8、y
C [因為0logy3,錯誤.
對于C,函數(shù)y=log4x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故log4xy,錯誤.]
[規(guī)律方法] (1)比較兩數(shù)大小常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間搭橋法等.
(2)當兩個數(shù)都是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時,可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值,然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較.
9、
(3)比較多個數(shù)的大小時,先利用“0”,“1”作為分界點,然后在各部分內(nèi)再利用函數(shù)性質(zhì)比較大小.
(4)含參數(shù)的問題,要根據(jù)參數(shù)的取值進行分類討論.
[跟蹤訓練]
3.設(shè)a=log2π,b=logπ,c=π-2,則( )
【導學號:37102324】
A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c
C.a(chǎn)>c>b D.c>b>a
C [∵a=log2π>log22=1,b=logπc>b,故選C.]
基本初等函數(shù)的性質(zhì)
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),則f(x)是( )
A.奇函數(shù),且在(
10、0,1)上是增函數(shù)
B.奇函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù)
C.偶函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù)
D.偶函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù)
(2)已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,3a]上的最大值與最小值之差為1.
①求a的值;
②若1≤x≤3,求函數(shù)y=(logax)2-loga+2的值域.
(1)A [由題意可得,函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).又f(x)=ln=ln,易知y=-1在(0,1)上為增函數(shù),故f(x)在(0,1)上為增函數(shù).]
(2)[解
11、]?、僖驗閘oga3>loga2,所以f(x)=logax在[a,3a]上為增函數(shù).
又f(x)在[a,3a]上的最大值與最小值之差為1,
所以loga(3a)-logaa=1,即loga3=1,所以a=3.
②函數(shù)y=(log3x)2-log3+2=(log3x)2-log3x+2=2+.
令t=log3x,因為1≤x≤3,
所以0≤log3x≤1,即0≤t≤1.
所以y=2+∈,
所以所求函數(shù)的值域為.
母題探究:1.把本例(1)的函數(shù)f(x)改為“f(x)=ln(x+)”,判斷其奇偶性.
[解] ∵f(x)=ln(x+),∴其定義域為R,
又f(-x)=ln(-x+)
12、,
∴f(x)+f(-x)=ln(x+)+ln(-x+)=ln 1=0,
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).
2.把本例2(2)中的函數(shù)改為“y=a2x+ax-1”,求其最小值.
[解] 由題意可知y=32x+3x-1,令3x=t,則t∈[3,27],
∴f(t)=t2+t-1=2-,t∈[3,27],
∴當t=3時,f(t)min=f(3)=9+3-1=11.
[規(guī)律方法] 1.研究函數(shù)的性質(zhì)要樹立定義域優(yōu)先的原則.
2.換元法的作用是利用整體代換,將問題轉(zhuǎn)化為常見問題.本章中,常設(shè)u=logax或u=ax,轉(zhuǎn)化為一元二次方程、二次函數(shù)等問題.要注意換元后u的
13、取值范圍.
分類討論思想的應用
設(shè)a>0且a≠1,若P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),試比較P,Q的大小.
【導學號:37102325】
思路探究:分01兩類,先比較a3+1與a2+1的大小關(guān)系,再借助對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?
[解] 當0loga(a2+1),即P>Q.
當a>1時,有a3>a2,即a3+1>a2+1.
又當a>1時,y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴l(xiāng)oga(a3+1
14、)>loga(a2+1),即P>Q.
綜上可得,P>Q.
[規(guī)律方法] 本題中比較P,Q的大小,主要是利用了對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的方法.一般地,當指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)含參數(shù)時,要按底數(shù)大于1,大于0且小于1進行分類討論。
[跟蹤訓練]
4.已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值.
[解]?、偃鬭>1,則f(x)是增函數(shù),
∴f(x)在[1,2]上的最大值為f(2),最小值為f(1),
∴f(2)-f(1)=,
即a2-a=,
解得a=.
②若0