(jù)有(a2-2)t2-16t+16>0
不等式成立的條件是:Δ=162-4×16(a2-2)<0,且a2-2>0
解得a2>6 m
20、/s2.
變式4 (多選)(2019·全國卷Ⅰ·21)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛,其v-t圖象如圖12所示.已知兩車在t=3 s時并排行駛,則( )
圖12
A.在t=1 s時,甲車在乙車后
B.在t=0時,甲車在乙車前7.5 m
C.兩車另一次并排行駛的時刻是t=2 s
D.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m
答案 BD
解析 由題中v-t圖象得a甲=10 m/s2,a乙=5 m/s2,兩車在t=3 s時并排行駛,此時x甲=a甲t2=×10×32 m=45 m,x乙=v0t+a乙t2=10×3 m+×5×32 m=52.5 m,所以t=0時甲車在前
21、,距乙車的距離為L=x乙-x甲=7.5 m,B項正確.t=1 s時,x甲′=a甲t′2=5 m,x乙′=v0t′+a乙t′2=12.5 m,此時x乙′=x甲′+L=12.5 m,所以另一次并排行駛的時刻為t=1 s,故A、C項錯誤;兩次并排行駛的位置沿公路方向相距L′=x乙-x乙′=40 m,故D項正確.
變式5 (2019·河北保定調(diào)研)在平直公路上有甲、乙兩輛汽車從同一位置沿著同一方向運動,它們的速度-時間圖象如圖13所示,則( )
圖13
A.甲、乙兩車同時從靜止開始出發(fā)
B.在t=2 s時乙車追上甲車
C.在t=4 s時乙車追上甲車
D.甲、乙兩車在公路上可能相遇兩次
答案 C
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