《2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 5.1 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 5.2 對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像和性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 5.1 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 5.2 對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像和性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修1（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 5．1　對(duì)數(shù)函數(shù)的概念 5．2　對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖像和性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念以及對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系(重點(diǎn))；2.了解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，并會(huì)求指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的反函數(shù)(重、難點(diǎn))；3.會(huì)畫具體函數(shù)的圖像(重點(diǎn))． 預(yù)習(xí)教材P89－93完成下列問題： 知識(shí)點(diǎn)一　對(duì)數(shù)函數(shù) 一般地，我們把函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，a叫作對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，x是真數(shù)，定義域是(0，＋∞)，值域是R． 兩類特殊的對(duì)數(shù)函數(shù) 常用對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝lgx，其底數(shù)為10． 自然對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝lnx，其底數(shù)為無理數(shù)e． 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 1．下

2、列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是(　　) A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 解析　由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知y＝ln x是對(duì)數(shù)函數(shù)，其余三個(gè)均不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的特征． 答案　A 2．函數(shù)f(x)＝log2(x－1)的定義域是________． 解析　由題意知x－1>0，即x>1，故定義域?yàn)?1，＋∞)． 答案　(1，＋∞) 知識(shí)點(diǎn)二　反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的反函數(shù)；同時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)也是指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的反函數(shù)，即同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為

3、反函數(shù)． 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 1．你能把指數(shù)式y(tǒng)＝ax(a>0，a≠1)化成對(duì)數(shù)式嗎？在這個(gè)對(duì)數(shù)式中，x是y的函數(shù)嗎？ 提示　根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得x＝logay(a>0，a≠1)．因?yàn)閥＝ax是單調(diào)函數(shù)，每一個(gè)y都有唯一確定的x與之對(duì)應(yīng)，所以x是y的函數(shù)． 2．函數(shù)y＝ax的定義域和值域與y＝logax的定義域和值域有什么關(guān)系？ 提示　對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域是指數(shù)函數(shù)y＝ax的值域，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的值域是指數(shù)函數(shù)y＝ax的定義域． 知識(shí)點(diǎn)三　函數(shù)y＝log2x的圖像和性質(zhì) 觀察函數(shù)y＝log2x的圖像可得： 圖像特征 函數(shù)性質(zhì) 過點(diǎn)(1,0) 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0

4、 在y軸的右側(cè) 定義域是(0，＋∞) 向上、向下無限延伸 值域是R 在直線x＝1右側(cè)，圖像位于x軸上方；在直線x＝1左側(cè)，圖像位于x軸下方 若x>1，則y>0；若0

5、　(1)如圖 (2)在(0，＋∞)內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝2x與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x均單調(diào)遞增． 題型一　對(duì)數(shù)函數(shù)的定義 【例1】　判斷下列函數(shù)是否是對(duì)數(shù)函數(shù)？并說明理由． ①y＝logax2(a>0，且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝2log8x；④y＝logxa(x>0，且x≠1)；⑤y＝log5x． 解　因?yàn)棰僦姓鏀?shù)是x2，而不是x，所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)； 因?yàn)棰谥衴＝log2x－1常數(shù)項(xiàng)為－1，而非0，故不是對(duì)數(shù)函數(shù)；因?yàn)棰壑衛(wèi)og8x前的系數(shù)是2，而不是1，所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)；因?yàn)棰苤械讛?shù)是自變量x，而非常數(shù)a，所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)．⑤為對(duì)數(shù)函數(shù)． 規(guī)律方法　判斷一個(gè)函數(shù)

6、是否是對(duì)數(shù)函數(shù)的方法 (1)看形式：判斷一個(gè)函數(shù)是否是對(duì)數(shù)函數(shù)，關(guān)鍵是看解析式是否符合y＝logax(a>0且a≠1)這一結(jié)構(gòu)形式． (2)明特征：對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式具有三個(gè)特征： ①系數(shù)為1； ②底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)； ③對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量x． 只要有一個(gè)特征不具備，則不是對(duì)數(shù)函數(shù)． 【訓(xùn)練1】　(1)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log(a－3)(7－a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，7) B．(3,7) C．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞) (2)若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過點(diǎn)，求f(2)． (1)解析　由題

7、意得解得32且x≠3， 所以定義域?yàn)?2,3)∪(3，＋∞)． (2)由即 解得－1

8、的不等式(組)． (2)解不等式(組)：根據(jù)不等式(組)的解法步驟求出x滿足的范圍． (3)結(jié)論：寫出函數(shù)的定義域． 提醒　(1)通過建立不等關(guān)系求定義域時(shí)，要注意解集為各不等關(guān)系解集的交集． (2)當(dāng)對(duì)數(shù)型函數(shù)的底數(shù)含字母時(shí)，在求定義域時(shí)要注意分類討論． 【訓(xùn)練2】　函數(shù)y＝lg的定義域?yàn)?　　) A. B． C．(2，＋∞) D． 解析　要使函數(shù)y＝lg有意義需2x－3>0，即x>． 答案　A 題型三　求反函數(shù) 【例3】　求下列函數(shù)的反函數(shù)． (1)y＝10x；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝log7x． 解　(1)指數(shù)函數(shù)y＝10x，它的底數(shù)是10，它

9、的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lg x． (2)指數(shù)函數(shù)y＝x，它的底數(shù)是，它的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝x． (3)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝x，它的底數(shù)是，它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y＝x． (4)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log7x，它的底數(shù)是7，它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y＝7x． 規(guī)律方法　(1)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)． (2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的定義域、值域相反，并且反函數(shù)是相對(duì)而言的． (3)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱． 【訓(xùn)練3】　寫出下列函數(shù)的反函數(shù)(用x表示自變量，y表示函數(shù))． (1)y＝2.5x；(2)y＝x． 解　(1)函數(shù)y＝2.5x的反函數(shù)是y＝log

10、2.5x(x>0)． (2)由y＝x得x＝y(tǒng)，所以函數(shù)y＝x的反函數(shù)為y＝x. 互動(dòng) 探究 　題型四　函數(shù)y＝log2x的圖像與性質(zhì) 【探究1】　根據(jù)函數(shù)f(x)＝log2x的圖像和性質(zhì)求解以下問題： (1)若f(a)>f(2)，求a的取值范圍； (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值． 解　函數(shù)y＝log2x的圖像如圖． (1)∵y＝log2x是增函數(shù)， 若f(a)>f(2)，即log2a>log22，則a>2． ∴a的取值范圍為(2，＋∞)． (2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27， ∴l(xiāng)og23≤log2(2x－1)≤log227

11、． ∴函數(shù)y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值為log23，最大值為log227． 【探究2】　(1)比較log2與log2的大?。? (2)若log2(2－x)>0，求x的取值范圍． 解　(1)函數(shù)f(x)＝log2x在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 又∵>，∴l(xiāng)og2>log2． (2)log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21， ∵函數(shù)y＝log2x為增函數(shù)， ∴2－x>1，即x<1． ∴x的取值范圍為(－∞，1)． 【探究3】　作出函數(shù)y＝|log2(x＋1)|＋2的圖像，并說明其單調(diào)性． 解　第一步：作出y＝log2x的圖像[如圖(1)所示

12、]． 第二步：將y＝log2x的圖像沿x軸向左平移1個(gè)單位長度，得y＝log2(x＋1)的圖像[如圖(2)所示]． 第三步：將y＝log2(x＋1)的圖像在x軸下方的部分以x軸為對(duì)稱軸翻折到x軸的上方，得y＝|log2(x＋1)|的圖像[如圖(3)所示]． 第四步：將y＝|log2(x＋1)|的圖像沿y軸方向向上平移2個(gè)單位長度，得y＝|log2(x＋1)|＋2的圖像[如圖(4)所示]． 規(guī)律方法　1.函數(shù)f(x)＝log2x是最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)．它在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的．利用單調(diào)性可以解不等式，求函數(shù)值域，比較對(duì)數(shù)值的大小． 2．(1)一般地，函數(shù)y＝f(x±a)±b(a，

13、b均為正數(shù))的圖像可由函數(shù)y＝f(x)的圖像變換得到． 將y＝f(x)的圖像向左或向右平移a個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝f(x±a)的圖像，再向上或向下平移b個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝f(x±a)±b的圖像(記憶口訣：左加右減，上加下減)． (2)含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖像變換是一種對(duì)稱變換．一般地，y＝f(|x－a|)的圖像是關(guān)于直線x＝a對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形；函數(shù)y＝|f(x)|的圖像與y＝f(x)的圖像在x軸上方相同，在x軸下方關(guān)于x軸對(duì)稱． (3)y＝f(x)的圖像與y＝f(－x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，y＝f(x)的圖像與y＝－f(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱． 課堂達(dá)標(biāo) 1．函數(shù)f(x)＝lg(

14、x－1)＋的定義域?yàn)?　　) A．(1,4] B．(1,4) C．[1,4] D．[1,4) 解析　解得11， ∴原函數(shù)的定義域是． 課堂小結(jié) 1．解與對(duì)數(shù)有關(guān)的問題，首先要保證在定義域范圍內(nèi)解題，即真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1，函數(shù)定義域的結(jié)果一定要寫成集合或區(qū)間的形式． 2．指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們定義域與值域互反，圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱． 3．應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用． 7