7、用
題點 有限制條件的組合問題
答案 C
解析 若從正面考慮，需分當a3＝9時，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6類；當a3＝8時，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6類；…分類較多，而其對立面a3－a2>6包含的情況較少，當a3＝9時，a2取2，a1取1，只有這一種情況，利用正難則反思想解決．
集合S的含有三個元素的子集的個數(shù)為C＝84.在這些含有三個元素的子集中能滿足a16的集合只有{1,2,9}，故滿足題意的集合A的個數(shù)為84－1＝83.
反思與感悟 對于正面處理較復雜或不易求解的問題，常常從問題的對立面去思考．
跟蹤訓練2 由甲、乙、丙、丁4
8、名學生參加數(shù)學、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報一科)，若學生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有________種．
考點 排列組合綜合問題
題點 排列與組合的綜合應用
答案 30
解析 從4人中選出兩個人作為一個元素有C種方法，
同其他兩個元素在三個位置上排列有CA＝36(種)方案，其中有不符合條件的，
即學生甲、乙同時參加同一競賽有A種方法，
∴不同的參賽方案共有36－6＝30(種)．
類型二 排列與組合的綜合應用
例3 在高三一班元旦晚會上，有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目．
(1)當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？
(2
9、)當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？
(3)若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？
考點 排列組合綜合問題
題點 分組分配問題
解 (1)第一步先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有A＝5 040(種)方法；第二步再松綁，給4個節(jié)目排序，有A＝24(種)方法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有5 040×24＝120 960(種)安排順序．
(2)第一步將6個演唱節(jié)目排成一列(如圖中的“□”)，一共有A＝720(種)方法．
×□×□×□×□
10、×□×□×
第二步再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間(即圖中“×”的位置)這樣相當于7個“×”選4個來排，一共有A＝840(種)方法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有720×840＝ 604 800(種)安排順序．
(3)若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有A種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有＝A＝132(種)排列．
反思與感悟 排列與組合的綜合問題，首先要分清何時為排列，何時為組合．對含有特殊元素的排列、組合問題，一般先進行組合，再進行排列．對特殊元素的位置有要求時，在組合選取時，就要進行分類討論，分類的原則是不重、不漏．在用間接法計數(shù)時，要注意考
11、慮全面，排除干凈．
跟蹤訓練3 在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如：“102”“546”為駝峰數(shù)，由數(shù)字1,2,3,4,5這5個數(shù)字構(gòu)成的無重復數(shù)字的“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為________．
考點 排列的應用
題點 數(shù)字的排列問題
答案 30
解析 三位“駝峰數(shù)”中1在十位的有A個，2在十位上的有A個，3在十位上的有A個，所以所有的三位“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為12×1＋6×2＋2×3＝30.
類型三 二項式定理及其應用
例4 已知在n的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是56∶3.
(1)求展開式中的所有有理項；
(
12、2)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項；
(3)求n＋9C＋81C＋…＋9n－1C的值．
考點 二項式定理的應用
題點 二項式定理的簡單應用
解 (1)由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3，解得n＝10(負值舍去)，
通項為Tk＋1＝C()10－kk＝(－2)kC，
當5－為整數(shù)時，k可取0,6，
于是有理項為T1＝x5和T7＝13 440.
(2)設第k＋1項系數(shù)的絕對值最大，則
解得
又因為k∈{1,2,3，…，9}，
所以k＝7，當k＝7時，T8＝－15 360，
又因為當k＝0時，T1＝x5，
當k＝10時，T11＝(－2)10＝1 024，
所以系數(shù)的絕對值最
13、大的項為T8＝－15 360.
(3)原式＝10＋9C＋81C＋…＋910－1C
＝
＝
＝＝.
反思與感悟 (1)確定二項式中的有關元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關元素．
(2)確定二項展開式中的常數(shù)項：先寫出其通項公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項數(shù)，然后代入通項公式，即可確定常數(shù)項．
(3)求二項展開式中條件項的系數(shù)：先寫出其通項公式，再由條件確定項數(shù)，然后代入通項公式求出此項的系數(shù)．
(4)求二項展開式中各項系數(shù)的和差：賦值代入．
(5)確定二項展開式中的系數(shù)最大或最小項：利用二項式系數(shù)的性質(zhì)．
跟蹤訓練4 已知二項式n展開式中
14、各項系數(shù)之和是各項二項式系數(shù)之和的16倍．
(1)求n；
(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
(3)求展開式中所有有理項．
考點 二項式定理的應用
題點 二項式定理的簡單應用
解 (1)令x＝1得二項式n展開式中各項系數(shù)之和為(5－1)n＝4n，各項二項式系數(shù)之和為2n，
由題意得，4n＝16·2n，所以2n＝16，n＝4.
(2)通項Tk＋1＝C(5x)4－kk
＝(－1)kC54－k·，
展開式中二項式系數(shù)最大的項是第3項：
T3＝(－1)2C52x＝150x.
(3)由(2)得4－k∈Z(k＝0,1,2,3,4)，即k＝0,2,4，
所以展開式中所有有理項為
15、
T1＝(－1)0C54x4＝625x4，
T3＝(－1)2C52x＝150x，
T5＝(－1)4C50x－2＝x－2.
例5 若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a2；
(2)求a1＋a2＋…＋a10；
(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.
考點 展開式中系數(shù)的和問題
題點 多項展開式中系數(shù)的和問題
解 (1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，
a2是展開式中x2的系數(shù)，
∴a2＝C(－1)5C(－2)3＋C(－1)4C(－2)4＋C(－1)3·C(－2)5＝800.
16、(2)令x＝1，代入已知式可得，
a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(3)令x＝－1可得，
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，
再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，
把這兩個等式相乘可得，
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.
反思與感悟 與二項式系數(shù)有關，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦
17、值法，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點和所求式子的關系，確定給字母所賦的值，有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和時，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果．
跟蹤訓練5 若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為________．
考點 展開式中系數(shù)的和問題
題點 多項展開式中系數(shù)的和問題
答案 5
解析 令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，
令x＝3，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32
18、＋1)(3－3)9＝0，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.
1．設4名學生報名參加同一時間安排的3項課外活動方案有a種，這4名學生在運動會上共同爭奪100米、跳遠、鉛球3項比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種，則(a，b)為( )
A．(34，34) B．(43，34)
C．(34，43) D．(A，A)
考點 分步乘法計數(shù)原理
題點 分步乘法計數(shù)原理的應用
答案 C
解析 由題意知本題是一個分步乘法問題，首先每名學生報名有3種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知4名學生共有34種選擇，每項冠軍有4種可能結(jié)果，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知3項冠軍共有43種可能結(jié)果．故選C.
19、
2．5名大人帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)有( )
A．A·A種 B．A·A種
C．A·A種 D．A－4A種
考點 排列的應用
題點 元素“在”與“不在”問題
答案 A
解析 先排大人，有A種排法，去掉頭尾后，有4個空位，再分析小孩，用插空法，將2個小孩插在4個空位中，有A種排法，由分步乘法計數(shù)原理可知，有A·A種不同的排法，故選A.
3．我省高中學校自實施素質(zhì)教育以來，學生社團得到迅猛發(fā)展．某校高一新生中的五名同學打算參加“春暉文學社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個社團．若每個社團至少有一名同學參加，每名同學至
20、少參加一個社團且只能參加一個社團，且同學甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為( )
A．72 B．108 C．180 D．216
考點 排列組合綜合問題
題點 排列與組合的綜合應用
答案 C
解析 根據(jù)題意，分析可得，必有2人參加同一社團，首先分析甲，甲不參加“圍棋苑”，則其有3種情況，再分析其他4人，若甲與另外1人參加同一個社團，則有A＝24(種)情況，若甲是1個人參加一個社團，則有C·A＝36(種)情況，則除甲外的4人有24＋36＝60(種)情況，故不同的參加方法的種數(shù)為3×60＝180(種)，故選C.
4．(x－2y)6的展開式中，x4y2的系數(shù)為( )
21、A．15 B．－15 C．60 D．－60
考點 二項展開式中的特定項問題
題點 求二項展開式特定項的系數(shù)
答案 C
解析 (x－2y)6展開式的通項為Tk＋1＝C·x6－k·(－2y)k，令k＝2，得T3＝C·x4·(－2y)2＝60x4y2，所以x4y2的系數(shù)為60，故選C.
5．若n的展開式的系數(shù)和為1，二項式系數(shù)和為128，則展開式中x2的系數(shù)為________．
考點 展開式中系數(shù)的和問題
題點 二項展開式中系數(shù)的和問題
答案 －448
解析 由題意得
所以n＝7，a＝－1，
所以7展開式的通項為Tk＋1
＝C(2)7－kk＝C27－k(－1)k，
令
22、＝2，得k＝1.
所以x2的系數(shù)為C26(－1)1＝－448.
1．排列與組合
(1)排列與組合的區(qū)別在于排列是有序的，而組合是無序的．
(2)排列問題通常分為無限制條件和有限制條件，對于有限制條件的排列問題，通常從以下兩種途徑考慮：
①元素分析法：先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素．
②位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置．
(3)排列與組合綜合應用是本章內(nèi)容的重點與難點，一般方法是先分組，后分配．
2．二項式定理
(1)與二項式定理有關，包括定理的正向應用、逆向應用，題型如證明整除性、近似計算、證明一些簡單的組合恒等式等，此時主要是要構(gòu)造二項式，合理應用
23、展開式．
(2)與通項公式有關，主要是求特定項，比如常數(shù)項、有理項、x的某次冪等，此時要特別注意二項展開式中第k＋1項的通項公式是Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1，…，n)，其中二項式系數(shù)是C，而不是C，這是一個極易錯點．
(3)與二項式系數(shù)有關，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和等主要方法是賦值法．
一、選擇題
1．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有( )
A．10種 B．20種
C．25種 D．32種
考點 分步乘法計數(shù)原
24、理
題點 分步乘法計數(shù)原理的應用
答案 D
解析 5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有25＝32(種)，故選D.
2．某城市的街道如圖，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法有( )
A．8種 B．10種
C．12種 D．32種
考點 組合的應用
題點 有限制條件的組合問題
答案 B
解析 根據(jù)題意，要求從A地到B地路程最短，必須只向下或向右行走即可．分別可得，需要向下走2次，向右走3次，共5次，從5次中選3次向右，剩下2次向下即可，則有C＝10(種)不同走法．
3．4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場音樂會，出場
25、順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，則出場方案的種數(shù)是( )
A．6A B．3A
C．2A D．AAA
考點 排列的應用
題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題
答案 D
解析 先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，并把他們捆綁在一起，看做一個元素和另外的3名男歌手進行全排列，故有AAA種不同的出場方案．
4．在6的展開式中，含x7的項的系數(shù)是( )
A．180 B．160
C．240 D．60
考點 二項展開式中的特定項問題
題點 求二項展開式特定項的系數(shù)
答案 C
解析 6的展開式的通項為Tk＋1
＝C(2x2)6－kk＝(－1)k26－k
26、C，
令12－k＝7，得k＝2，即含x7項的系數(shù)為(－1)224C＝240.
5．已知8的展開式中常數(shù)項為1 120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是( )
A．28 B．38
C．1或38 D．1或28
考點 展開式中系數(shù)的和問題
題點 二項展開式中系數(shù)的和問題
答案 C
解析 由題意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2.令x＝1，得展開式中各項系數(shù)的和為1或38.
6．(1－x)13的展開式中系數(shù)最小的項為( )
A．第6項 B．第8項
C．第9項 D．第7項
考點 展開式中系數(shù)最大(小)的項問題
題點 求展開式中系數(shù)最大(小)
27、的項
答案 B
解析 依據(jù)二項式系數(shù)與項的系數(shù)的關系來解決．展開式中共有14項，中間兩項(第7,8項)的二項式系數(shù)最大．由于二項展開式中二項式系數(shù)和項的系數(shù)滿足奇數(shù)項相等，偶數(shù)項互為相反數(shù)，所以系數(shù)最小的項為第8項，系數(shù)最大的項為第7項．故選B.
7．航天員在進行一項太空實驗時，先后要實施6個程序，其中程序B和C都與程序D不相鄰，則實驗順序的編排方法共有( )
A．216種 B．180種
C．288種 D．144種
考點 排列的應用
題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題
答案 C
解析 當B，C相鄰，且與D不相鄰時，有AAA＝144(種)方法；當B，C不相鄰，且都與D
28、不相鄰時，有AA＝144(種)方法．故共有288種編排方法．
8．某校高二年級共有6個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的2個班級中且每班安排2名，則不同的安排方法種數(shù)為( )
A．AC B.AC
C．AA D．2A
考點 排列組合綜合問題
題點 排列與組合的綜合應用
答案 B
解析 將4人平均分成兩組有C種方法，將這兩組分配到6個班級中的2個班有A種方法．所以不同的安排方法有CA種．
二、填空題
9．設二項式6的展開式中x2的系數(shù)為A，常數(shù)項為B，若B＝4A，則a＝________.
考點 二項展開式中的特定項問題
題點 由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)
29、
答案 －3
解析 因為二項式6的展開式中x2的系數(shù)為A＝Ca2＝15a2；
常數(shù)項為B＝－Ca3＝－20a3.
因為B＝4A，所以－20a3＝4×15a2，所以a＝－3.
10．某運動隊有5對老搭檔運動員，現(xiàn)抽派4名運動員參加比賽，則這4人都不是老搭檔的抽派方法數(shù)為________．
考點 組合的應用
題點 有限制條件的組合問題
答案 80
解析 先抽派4對老搭檔運動員，再從每對老搭檔運動員中各抽派1人，故有CCCCC＝80(種)抽派方法．
11．高三(三)班學生要安排畢業(yè)晚會的3個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求2個舞蹈節(jié)目不連排，3個音樂節(jié)目恰有2個
30、節(jié)目連排，則不同排法的種數(shù)是________．
考點 排列的應用
題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題
答案 288
解析 先從3個音樂節(jié)目中選取2個排好后作為1個節(jié)目，有A種排法，這樣共有5個節(jié)目，其中2個音樂節(jié)目不連排，2個舞蹈節(jié)目不連排．如圖，若曲藝節(jié)目排在5號(或1號)位置，則有4AA＝16(種)排法；若曲藝節(jié)目排在2號(或4號)位置，則有4AA＝16(種)排法；若曲藝節(jié)目排在3號位置，則有2×2AA＝16(種)排法．故共有不同排法A×(16×3)＝288(種).
1
2
3
4
5
三、解答題
12．現(xiàn)有5名教師要帶3個不同的興趣小組外出學習考察，要求每個興趣
31、小組的帶隊教師至多2人，但其中甲教師和乙教師均不能單獨帶隊，求不同的帶隊方案有多少種？
考點 排列組合綜合問題
題點 排列與組合的綜合應用
解 第一類，把甲、乙看做一個復合元素，和另外的3人分配到3個小組中，有CA＝18(種)，
第二類，先把另外的3人分配到3個小組，再把甲、乙分配到其中2個小組，有AA＝36(種)，
根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有18＋36＝54(種)．
13．已知n(n∈N*)的展開式的各項系數(shù)之和等于5的展開式中的常數(shù)項，求n的展開式中含a－1項的二項式系數(shù)．
考點 二項式定理的應用
題點 二項式定理的簡單應用
解 5的展開式的通項為
Tk＋1＝C(4
32、)5－kk
＝C·(－1)k·45－k··，
令10－5k＝0，得k＝2，
此時得常數(shù)項為T3＝C·(－1)2·43·5－1＝27.
令a＝1，得n的展開式的各項系數(shù)之和為2n，
由題意知2n＝27，所以n＝7，
所以7的展開式的通項為
Tk＋1＝C7－k·(－)k
＝C·(－1)k·37－k·.
令＝－1，得k＝3，
所以n的展開式中含a－1項的二項式系數(shù)為C＝35.
四、探究與拓展
14.n展開式中的第7項與倒數(shù)第7項的系數(shù)比是1∶6，則展開式中的第7項為______．
考點 二項式定理的應用
題點 二項式定理的簡單應用
答案
解析 第7項為T7＝C()n
33、－66，
倒數(shù)第7項為Tn－5＝C()6n－6，
由＝，得n＝9，
故T7＝C()9－66＝C·2·＝.
15．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)．
(1)可組成多少個不同的四位數(shù)？
(2)可組成多少個四位偶數(shù)？
(3)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85項是什么？
考點 排列的應用
題點 數(shù)字的排列問題
解 (1)用間接法，從6個數(shù)中，任取4個組成4位數(shù)，有A種情況，
但其中包含0在首位的有A種情況，
依題意可得，有A－A＝300(個)．
(2)根據(jù)題意，分0在末尾與不在末尾兩種情況討論，
0在末尾時，有A種情況，
0不在末尾時，有AAA種情況，
由分類加法計數(shù)原理，共有A＋AAA＝156(個)．
(3)千位是1的四位數(shù)有A＝60(個)，
千位是2，百位是0或1的四位數(shù)有2A＝24(個)，
∴第85項是2 301.
15
2018-2019版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理章末復習學案 新人教A版選修2-3
