3.1.3　空間向量基本定理 3.1.4　空間向量的坐標表示 學習目標：1.掌握空間向量的基本定理及其推論，理解空間向量的正交分解，掌握用基底表示空間向量的方法．(重點、難點)2.理解空間向量坐標的定義，能用坐標表示空間向量，掌握空間向量的坐標運算，會根據(jù)向量的坐標運算判斷兩個空間向量平行．(重點)3.基向量的選取及應用．(易錯點) [自 主 預 習·探 新 知] 教材整理1　空間向量基本定理 閱讀教材P87～P88例1以上的部分，完成下列問題． 1．空間向量基本定理 如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3. 2．基底、基向量 在空間向量基本定理中，e1，e2，e3是空間不共面的三個向量，則把{e1，e2，e3}稱為空間的一個基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作為基向量． 3．正交基底、單位正交基底 如果空間一個基底的三個基向量是兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底．特別地，當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{i，j，k}表示． 4．空間向量基本定理的推論 設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得＝x＋y＋z. 已知是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷能否作為空間的一個基底？并說明理由． [解]　能作為空間的一個基底，理由如下： 假設，，共面，則存在實數(shù)λ，μ使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3. ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程組無實數(shù)解． ∴，，不共面． ∴能作為空間的一個基底． 教材整理2　空間向量的坐標運算 閱讀教材P89～P90例1以上的部分，完成下列問題． 1．空間向量的坐標 在空間直角坐標系中，設A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；當空間向量a的起點移至坐標原點時，其終點坐標就是向量a的坐標． 2．空間向量的坐標運算 設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量的加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量的減法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 數(shù)乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 向量平行 a∥b(a≠0)? b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R 已知向量a＝(－1,0,2)，2a＋b＝(0,1,3)，則b＝________. [解析]　b＝(2a＋b)－2a＝(0,1,3)－2(－1,0,2)＝(2,1，－1)． [答案]　(2,1，－1) [合 作 探 究·攻 重 難] 基底的判斷 　(1)若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項中，能構(gòu)成基底的一組向量是________(填序號)． ①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}． (2)若{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且向量＝2e1＋e2＋e3，＝e1－e2＋2e3，＝ke1＋3e2＋2e3不能作為空間的一組基底，則k＝________. 【導學號：71392165】 [精彩點撥]　(1)看各組向量是否共面，共面不能作為基底，否則可作基底；(2)，，共面，利用共面向量定理求解． [解析]　(1)若c，a＋b，a－b共面，則c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，則a，b，c為共面向量，此與{a，b，c}為空間向量的一組基底矛盾，故c，a＋b，a－b可構(gòu)成空間向量的一組基底． (2)因為，，不能作為空間向量的一組基底，故，，共面． 由共面向量定理可知，存在實數(shù)x，y，使＝x＋y， 即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)． 故解得x＝，y＝－，k＝5. [答案]　(1)③　(2)5 [名師指津]　基底的判斷 判斷某一向量組能否作為基底，關鍵是判斷它們是否共面.如果從正面難以入手，可用反證法或利用一些常見的幾何圖形進行判斷. 用基底表示空間向量 　如圖3­1­14所示，空間四邊形OABC中，G，H分別是△ABC，△OBC的重心，設＝a，＝b，＝c，試用向量a，b，c表示向量. 【導學號：71392166】 圖3­1­14 [精彩點撥]　→→ → →→ [自主解答]?。剑?，∵＝， ∴＝×(＋)＝(b＋c)， ＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋×(＋) ＝a＋(b＋c)， ∴＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a， 即＝－a. [名師指津]　用基底表示向量的技巧 (1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底. (2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變換、化簡，最后求出結(jié)果. (3)下結(jié)論：利用空間向量的一個基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. [再練一題] 1．如圖3­1­15所示，已知平行六面體ABCD­A1B1C1D1，設＝a，＝b，＝c，P是CA1的中點，M是CD1的中點．用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2). 圖3­1­15 [解]　如圖，在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，連接AC，AD1， (1)＝(＋) ＝(＋＋) ＝(a＋b＋c)． (2)＝(＋)＝(＋2＋)＝a＋b＋c. 空間向量的坐標運算 　如圖3­1­16，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點，并且PA＝AB＝1.試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求向量的坐標． 圖3­1­16 [精彩點撥]　根據(jù)題意，以，，為單位正交基底，建立空間直角坐標系，再用，，表示向量，即可得到結(jié)果． [自主解答]　法一：∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴，，是兩兩垂直的單位向量． 設＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}為基底建立空間直角坐標系A­xyz，如圖所示． ∵＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋(＋) ＝－＋＋(＋＋) ＝＋＝e2＋e3，∴＝. 法二：∵P(0,0,1)，C(1,1,0)， ∴N. 又∵M， ∴＝. [名師指津]　 1．本題的兩個解法出發(fā)點不同，法一側(cè)重于用基底表示，然后向坐標轉(zhuǎn)化；法二則是直接利用向量的坐標運算，更簡便． 2．運用坐標進行向量運算，實質(zhì)就是將向量運算轉(zhuǎn)化為數(shù)字運算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運用． [再練一題] 2．已知ABCD­A1B1C1D1是棱長為2的正方體，E，F(xiàn)分別為BB1和DC的中點，建立如圖3­1­17所示的空間直角坐標系，試寫出，，的坐標． 圖3­1­17 [解]　∵D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，∴＝(2,2,2)，＝(2,2,1)，＝(0,1,0). 空間向量平行的坐標表示 　已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，設a＝，b＝. (1)設|c|＝3，c∥，求c； (2)是否存在實數(shù)k，使(ka＋b)∥(ka－2b)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由. 【導學號：71392167】 [精彩點撥]　根據(jù)共線向量定理及空間向量平行的坐標表示可解． [自主解答]　(1)由條件，易得＝(－2，－1,2)，因為c∥， 故設c＝λ＝λ(－2，－1,2)＝(－2λ，－λ，2λ)，又因為|c|＝3， ∴4λ2＋λ2＋4λ2＝9，解得λ＝±1，故c的坐標為(－2，－1,2)或(2,1，－2)． (2)a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，ka＋b＝(k－1，k,2)． ka－2b＝(k＋2，k，－4)，假設存在實數(shù)k，使(ka＋b)∥(ka－2b)，即存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(ka－2b)，即(k－1，k,2)＝λ(k＋2，k，－4)， 即 解得λ＝－，k＝0， 所以存在實數(shù)k＝0，使(ka＋b)∥(ka－2b)． [名師指津]　兩向量平行的充要條件有兩個：①a＝λb， ②依此既可以判定兩向量共線，也可以通過兩向量平行求待定字母的值． [再練一題] 3．設a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，計算2a＋3b,5a－6b，并確定λ，μ的值，使λa＋μb與向量b平行． [解]　∵a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)， ∴2a＋3b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)， 5a－6b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)． ∵λa＋μb＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa＋μb)∥b， ∴＝＝， ∴λ＝0，μ∈R， 即λ＝0，μ∈R時，λa＋μb與b平行. 空間向量的坐標運算 [探究問題] 1．如何建立空間直角坐標系？ [提示]　(1)用空間向量的坐標運算解決問題的前提是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，為便于坐標的求解及運算，在建立空間直角坐標系時，要充分分析空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點，應使盡可能多的點在坐標軸上或坐標平面內(nèi)． (2)進行向量的運算時，在能建系的情況下盡量建系化為坐標運算，并且按照右手系建系，如圖所示． 2．如何運用空間向量的坐標運算解決幾何問題？ [提示]　運用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題的一般步驟： (1)建立恰當?shù)目臻g直角坐標系； (2)求出相關點的坐標； (3)寫出向量的坐標； (4)結(jié)合公式進行論證、計算； (5)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論． 　如圖3­1­18，在長方體OAEB­O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，點P在棱AA1上，且AP＝2PA1，點S在棱BB1上，且SB1＝2BS，點Q，R分別是棱O1B1，AE的中點． 圖3­1­18 求證：PQ∥RS. 【導學號：71392168】 [精彩點撥]　以O為原點，以，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，確定，的坐標，利用向量共線證明． [自主解答]　如圖，建立空間直角坐標系， 則A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)． ∵PA＝2PA1，SB1＝2BS， Q，R分別是棱O1B1，AE的中點，∴P，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S. 于是＝＝，∴∥. ∵R?PQ，∴PQ∥RS. [再練一題] 4．已知四邊形ABCD的頂點坐標分別是A(3，－1,2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求證：四邊形ABCD是一個梯形． [證明]　∵＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴＝＝， ∴與共線，即AB∥CD. 又∵＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， ∴≠≠， ∴與不平行． ∴四邊形ABCD為梯形． [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．設a＝(1,2,3)，b＝(－2,2，－2)，若(ka－b)∥(a＋b)，則k＝________. [解析]　ka－b＝k(1,2,3)－(－2,2，－2)＝(k＋2,2k－2,3k＋2)，a＋b＝(－1,4,1)．∵(ka－b)∥(a＋b)， ∴＝＝3k＋2，解得k＝－1. [答案]　－1 2．已知向量a＝(－1,2,1)，a＋b＝(0,1,2)，則b＝______. [解析]　b＝a＋b－a＝(0,1,2)－(－1,2,1)＝(1，－1,1)． [答案]　(1，－1,1) 3．已知向量a＝(2，－3,5)與向量b＝平行，則λ等于________. 【導學號：71392169】 [解析]　法一：由題意知，存在實數(shù)k，使b＝ka，即＝k(2，－3,5)，即 解得k＝，λ＝－. 法二：由a∥b，顯然λ≠0， 得＝＝， ∴λ＝－. [答案]?。? 4．在直三棱柱ABO­A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點，在如圖3­1­19所示的空間直角坐標系中，，的坐標分別為________，________. 圖3­1­19 [解析]　由題意得，A(4,0,0)，B(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(0,2,4)，則D(2,1,4)，∴＝(－2，－1，－4)，＝(－4,2，－4)． [答案]　(－2，－1，－4)　(－4,2，－4) 5．如圖3­1­20所示，已知平行六面體ABCD­A1B1C1D1，＝－，＝.設＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示. 圖3­1­20 [解]?。剑? ＝－＋＋ ＝－(＋)＋＋(－) ＝－a－b＋c＋b－c ＝－a＋b＋c. 11