5．1　對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 5．2　對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像和性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.2.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 知識(shí)點(diǎn)一　對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 思考　已知函數(shù)y＝2x，那么反過(guò)來(lái)，x是否為關(guān)于y的函數(shù)？ 　 　 　 梳理　一般地，我們把_______________________________________________________ 叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是____________．a(chǎn)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)． 特別地，稱以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lg x為常用對(duì)數(shù)函數(shù)；稱以無(wú)理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y＝ln x為自然對(duì)數(shù)函數(shù)． 知識(shí)點(diǎn)二　對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) 思考　y＝logax化為指數(shù)式是x＝ay，你能用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性推導(dǎo)出對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性嗎？ 　 　 　 梳理　類似地，我們可以借助指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)得到對(duì)數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)： a>1 0<a<1 圖像 性質(zhì) (1)定義域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)過(guò)點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0 (4)當(dāng)x>1時(shí)，y>0， 0<x<1時(shí)，y<0 (4)當(dāng)x>1時(shí)，y<0， 0<x<1時(shí)，y>0 (5)是(0，＋∞)上的增函數(shù) (5)是(0，＋∞)上的減函數(shù) 類型一　對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 例1　已知對(duì)數(shù)函數(shù)y＝f(x)過(guò)點(diǎn)(4,2)，求f及f(2lg 2)． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　對(duì)數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件： (1)系數(shù)為1. (2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)． (3)對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量x. 跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列函數(shù)是不是對(duì)數(shù)函數(shù)？并說(shuō)明理由． (1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)； (2)y＝log2x－1； (3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)； (4)y＝log5x. 　 　 　 　 　 　 類型二　對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的應(yīng)用 例2　求下列函數(shù)的定義域． (1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； (2)y＝log2(16－4x)． 引申探究 1．若把例2(1)中的函數(shù)改為y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定義域． 2．求函數(shù)y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定義域，相比引申探究1，定義域有何變化？ 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　求含對(duì)數(shù)式的函數(shù)定義域的關(guān)鍵是真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.如需對(duì)函數(shù)式變形，需注意真數(shù)底數(shù)的取值范圍是否改變． 跟蹤訓(xùn)練2　求下列函數(shù)的定義域． (1)y＝； (2)y＝log(x＋1)(16－4x)； (3)y＝log(3x－1)(2x＋3)． 　 　 　 　 　 　 　 類型三　對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 例3　比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。? (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)． 　 　 　 　 反思與感悟　比較兩個(gè)同底數(shù)的對(duì)數(shù)大小，首先要根據(jù)對(duì)數(shù)底數(shù)來(lái)判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性；然后比較真數(shù)大小，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性判斷兩對(duì)數(shù)值的大?。畬?duì)于底數(shù)以字母形式出現(xiàn)的，需要對(duì)底數(shù)a進(jìn)行討論．對(duì)于不同底的對(duì)數(shù)，可以估算范圍，如log22<log23<log24，即1<log23<2，從而借助中間值比較大小． 跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)a＝log3π，b＝log2，c＝log3，則(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 例4　函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域?yàn)開_______． 反思與感悟　在函數(shù)三要素中，值域從屬于定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．故求y＝logaf(x)型函數(shù)的值域必先求定義域，進(jìn)而確定f(x)的范圍，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性求出logaf(x)的取值范圍． 跟蹤訓(xùn)練4　函數(shù)y＝的值域?yàn)?　　) A．(0,3) B．[0,3] C．(－∞，3] D．[0，＋∞) 類型四　對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像 例5　畫出函數(shù)y＝lg|x－1|的圖像． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　現(xiàn)在畫圖像很少單純描點(diǎn)，大多是以基本初等函數(shù)為原料加工，所以一方面要掌握一些常見(jiàn)的平移、對(duì)稱變換的結(jié)論，另一方面要關(guān)注定義域、值域、單調(diào)性、關(guān)鍵點(diǎn)． 跟蹤訓(xùn)練5　畫出函數(shù)y＝|lg(x－1)|的圖像． 　 　 　 　 　 例6　函數(shù)f(x)＝4＋loga(x－1)(a>0，a≠1)的圖像過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是__________． 反思與感悟　y＝f(x)y＝f(x＋a)，y＝f(x)y＝f(x)＋b.對(duì)具體函數(shù)(如對(duì)數(shù)函數(shù))仍然適用． 跟蹤訓(xùn)練6　已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖像如圖，則下列結(jié)論成立的是(　　) A．a(chǎn)>1，c>1 B．a(chǎn)>1,0<c<1 C．0<a<1，c>1 D．0<a<1,0<c<1 1．下列函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的是(　　) A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1) B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1) C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2) D．y＝2logax(a＞0且a≠1) 2．函數(shù)y＝log2(x－2)的定義域是(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[4，＋∞) 3．函數(shù)f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域?yàn)?　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．[0，＋∞) D．(－∞，0] 4. 函數(shù)y＝logax的圖像如圖所示，則a的值可以是(　　) A．0.5 B．2 C．e D．π 5．若函數(shù)f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________． 1．含有對(duì)數(shù)符號(hào)“l(fā)og”的函數(shù)不一定是對(duì)數(shù)函數(shù)． 判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)，不僅要含有對(duì)數(shù)符號(hào)“l(fā)og”，還要符合對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式．如：y＝2log2x，y＝log5都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，可稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)． 2．研究y＝logaf(x)的性質(zhì)如定義域、值域、比較大小，均需依托對(duì)數(shù)函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)． 3．研究與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像有關(guān)的問(wèn)題，以對(duì)數(shù)函數(shù)圖像為基礎(chǔ)，加以平移、伸縮、對(duì)稱或截取一部分． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考　由于y＝2x是單調(diào)函數(shù)，所以對(duì)于任意y∈(0，＋∞)都有唯一確定的x與之對(duì)應(yīng)，故x也是關(guān)于y的函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系式是x＝log2y，此處y∈(0，＋∞)． 梳理　函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)　(0，＋∞) 知識(shí)點(diǎn)二 思考　當(dāng)a＞1時(shí)，若0＜x1＜x2，則ay1＜ay2，解指數(shù)不等式，得y1＜y2從而y＝logax在(0，＋∞)上為增函數(shù)． 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上為減函數(shù)． 題型探究 例1　解　設(shè)y＝logax(a＞0，且a≠1)， 則2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x， 因此f＝log2＝－1， f(2lg 2)＝log22lg 2＝lg 2. 跟蹤訓(xùn)練1　解　∵(1)中真數(shù)不是自變量x，∴不是對(duì)數(shù)函數(shù)； ∵(2)中對(duì)數(shù)式后減1，∴不是對(duì)數(shù)函數(shù)； ∵(3)中底數(shù)是自變量x，而非常數(shù)a， ∴不是對(duì)數(shù)函數(shù)． (4)為對(duì)數(shù)函數(shù)． 例2　解　(1)由得－3<x<3， ∴函數(shù)的定義域是{x|－3<x<3}． (2)由16－4x>0，得4x<16＝42， 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得x<2， ∴函數(shù)y＝log2(16－4x)的定義域?yàn)閧x|x<2}． 引申探究 1．解　由得x>3. ∴函數(shù)y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定義域?yàn)閧x|x>3}． 2．解　(x＋3)(x－3)>0， 即或 解得x<－3或x>3. ∴函數(shù)y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定義域?yàn)閧x|x<－3或x>3}． 相比引申探究1，函數(shù)y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定義域多了(－∞，－3)這個(gè)區(qū)間，原因是對(duì)于y＝loga[(x＋3)·(x－3)]，要使對(duì)數(shù)有意義，只需(x＋3)與(x－3)同號(hào)，而對(duì)于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使對(duì)數(shù)有意義，必須(x－3)與(x＋3)同時(shí)大于0. 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)要使函數(shù)有意義，需 即 即－3<x<－2或x≥2， 故所求函數(shù)的定義域?yàn)?－3，－2)∪[2，＋∞)． (2)要使函數(shù)有意義，需 即 所以－1<x<2，且x≠0， 故所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|－1<x<2，且x≠0}． (3)要使函數(shù)有意義，需 即所以x>且x≠， 故所求函數(shù)的定義域?yàn)椤? 例3　解　(1)考察對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x， 因?yàn)樗牡讛?shù)2>1， 所以它在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 又3.4＜8.5， 于是log23.4<log28.5. (2)考察對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log0.3x， 因?yàn)樗牡讛?shù)0<0.3<1， 所以它在(0，＋∞)上是減函數(shù)， 又1.8＜2.7， 于是 log0.31.8>log0.32.7. (3)當(dāng)a>1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 又5.1＜5.9， 于是loga5.1<loga5.9； 當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)， 又5.1＜5.9， 于是loga5.1>loga5.9. 綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，loga5.1＜loga5.9； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga5.1＞loga5.9. 跟蹤訓(xùn)練3　A　[∵a＝log3π＞1， b＝log23， 則＜b＜1，c＝log32＜， ∴a＞b＞c.] 例4　(0，＋∞) 解析　f(x)的定義域?yàn)镽. ∵3x>0，∴3x＋1>1. ∵y＝log2x在(0，＋∞)上遞增， ∴l(xiāng)og2(3x＋1)>log21＝0， 即f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)． 跟蹤訓(xùn)練4　D　[∵當(dāng)x<－1時(shí)， 0<3x<3－1＝， 當(dāng)x≥1時(shí)，log2x≥log21＝0， ∴函數(shù)的值域?yàn)椤萚0，＋∞)＝[0，＋∞)．] 例5　解　(1)先畫出函數(shù)y＝lg x的圖像(如圖)． (2)再畫出函數(shù)y＝lg|x|的圖像(如圖)． (3)最后畫出函數(shù)y＝lg|x－1|的圖像(如圖)． 跟蹤訓(xùn)練5　解　(1)先畫出函數(shù)y＝lg x的圖像(如圖)． (2)再畫出函數(shù)y＝lg(x－1)的圖像(如圖)． (3)再畫出函數(shù)y＝|lg(x－1)|的圖像(如圖)． 例6　(2,4) 解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝loga(x－1)的圖像過(guò)定點(diǎn)(2,0)，所以函數(shù)f(x)＝4＋loga(x－1)的圖像過(guò)定點(diǎn)(2,4)． 跟蹤訓(xùn)練6　D　[由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換知0<a<1,0<c<1.] 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．C　2.C　3.B 4．A　[∵函數(shù)y＝logax的圖像單調(diào)遞減，∴0＜a＜1，只有選項(xiàng)A符合題意．] 5．(1,3) 11