《2017-2018學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 第1節(jié) 數(shù)學歸納法創(chuàng)新應用教學案 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 第1節(jié) 數(shù)學歸納法創(chuàng)新應用教學案 新人教A版選修4-5（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1節(jié) 數(shù)學歸納法 [核心必知] 1．數(shù)學歸納法的概念 當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟： (1)證明當n＝n0時命題成立； (2)假設當n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時命題成立，證明n＝k＋1時命題也成立． 在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學歸納法． 2．數(shù)學歸納法的基本過程 [問題思考] 1．在數(shù)學歸納法中，n0一定等于1嗎？ 提示：不一定．n0是適合命題的正整數(shù)中的最小值， 有時是n0＝1或n0＝2． 有時n0值也比較大，而不一定是從1開始取值．

2、 2．數(shù)學歸納法的適用范圍是什么？ 提示：數(shù)學歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的證明． 3．數(shù)學歸納法中的兩步的作用是什么？ 提示：在數(shù)學歸納法中的第一步“驗證n＝n0時，命題成立”，是歸納奠基、是推理證明的基礎． 第二步是歸納遞推，保證了推理的延續(xù)性，證明了這一步，就可以斷定這個命題對于n取第一個值n0后面的所有正整數(shù)也都成立． 　　　用數(shù)學歸納法證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． [精講詳析]　本題考查數(shù)學歸納法在證明恒等式中的應用，解答本題需要注意等式的左邊有2n項，右邊有n項，由k到k＋1時，左邊增加兩項，右邊增加一項，而且左、右兩邊的首項

3、不同，因此由“n＝k”到“n＝k＋1”時，要注意項的合并． (1)當n＝1時， 左邊＝1－＝， 右邊＝，命題成立． (2)假設當n＝k(k≥1，且k∈N＋)時命題成立， 即有1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋. 則當n＝k＋1時， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋， 從而可知，當n＝k＋1時，命題亦成立． 由(1)(2)可知，命題對一切正整數(shù)n均成立． (1)用數(shù)學歸納法證明代數(shù)恒等式的關鍵有兩點：一是準確表述n＝n0時命題的形式，二是準確把握由n＝k到n＝k＋1時，命題結(jié)構(gòu)的變化特點． (2)應用數(shù)學歸納法時的常見問題①第一步中的驗證，對

4、于有些問題驗證的并不是n＝1，有時需驗證n＝2，n＝3. ②對n＝k＋1時式子的項數(shù)以及n＝k與n＝k＋1的關系的正確分析是應用數(shù)學歸納法成功證明問題的保障． ③“假設n＝k時命題成立，利用這一假設證明n＝k＋1時命題成立”，這是應用數(shù)學歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，對待這一推導過程決不可含糊不清，推導的步驟要完整、嚴謹、規(guī)范． 1．證明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)． 證明：(1)當n＝1時，左邊＝12－22＝－3， 右邊＝－1×(2×1＋1)＝－3， ∴當n＝1時，等式成立． (2)假設當n＝k時等式成立，就是 12－2

5、2＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k·(2k＋1)． 當n＝k＋1時， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，∴當n＝k＋1時，等式也成立． 根據(jù)(1)和(2)可知，等式對任何n∈N＋都成立． 　　　求證：二項式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [精講詳析]　本題考查數(shù)學歸納法在證明整除問題中的應用，解答本題需要設法將x2n－y2n進行分解因式得出x＋

6、y，由于直接分解有困難，故采用數(shù)學歸納法證明． (1)當n＝1時，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴能被x＋y整除． (2)假設n＝k(k≥1，且k∈N＋)時， x2k－y2k能被x＋y整除， 當n＝k＋1時， 即x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－x2y2k＋x2y2k－y2·y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k與x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1時，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，對任意的正整數(shù)n命題均成立. 　　 利用數(shù)

7、學歸納法證明整除問題時，關鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式，這就往往要涉及到“添項”與“減 項”等變形技巧，例如，在本例中，對x2k＋2－y2k＋2進行拼湊，即減去x2y2k再加上x2y2k，然后重新組合，目的是拼湊出n＝k時的歸納假設，剩余部分仍能被x＋y整除． 2．求證：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 證明：(1)當n＝1時，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命題成立． (2)假設n＝k時，命題成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 當n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋

8、k3＋3k2·3＋3k·32＋33 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由歸納假設，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1時命題也成立． 由(1)(2)可知，對任意n∈N＋命題成立. 　　　平面上有n(n≥2，且n∈N＋)條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過同一點，求證：這n條直線共有f(n)＝個交點． [精講詳析]　本題考查數(shù)學歸納法在證明幾何命題中的應用，解答本題應搞清交點隨n的變化而變化的規(guī)律，然后采用數(shù)學歸納法證明． (1)當n＝2時，∵兩相交直線只有1個交點， 又f(2)

9、＝×2×(2－1)＝1.∴當n＝2時，命題成立． (2)假設當n＝k(k≥2且k∈N＋)時命題成立，就是該平面內(nèi)滿足題設的任何k條直線的交點個數(shù)為f(k)＝k(k－1)，則當n＝k＋1時，任取其中一條直線記為l，如圖，剩下的k條直線為l1，l2，…，lk.由歸納假設知，它們之間的交點個數(shù)為f(k)＝. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點，所以直線l與l1，l2，l3，…，lk的交點共有k個． ∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝ ＝＝. ∴當n＝k＋1時，命題成立． 由(1)(2)可知，命題對一切n∈N＋且n≥2成立． 對于幾何問題的證明，可以從有限情形中歸

10、納出一個變化的過程，或者說體會出是怎么變化的，然后再去證明，也可以采用遞推的辦法，利用數(shù)學歸納法證明幾何問題時，關鍵是正確分析由n＝k到n＝k＋1時幾何圖形的變化規(guī)律． 3．證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)＝n·(n－3)(n≥4)． 證明：(1)n＝4時，f(4)＝·4·(4－3)＝2， 四邊形有兩條對角線，命題成立． (2)假設n＝k時命題成立， 即凸k邊形的對角線的條數(shù)f(k)＝k(k－3)(k≥4) 當n＝k＋1時，凸k＋1邊形是在k邊形基礎上增加了一邊，增加了一個頂點Ak＋1，增加的對角線條數(shù)是頂點Ak＋1與不相鄰頂點連線再加上原k邊形的一邊A1Ak，共增加的對角

11、線條數(shù)為(k＋1－3)＋1＝k－1. f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2) ＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]． 故n＝k＋1時 由(1)、(2)可知，對于n≥4，n∈N＋公式成立． 本課時考點常與數(shù)列問題相結(jié)合考查數(shù)學歸納法的應用，天津高考將數(shù)列、數(shù)學歸納法相結(jié)合，以解答題的形式進行了考查，是高考命題的一個新亮點． [考題印證] (天津高考)已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)記Tn＝anb

12、1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N＋，證明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N＋)． [命題立意]　本題考查數(shù)學歸納法在證明數(shù)列問題中的應用． [解]　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由條件， 得方程組解得 所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N＋. (2)法一：由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，① 2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.② 由②－①，得Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2

13、 ＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10. 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12 ＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N＋. 法二：(1)當n＝1時，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立； (2)假設當n＝k時等式成立， 即Tk＋12＝－2ak＋10bk， 則當n＝k＋1時有Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－

14、4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1.因此n＝k＋1時等式也成立． 由(1)和(2)，可知對任意n∈N＋，Tn＋12＝－2an＋10bn成立． 一、選擇題 1．用數(shù)學歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)”時，在驗證當n＝1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是(　　) A．1　　　　　　　　　　　B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析：選C　由于等式左邊當n＝1時，冪指數(shù)的最大值為1＋1＝2， ∴左邊計算結(jié)果為1＋a＋

15、a2或在等式中左邊共有n＋2項，∴n＝1時，共有3項． 2．用數(shù)學歸納法證明：(n＋1)(n＋2)·… ·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)時，從“k到k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式是(　　) A．2k＋1 B. C．2(2k＋1) D. 解析：選C　當n＝k＋1時， 左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·… ·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3)…(k＋k)· ＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·2(2k＋1)． 3．某個命題與正整數(shù)n有關，如果當n＝k(k∈N＋)時命題成立，那么可推得當n＝k＋1時，命題也成立．現(xiàn)已知當n＝5時該命題不成

16、立，那么可推得(　　) A．當n＝6時該命題不成立 B．當n＝6時該命題成立 C．當n＝4時該命題不成立 D．當n＝4時該命題成立 解析：選C　與“如果當n＝k(k∈N＋)時命題成立，那么可推得當n＝k＋1時命題也成立”等價的命題為“如果當n＝k＋1時命題不成立，則當n＝k(k∈N＋)時，命題也不成立”． 故知當n＝5時，該命題不成立， 可推得當n＝4時該命題不成立，故選C. 4．用數(shù)學歸納法證明“

17、．歸納假設寫法不正確 C．從k到k＋1推理不嚴密 D．從k到k＋1的推理過程未使用歸納假設 解析：選D　∵在上面的證明中，當n＝k＋1時證明過程沒有錯誤，但沒有用到當n＝k時的結(jié)論，這樣就失去假設當n＝k時命題成立的意義，也不能構(gòu)成一個遞推關系，這不是數(shù)學歸納法． ∴A、B、C都不對，選D. 二、填空題 5．設f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于________． 解析：因為f(n)＝1＋＋＋…＋. 所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋. 所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 答案：＋＋ 6．用數(shù)學歸納法證明：“當n為奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y

18、整除”時，在歸納假設中，假設當n＝k時命題成立，那么下一步應證明n＝________時命題也成立． 解析：兩個奇數(shù)之間相差2. 答案：k＋2 7．用數(shù)學歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的過程中，第二步假設n＝k時等式成立，則當n＝k＋1時應得到________． 解析：∵n＝k時，命題為“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， ∴n＝k＋1時為使用歸納假設，應寫成 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k， 又考慮到目的，最終應為2k＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 8．用數(shù)學歸納法證明22＋32＋…＋n

19、2＝－1(n∈N＋，且n>1)時，第一步應驗證n＝________，當n＝k＋1時，左邊的式子為________． 解析：∵n＝k時，命題為“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， ∴n＝k＋1時為使用歸納假設，應寫成 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k， 又考慮到目的，最終應為2k＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 三、解答題 9．用數(shù)學歸納法證明： ＋＋…＋＝＋＋…＋. 證明：(1)當n＝1時，左邊＝＝， 右邊＝，等式成立． (2)假設當n＝k時，等式成立，即 ＋＋…＋ ＝＋＋…＋， 則當n＝k＋1時， ＋＋…＋＋

20、 ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋， 即當n＝k＋1時，等式成立． 根據(jù)(1)(2)可知，對一切n∈N＋，等式成立． 10．用數(shù)學歸納法證明對于整數(shù)n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除． 證明：(1)當n＝0時，A0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假設n＝k時，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除． 當n＝k＋1時， Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1 ＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1 ＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋13

21、3·122k＋1. ∴n＝k＋1時，命題也成立． 根據(jù)(1)、(2)，對于任意整數(shù)n≥0，命題都成立． 11．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn，an的等差中項為1. (1)寫出a1，a2，a3； (2)猜想an的表達式，并用數(shù)學歸納法證明． 解：(1)由題意Sn＋an＝2， ∴a1＝1，a2＝，a3＝. (2)猜想an＝， 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，a1＝1，＝＝1，等式成立． ②假設當n＝k時，等式成立， 即ak＝， ∵Sk＋1＝2－ak＋1，Sk＋1－Sk ＝ak＋1，Sk＝2－ak， ∴ak＋1＝ak＝， 即當n＝k＋1時，等式成立． 根據(jù)①②可知，對一切n∈N＋，等式成立． 12