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2018-2019學年高中數(shù)學 第3章 空間向量與立體幾何 3.1 3.1.3 空間向量基本定理 3.1.4 空間向量的坐標表示學案 蘇教版選修2-1

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2018-2019學年高中數(shù)學 第3章 空間向量與立體幾何 3.1 3.1.3 空間向量基本定理 3.1.4 空間向量的坐標表示學案 蘇教版選修2-1

3.1.3 空間向量基本定理 3.1.4 空間向量的坐標表示 學習目標:1.掌握空間向量的基本定理及其推論,理解空間向量的正交分解,掌握用基底表示空間向量的方法.(重點、難點)2.理解空間向量坐標的定義,能用坐標表示空間向量,掌握空間向量的坐標運算,會根據(jù)向量的坐標運算判斷兩個空間向量平行.(重點)3.基向量的選取及應用.(易錯點) [自 主 預 習·探 新 知] 教材整理1 空間向量基本定理 閱讀教材P87~P88例1以上的部分,完成下列問題. 1.空間向量基本定理 如果三個向量e1,e2,e3不共面,那么對空間任一向量p,存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使p=xe1+ye2+ze3. 2.基底、基向量 在空間向量基本定理中,e1,e2,e3是空間不共面的三個向量,則把{e1,e2,e3}稱為空間的一個基底,e1,e2,e3叫做基向量.0不能作為基向量. 3.正交基底、單位正交基底 如果空間一個基底的三個基向量是兩兩互相垂直,那么這個基底叫做正交基底.特別地,當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時,稱這個基底為單位正交基底,通常用{i,j,k}表示. 4.空間向量基本定理的推論 設O,A,B,C是不共面的四點,則對空間任意一點P,都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得=x+y+z. 已知是空間的一個基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,試判斷能否作為空間的一個基底?并說明理由. [解] 能作為空間的一個基底,理由如下: 假設,,共面,則存在實數(shù)λ,μ使得=λ+μ, ∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3) =(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3. ∵e1,e2,e3不共面, ∴此方程組無實數(shù)解. ∴,,不共面. ∴能作為空間的一個基底. 教材整理2 空間向量的坐標運算 閱讀教材P89~P90例1以上的部分,完成下列問題. 1.空間向量的坐標 在空間直角坐標系中,設A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),則=(a2-a1,b2-b1,c2-c1);當空間向量a的起點移至坐標原點時,其終點坐標就是向量a的坐標. 2.空間向量的坐標運算 設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量的加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 向量的減法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 數(shù)乘向量 λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R 向量平行 a∥b(a≠0)? b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3,λ∈R 已知向量a=(-1,0,2),2a+b=(0,1,3),則b=________. [解析] b=(2a+b)-2a=(0,1,3)-2(-1,0,2)=(2,1,-1). [答案] (2,1,-1) [合 作 探 究·攻 重 難] 基底的判斷  (1)若{a,b,c}為空間的一組基底,則下列各項中,能構(gòu)成基底的一組向量是________(填序號). ①{a,a+b,a-b};②{b,a+b,a-b};③{c,a+b,a-b};④{a+b,a-b,a+2b}. (2)若{e1,e2,e3}是空間的一個基底,且向量=2e1+e2+e3,=e1-e2+2e3,=ke1+3e2+2e3不能作為空間的一組基底,則k=________. 【導學號:71392165】 [精彩點撥] (1)看各組向量是否共面,共面不能作為基底,否則可作基底;(2),,共面,利用共面向量定理求解. [解析] (1)若c,a+b,a-b共面,則c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b,則a,b,c為共面向量,此與{a,b,c}為空間向量的一組基底矛盾,故c,a+b,a-b可構(gòu)成空間向量的一組基底. (2)因為,,不能作為空間向量的一組基底,故,,共面. 由共面向量定理可知,存在實數(shù)x,y,使=x+y, 即ke1+3e2+2e3=x(2e1+e2+e3)+y(e1-e2+2e3). 故解得x=,y=-,k=5. [答案] (1)③ (2)5 [名師指津] 基底的判斷 判斷某一向量組能否作為基底,關鍵是判斷它們是否共面.如果從正面難以入手,可用反證法或利用一些常見的幾何圖形進行判斷. 用基底表示空間向量  如圖3­1­14所示,空間四邊形OABC中,G,H分別是△ABC,△OBC的重心,設=a,=b,=c,試用向量a,b,c表示向量. 【導學號:71392166】 圖3­1­14 [精彩點撥] →→ → →→ [自主解答]?。剑?,∵=, ∴=×(+)=(b+c), =+=+ =+(-)=+×(+) =a+(b+c), ∴=(b+c)-a-(b+c)=-a, 即=-a. [名師指津] 用基底表示向量的技巧 (1)定基底:根據(jù)已知條件,確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底. (2)找目標:用確定的基底(或已知基底)表示目標向量,需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變換、化簡,最后求出結(jié)果. (3)下結(jié)論:利用空間向量的一個基底{a,b,c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底,結(jié)果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. [再練一題] 1.如圖3­1­15所示,已知平行六面體ABCD­A1B1C1D1,設=a,=b,=c,P是CA1的中點,M是CD1的中點.用基底{a,b,c}表示以下向量: (1);(2). 圖3­1­15 [解] 如圖,在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中,連接AC,AD1, (1)=(+) =(++) =(a+b+c). (2)=(+)=(+2+)=a+b+c. 空間向量的坐標運算  如圖3­1­16,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點,并且PA=AB=1.試建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求向量的坐標. 圖3­1­16 [精彩點撥] 根據(jù)題意,以,,為單位正交基底,建立空間直角坐標系,再用,,表示向量,即可得到結(jié)果. [自主解答] 法一:∵PA=AB=AD=1,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, ∴,,是兩兩垂直的單位向量. 設=e1,=e2,=e3,以{e1,e2,e3}為基底建立空間直角坐標系A­xyz,如圖所示. ∵=++ =-++ =-++(+) =-++(++) =+=e2+e3,∴=. 法二:∵P(0,0,1),C(1,1,0), ∴N. 又∵M, ∴=. [名師指津]  1.本題的兩個解法出發(fā)點不同,法一側(cè)重于用基底表示,然后向坐標轉(zhuǎn)化;法二則是直接利用向量的坐標運算,更簡便. 2.運用坐標進行向量運算,實質(zhì)就是將向量運算轉(zhuǎn)化為數(shù)字運算,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運用. [再練一題] 2.已知ABCD­A1B1C1D1是棱長為2的正方體,E,F(xiàn)分別為BB1和DC的中點,建立如圖3­1­17所示的空間直角坐標系,試寫出,,的坐標. 圖3­1­17 [解] ∵D(0,0,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(xiàn)(0,1,0),∴=(2,2,2),=(2,2,1),=(0,1,0). 空間向量平行的坐標表示  已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設a=,b=. (1)設|c|=3,c∥,求c; (2)是否存在實數(shù)k,使(ka+b)∥(ka-2b)?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由. 【導學號:71392167】 [精彩點撥] 根據(jù)共線向量定理及空間向量平行的坐標表示可解. [自主解答] (1)由條件,易得=(-2,-1,2),因為c∥, 故設c=λ=λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ),又因為|c|=3, ∴4λ2+λ2+4λ2=9,解得λ=±1,故c的坐標為(-2,-1,2)或(2,1,-2). (2)a=(1,1,0),b=(-1,0,2),ka+b=(k-1,k,2). ka-2b=(k+2,k,-4),假設存在實數(shù)k,使(ka+b)∥(ka-2b),即存在實數(shù)λ,使ka+b=λ(ka-2b),即(k-1,k,2)=λ(k+2,k,-4), 即 解得λ=-,k=0, 所以存在實數(shù)k=0,使(ka+b)∥(ka-2b). [名師指津] 兩向量平行的充要條件有兩個:①a=λb, ②依此既可以判定兩向量共線,也可以通過兩向量平行求待定字母的值. [再練一題] 3.設a=(2,3,0),b=(-3,-2,1),計算2a+3b,5a-6b,并確定λ,μ的值,使λa+μb與向量b平行. [解] ∵a=(2,3,0),b=(-3,-2,1), ∴2a+3b=2(2,3,0)+3(-3,-2,1)=(4,6,0)+(-9,-6,3)=(-5,0,3), 5a-6b=5(2,3,0)-6(-3,-2,1)=(10,15,0)-(-18,-12,6)=(28,27,-6). ∵λa+μb=λ(2,3,0)+μ(-3,-2,1)=(2λ-3μ,3λ-2μ,μ),且(λa+μb)∥b, ∴==, ∴λ=0,μ∈R, 即λ=0,μ∈R時,λa+μb與b平行. 空間向量的坐標運算 [探究問題] 1.如何建立空間直角坐標系? [提示] (1)用空間向量的坐標運算解決問題的前提是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,為便于坐標的求解及運算,在建立空間直角坐標系時,要充分分析空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點,應使盡可能多的點在坐標軸上或坐標平面內(nèi). (2)進行向量的運算時,在能建系的情況下盡量建系化為坐標運算,并且按照右手系建系,如圖所示. 2.如何運用空間向量的坐標運算解決幾何問題? [提示] 運用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題的一般步驟: (1)建立恰當?shù)目臻g直角坐標系; (2)求出相關點的坐標; (3)寫出向量的坐標; (4)結(jié)合公式進行論證、計算; (5)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.  如圖3­1­18,在長方體OAEB­O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,點P在棱AA1上,且AP=2PA1,點S在棱BB1上,且SB1=2BS,點Q,R分別是棱O1B1,AE的中點. 圖3­1­18 求證:PQ∥RS. 【導學號:71392168】 [精彩點撥] 以O為原點,以,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標系,確定,的坐標,利用向量共線證明. [自主解答] 如圖,建立空間直角坐標系, 則A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2). ∵PA=2PA1,SB1=2BS, Q,R分別是棱O1B1,AE的中點,∴P,Q(0,2,2),R(3,2,0),S. 于是==,∴∥. ∵R?PQ,∴PQ∥RS. [再練一題] 4.已知四邊形ABCD的頂點坐標分別是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),求證:四邊形ABCD是一個梯形. [證明] ∵=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6), ∴==, ∴與共線,即AB∥CD. 又∵=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1), =(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2), ∴≠≠, ∴與不平行. ∴四邊形ABCD為梯形. [當 堂 達 標·固 雙 基] 1.設a=(1,2,3),b=(-2,2,-2),若(ka-b)∥(a+b),則k=________. [解析] ka-b=k(1,2,3)-(-2,2,-2)=(k+2,2k-2,3k+2),a+b=(-1,4,1).∵(ka-b)∥(a+b), ∴==3k+2,解得k=-1. [答案] -1 2.已知向量a=(-1,2,1),a+b=(0,1,2),則b=______. [解析] b=a+b-a=(0,1,2)-(-1,2,1)=(1,-1,1). [答案] (1,-1,1) 3.已知向量a=(2,-3,5)與向量b=平行,則λ等于________. 【導學號:71392169】 [解析] 法一:由題意知,存在實數(shù)k,使b=ka,即=k(2,-3,5),即 解得k=,λ=-. 法二:由a∥b,顯然λ≠0, 得==, ∴λ=-. [答案]?。? 4.在直三棱柱ABO­A1B1O1中,∠AOB=,AO=4,BO=2,AA1=4,D為A1B1的中點,在如圖3­1­19所示的空間直角坐標系中,,的坐標分別為________,________. 圖3­1­19 [解析] 由題意得,A(4,0,0),B(0,2,0),A1(4,0,4),B1(0,2,4),則D(2,1,4),∴=(-2,-1,-4),=(-4,2,-4). [答案] (-2,-1,-4) (-4,2,-4) 5.如圖3­1­20所示,已知平行六面體ABCD­A1B1C1D1,=-,=.設=a,=b,=c,試用a,b,c表示. 圖3­1­20 [解]?。剑? =-++ =-(+)++(-) =-a-b+c+b-c =-a+b+c. 11

注意事項

本文(2018-2019學年高中數(shù)學 第3章 空間向量與立體幾何 3.1 3.1.3 空間向量基本定理 3.1.4 空間向量的坐標表示學案 蘇教版選修2-1)為本站會員(彩***)主動上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請立即通知裝配圖網(wǎng)(點擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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