2018版高中數學 第一章 常用邏輯用語疑難規(guī)律方法學案 蘇教版選修1-1
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1、 第一章 常用邏輯用語 1 怎樣解邏輯用語問題 1.利用集合理清關系 充分(必要)條件是高中學段的一個重要概念,并且是理解上的一個難點.要解決這個難點,將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來,看得見、想得通,才是最好的方法.下面通過使用集合模型對充要條件的外延與內涵作了直觀形象的解釋,實踐證明效果較好.集合模型解釋如下: ①A是B的充分條件,即A?B.(如圖1) ②A是B的必要條件,即B?A.(如圖2) ③A是B的充要條件,即A=B.(如圖3) ④A是B的既不充分又不必要條件,即A∩B=?或A、B既有公共元素也有非公共元素.(如圖4) 或 圖4 例1 設集
2、合A,B是全集U的兩個子集,則AB是(?UA)∪B=U的______________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 解析 當AB時,如圖1所示,則(?UA)∪B=U成立;當A=B時,如圖2所示,則(?UA)∪B=(?UB)∪B=U成立,即當(?UA)∪B=U成立時,可有A?B. 故AB是(?UA)∪B=U的充分不必要條件. 答案 充分不必要 2.抓住量詞,對癥下藥 全稱命題與存在性命題是兩類特殊的命題,這兩類命題的否定又是這部分內容中的重要概念,解決有關此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質的量詞,理解其相應的含義,從而對癥下藥.
3、 例2 (1)已知命題p:“任意x∈[1,2],x2-a≥0”與命題q:“存在x∈R,x2+2ax+2+a=0”都是真命題,則實數a的取值范圍為______________. (2)已知命題p:“存在x∈[1,2],x2-a≥0”與命題q:“存在x∈R,x2+2ax+2+a=0”都是真命題,則實數a的取值范圍為____________. 解析 (1)將命題p轉化為“當x∈[1,2]時, (x2-a)min≥0”,即1-a≥0, 即a≤1. 由命題q知,方程有解,即Δ=(2a)2-4×(2+a)≥0, 解得a≤-1或a≥2.綜上所述,a≤-1. (2)命題p轉化為“當x∈[1,2]
4、時,(x2-a)max≥0”, 即4-a≥0,即a≤4. 命題q:a≤-1或a≥2. 綜上所述,a≤-1或2≤a≤4. 答案 (1)(-∞,-1] (2)(-∞,-1]∪[2,4] 點評 認真比較兩題就會發(fā)現,兩題形似而神異,所謂失之毫厘,謬之千里,需要我們抓住這類問題的本質——量詞,有的放矢. 3.挖掘等價轉化思想,提高解題速度 在四種命題的關系、充要條件、簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞中,時時刻刻滲透著等價轉化思想,例如互為逆否命題的兩個命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假,它們就是等價的;但原命題與逆命題不等價,即原命題為真,其逆命題不一定為真.
5、例3 設p:q:x2+y2≤r2 (r>0),若q是綈p的充分不必要條件,求r的取值范圍.
分析 “q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”.設p、q對應的集合分別為A、B,則可由A?RB出發(fā)解題.
解 設p、q對應的集合分別為A、B,將本題背景放到直角坐標系中,則點集A表示平面區(qū)域,點集?RB表示到原點距離大于r的點的集合,即圓x2+y2=r2外的點的集合.
∵A?RB表示區(qū)域A內的點到原點的最近距離大于r,
∴直線3x+4y-12=0上的點到原點的最近距離大于等于r.
∵原點O到直線3x+4y-12=0的距離為
d==,
∴r的取值范圍為0 6、點評 若直接解的話,q是綈p的充分不必要條件即為
x2+y2≤r2 (r>0)在p:所對應的區(qū)域的外部,也是可以解決的.但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價轉化為“p是綈q的充分不必要條件”,更好地體現了等價轉化思想.
2 辨析“命題的否定”與“否命題”
一、知識梳理
1.定義
定義
命題的否定
對原命題的結論進行否定得到的新命題
否命題
對原命題的條件和結論同時否定得到的新命題
2.真假關系表
原命題、命題的否定與否命題的真假關系表:
原命題
否定
否命題
真
假
與原命題的真假沒有關系
假
真
3.常用正面敘述詞語 7、及它的否定
詞語
等于
大于(>)
小于(<)
是
都是
詞語的否定
不等于
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
詞語
至多有
一個
至少有
一個
任意的
所有的
至多有
n個
p且q
p或q
詞語的
否定
至少有
兩個
一個也
沒有
某個
某些
至少有
n+1個
非p或
非q
非p
且非q
二、典例剖析
例1 寫出下列各命題的否定形式及否命題:
(1)面積相等的三角形是全等三角形;
(2)若xy=0,則x=0或y=0;
(3)若x,y都是奇數,則x+y是奇數.
分析 分清題設和條件,命 8、題的否定只否定結論,而否命題既否定題設,又否定結論.
解 (1)命題的否定:面積相等的三角形不是全等三角形;
否命題:面積不相等的三角形不是全等三角形.
(2)命題的否定:若xy=0,則x≠0且y≠0;
否命題:若xy≠0,則x≠0且y≠0.
(3)命題的否定:若x,y都是奇數,則x+y不是奇數;
否命題:若x,y不都是奇數,則x+y不是奇數.
點評 首先掌握“命題的否定”和“否命題”的區(qū)別和聯系,把握關鍵詞的否定,然后分清命題的條件和結論即可.
例2 寫出下列命題的否命題與命題的否定,并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假:
(1)若x2<4,則-2 9、>0且n>0,則m+n>0.
分析 依據定義分別寫出否命題與命題的否定.根據不等式及方程的性質逐個判斷其真假.
解 (1)否命題:“若x2≥4,則x≥2或x≤-2”;
命題的否定:“若x2<4,則x≥2或x≤-2”.
通過解不等式可以知道,原命題為真,否命題為真,命題的否定為假.
(2)否命題:“若m≤0或n≤0,則m+n≤0”;
命題的否定:“若m>0且n>0,則m+n≤0”.
由不等式的性質可以知道,原命題為真,否命題為假,命題的否定為假.
3 判斷條件四策略
1.定義法
定義法是判斷充要條件最基本、最適用的方法.步驟如下:
(1)分清條件與結論(p與q);
10、
(2)找推式:即判斷p?q及q?p的真假;
(3)下結論:?p是q的充分不必要條件,?p是q的必要不充分條件,
?p是q的充要條件,
?p是q的既不充分又不必要條件.
例1 設集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的______________條件.
解析 條件p:x∈M或x∈P;結論q:x∈P∩M.
若x∈M,則x不一定屬于P,
即x不一定屬于P∩M,所以p?q;
若x∈P∩M,則x∈M且x∈P,所以q?p.
綜上可知,“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分條件.
答案 必要不充分
2.利用傳遞性
充分、必 11、要條件在推導的過程當中具有傳遞性,即:若p?q,q?r,則p?r.
例2 如果A是B的必要不充分條件,B是C的充要條件,D是C的充分不必要條件,那么A是D的________條件.
解析 依題意知,有A?B?C?D且A?B?CD?D,由命題的傳遞性可知D?A,但A?D.于是A是D的必要不充分條件.
答案 必要不充分
3.集合法
適用于“當所要判斷的命題與方程的根、不等式的解集以及集合有關,或所描述的對象可以用集合表示時”的情況.
P={p},Q={q},利用集合間的包含關系加以判斷,具體情況如下:
(1)若P?Q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;
(2)若PQ,則p是q的 12、充分不必要條件,q是p的必要不充分條件;
(3)若P=Q,則p是q的充要條件(q也是p的充要條件);
(4)P?Q且Q?P,則p是q的既不充分又不必要條件.
例3 設p:(2x+1)2 13、,再去判斷.常用的是逆否等價法.
(1)綈q是綈p的充分不必要條件?p是q的充分不必要條件;
(2)綈q是綈p的必要不充分條件?p是q的必要不充分條件;
(3)綈q是綈p的充要條件?p是q的充要條件;
(4)綈q是綈p的既不充分又不必要條件?p是q的既不充分又不必要條件.
例4 給定兩個命題p,q,若綈p是q的必要不充分條件,則p是綈q的______________條件.
解析 因為綈p是q的必要不充分條件,所以綈q是p的必要不充分條件,即p是綈q的充分不必要條件.
答案 充分不必要
4 充分必要條件知識交匯例析
充分必要條件是邏輯關系的重要知識點,主要用來討論條件和 14、結論的關系,是理解或判斷一個命題與其相關命題之間關系的重要工具,也是命題轉化的主要依據.充分必要條件問題幾乎可以融匯所有不同的數學知識,因此用途極為廣泛.下面通過具體例子進行分析.
1.與集合的交匯
例1 若集合A={1,m2},B={2,4},則“m=2”是“A∩B={4}”的__________條件.
解析 當m=2時,集合A={1,4},又B={2,4},
所以A∩B={4}.
當A∩B={4}時,
m2=4,m=2或m=-2,
所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要條件.
答案 充分不必要
2.與函數性質的交匯
例2 已知函數f(x)=則“-2≤a≤0”是“ 15、f(x)在R上單調遞增”的____________條件.
解析 因為當-2≤a≤0時,0≤-≤1,-≥,所以當x≥1時,f(x)單調遞增;當x<1時,f(x)不一定單調遞增,故“-2≤a≤0”不是“f(x)在R上單調遞增”的充分條件.當f(x)在R上單調遞增時,則
?-≤a<0,
所以“-2≤a≤0”是“f(x)在R上單調遞增”的必要不充分條件.
答案 必要不充分
3.與不等式的交匯
例3 “10,所以2x+≥2.又a>1,所以2>2>1,所以“1
16、任意正數x,2x+≥1,即2≥1,解得a≥,所以“對任意正數x,2x+≥1”不是“1
17、
例5 設{an}是等比數列,則“a1 18、.
答案 必要不充分
7.與立體幾何的交匯
例7 已知E,F,G,H是空間四個點,命題甲:E,F,G,H四點不共面,命題乙:直線EF和GH不相交,則甲是乙成立的____________條件.
解析 由空間點的位置關系知,E,F,G,H四點不共面,則直線EF和GH不相交,反之,未必成立,故甲是乙成立的充分不必要條件.
答案 充分不必要
5 命題和充要條件錯誤剖析
1.考慮不周出錯
例1 判斷命題的真假:函數f(x)=ax2+2x-1只有一個零點,則a=-1.
錯解 因為函數f(x)=ax2+2x-1只有一個零點,所以Δ=22-4×(-1)×a=0,即a=-1.所以該命題 19、是真命題.
剖析 出現上述錯解的主要原因是由于沒考慮到函數f(x)的最高次項系數含字母參數a,應對字母參數是否為零進行討論.
正解 當a=0時,函數f(x)為一次函數,此時函數只有一個零點;當a≠0時,函數f(x)=ax2+2x-1只有一個零點,所以Δ=22-4×(-1)×a=0,即a=-1.所以,函數f(x)=ax2+2x-1只有一個零點,則a=-1或a=0.故原命題為假命題.
2.否命題否定錯誤
例2 寫出命題“若m2+n2+a2+b2=0,則實數m、n、a、b全為零”的否命題.
錯解 否命題為:若m2+n2+a2+b2=0,則實數m、n、a、b全不為零.
剖析 否命題是將原命 20、題的條件和結論分別否定.錯解是條件沒有否定,而結論否定為“不全為零”,卻錯誤地寫為“全不為零”.
正解 該命題的否命題為:“若m2+n2+a2+b2≠0,則實數m、n、a、b不全為零”.
3.判斷充要條件時出錯
例3 (1)設x∈R,則x>2成立的必要條件有________.(填上所有正確的序號)
①x>1;②x<1;③x>3;④x<3;⑤x>0.
錯解 因為x>3?x>2,所以x>2的一個必要條件為x>3.
答案?、?
剖析 錯解的主要原因是沒弄清“a是b的必要條件”和“a的必要條件是b”的真正含義,前者等價于b?a;后者等價于“b是a的必要條件”,即a?b.
正解 因為x>2 21、?x>1,所以x>2的一個必要條件為x>1.同理x>2?x>0,所以x>2的一個必要條件為x>0.
答案 ①⑤
(2)命題p:“向量a與向量b的夾角θ為銳角”是命題q:“a·b>0”的__________條件.
錯解 若向量a與向量b的夾角θ為銳角,
則cos θ=>0,即a·b>0;反之也成立,所以p是q的充要條件.
答案 充要
剖析 判斷兩個命題是否可以相互推導時,要注意特殊情況的判斷,以防判斷出現錯誤.
正解 若向量a與向量b夾角θ為銳角,則cos θ=>0?a·b>0;而當a·b>0時,θ=0°也成立,但此時a與b夾角不為銳角.故p是q的充分不必要條件.
答案 充分不必 22、要
6 例析邏輯用語中的常見誤區(qū)
誤區(qū)1 所有不等式、集合運算式都不是命題
例1 判斷下列語句是不是命題,若是命題,判斷其真假:
(1)x+2>0; (2)x2+2>0;
(3)A∩B=A∪B; (4)A?A∪B.
錯解 (1)、(2)、(3)、(4)都不是命題.
剖析 (1)中含有未知數x,且x不確定,所以x+2的值也不確定,故無法判斷x+2>0是否成立,不能判斷其真假,故(1)不是命題;
(2)x雖為未知數,但x2≥0,所以x2+2≥2,故可判斷x2+2>0成立,故(2)為真命題.
(3)若A=B,則A∩B=A∪B=A=B;
若AB,則A∩B=AA∪B= 23、B.
由于A,B的關系未知,所以不能判斷其真假,故(3)不是命題.
(4)A為A∪B的子集,故A?A∪B成立,故(4)為真命題.
正解 (2)、(4)是命題,且都為真命題.
誤區(qū)2 原命題為真,其否命題必為假
例2 判斷下列命題的否命題的真假:
(1)若a=0,則ab=0;
(2)若a2>b2,則a>b.
錯解 (1)因為原命題為真命題,故其否命題是假命題;
(2)因為原命題為假命題,故其否命題為真命題.
剖析 否命題的真假與原命題的真假沒有關系,否命題的真假不能根據原命題的真假來判斷,應先寫出命題的否命題,再判斷.
正解 (1)否命題:若a≠0,則ab≠0,是假 24、命題;
(2)否命題:若a2≤b2,則a≤b,是假命題.
誤區(qū)3 用“且”“或”聯結命題時只聯結條件或結論
例3 (1)已知p:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11;q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2,試寫出p∨q.
(2)p:四條邊相等的四邊形是正方形;q:四個角相等的四邊形是正方形,試寫出p∧q.
錯解 (1)p∨q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或x=2.
(2)p∧q:四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形.
剖析 (1)(2)兩題中p,q都是假命題,所以“p∨q”,“p∧q”也都應是假命題.而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題.錯誤 25、原因:(1)只聯結了兩個命題的結論;(2)只聯結了兩個命題的條件.
正解 (1)p∨q:方程(x-11)(x-2)=0的根是x=11或方程(x-11)(x-2)=0的根是x=2.
(2)p∧q:四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形.
誤區(qū)4 對含有一個量詞的命題否定不完全
例4 已知命題p:存在一個實數x,使得x2-x-2<0,寫出綈p.
錯解一 綈p:存在一個實數x,使得x2-x-2≥0.
錯解二 綈p:對任意的實數x,都有x2-x-2<0.
剖析 該命題是存在性命題,其否定是全稱命題,但錯解一中得到的綈p仍是存在性命題,顯然只對結論進行了否定,而沒有對存在量 26、詞進行否定;錯解二中只對存在量詞進行了否定,而沒有對結論進行否定.
正解 綈p:對任意的實數x,都有x2-x-2≥0.
誤區(qū)5 忽略了隱含的量詞
例5 寫出下列命題的否定:
(1)p:若2x>4,則x>2;
(2)p:可以被5整除的數末位是0;
(3)p:能被8整除的數也能被4整除.
錯解 (1)綈p:若2x>4,則x≤2.
(2)綈p:可以被5整除的數末位不是0.
(3)綈p:能被8整除的數不能被4整除.
剖析 由于有些全稱命題或存在性命題隱含了量詞,從而導致未變化量詞而直接否定結論出現錯誤.
正解 (1)綈p:存在x,使得若2x>4,則x≤2.
(2)綈p:存在 27、可以被5整除的數末位不是0.
(3)綈p:存在能被8整除的數不能被4整除.
7 解“邏輯”問題的三意識
1.轉化意識
由于互為逆否的兩個命題同真假,因此,當原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時,可以轉化為逆否命題的真假來判斷或證明.
例1 證明:若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1.
分析 本題直接證明原命題是真命題,顯然不太容易,可考慮轉化為證明它的逆否命題是真命題.
證明 命題“若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1”的逆否命題是“a-b=1,則a2-b2+2a-4b-3=0”.由a-b=1,得a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a- 28、b)+2(a-b)-2b-3=a-b-1=0.
∵原命題的逆否命題是真命題,
∴原命題也是真命題.
故若a2-b2+2a-4b-3≠0,則a-b≠1.
例2 已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若p是q的充分不必要條件,求正實數a的取值范圍.
分析 將充分、必要條件轉化為集合之間的關系,進而轉化為集合運算問題.
解 解不等式x2-8x-20>0,
得p:A={x|x>10或x<-2};
解不等式x2-2x+1-a2>0,
得q:B={x|x>1+a或x<1-a,a>0}.
依題意p?q,但q? p,說明AB.
于是有或解得0
29、數a的取值范圍是(0,3].
2.簡化意識
判斷命題真假的關鍵:一是識別命題的構成形式;二是分別將各命題簡化,對等價的簡化命題進行判斷.
例3 已知命題p:函數y=log0.5(x2+2x+a)的值域為R,命題q:函數y=-(5-2a)x是R上的減函數.若p或q為真命題,p且q為假命題,則實數a的取值范圍是________.
分析 先將命題p,q等價轉化,再根據題意構建關于a的關系式,從而得到a的取值范圍.
解析 函數y=log0.5(x2+2x+a)的值域為R,即y=x2+2x+a的值域是(0,+∞),即在方程x2+2x+a=0中,Δ=4-4a≥0?a≤1,即p真?a≤1;
函數 30、y=-(5-2a)x是減函數?5-2a>1?a<2,
即q真?a<2.
由p或q為真命題,p且q為假命題知,命題p,q中必有一真一假.若p真q假,則無解;若p假q真,則1
”是“sin A>”的__________條件.
解析 在△ABC中,當A>且A∈時,sin A<,故“A>”不是“sin A>”的充分條件.但當sin A>時,A>一定成立,所以“A>”是“sin A>”的必要不充分條件
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