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2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大(?。┲?第2課時 函數(shù)的最大(小)值教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大(?。┲?第2課時 函數(shù)的最大(?。┲到虒W(xué)案 新人教A版必修第一冊_第1頁
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2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大(?。┲?第2課時 函數(shù)的最大(?。┲到虒W(xué)案 新人教A版必修第一冊_第2頁
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1、第2課時 函數(shù)的最大(小)值 (教師獨具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn):1.理解函數(shù)最大(小)值的含義并會用符號語言表達(dá)函數(shù)的最大(小)值.2.會求簡單函數(shù)的最大(小)值.3.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的最值. 教學(xué)重點:1.函數(shù)最大(小)值的含義及其幾何意義.2.求一些簡單函數(shù)的最值. 教學(xué)難點:求較復(fù)雜函數(shù)的最值. 【知識導(dǎo)學(xué)】 知識點一   函數(shù)的最大值 (1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足: ①?x∈I,都有f(x)≤M; ②?x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值. (2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)的最大

2、值是圖象最高點的縱坐標(biāo). 知識點二   函數(shù)的最小值 (1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足: ①?x∈I,都有f(x)≥M; ②?x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值. (2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)的最小值是圖象最低點的縱坐標(biāo). 【新知拓展】 (1)并不是每一個函數(shù)都有最值,如函數(shù)y=,既沒有最大值,也沒有最小值. (2)有些函數(shù)只有最大(小)值,沒有最小(大)值,如函數(shù)y=-x2(y=x2). (3)特別地,對于常函數(shù)f(x)=C,它的最大值和最小值都是C. 1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“

3、×”) (1)任何函數(shù)都有最大值或最小值.(  ) (2)函數(shù)的最小值一定比最大值?。?  ) (3)若函數(shù)y=f(x)有最大值,則這個最大值唯一.(  ) (4)若函數(shù)y=f(x)的最大值是M,則使f(x0)=M的x0是唯一的.(  ) (5)對于函數(shù)y=f(x),如果它的函數(shù)值都不小于3,那么該函數(shù)的最小值是3.(  ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)函數(shù)f(x)=x2在[0,1]上的最大值是________. (2)函數(shù)y=在[2,6]上的最大值與最小值之和等于________. (3)函數(shù)y=2

4、x2+2,x∈N*的最小值是________. 答案 (1)1 (2) (3)4 題型一 利用圖象求函數(shù)最值 例1 (1)已知函數(shù)f(x)=求f(x)的最大值、最小值; (2)畫出函數(shù)f(x)=的圖象,并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最小值. [解] (1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖). 由圖象可知,當(dāng)x=±1時,f(x)取最大值為f(±1)=1;當(dāng)x=0時,f(x)取最小值f(0)=0, 故f(x)的最大值為1,最小值為0. (2)f(x)的圖象如圖所示, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和[0,+∞),函數(shù)的最小值為f(0)=-1. 金版點睛

5、圖象法求最值的一般步驟  求函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的最大值和最小值. 解 y=|x+1|-|x-2| = 作出函數(shù)的圖象,如圖所示. 由圖可知,y∈[-3,3].所以函數(shù)的最大值為3,最小值為-3. 題型二 利用單調(diào)性求函數(shù)最值 例2 求函數(shù)f(x)=x+在x∈[1,3]上的最大值與最小值. [解] 設(shè)1≤x1<x2≤3,則f(x1)-f(x2)=x1-x2+-=(x1-x2). 又因為x10, 所以f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減. 當(dāng)2

6、時,1->0, 所以f(x1)-f(x2)<0. 所以f(x)在(2,3]上單調(diào)遞增. 所以f(x)的最小值為f(2)=2+=4. 又因為f(1)=5,f(3)=3+=

7、f(x2)=- = =, 因為1≤x1<x2≤2, 所以20, 故f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函數(shù)y=在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減, 所以ymax=f(1)=-,ymin=f(2)=-4. 題型三 求二次函數(shù)的最值 例3 (1)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函數(shù)f(x)的最值; (2)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函數(shù)f(x)的最值; (3)已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函數(shù)f(x

8、)的最小值; (4)已知函數(shù)f(x)=x-2-3,求函數(shù)f(x)的最值. [解] (1)∵函數(shù)f(x)=x2-2x-3圖象的開口向上,對稱軸x=1, ∴f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,且f(0)=f(2). ∴f(x)max=f(0)=f(2)=-3, f(x)min=f(1)=-4. (2)由(1)知對稱軸x=1, ①當(dāng)1≥t+2即t≤-1時, f(x)max=f(t)=t2-2t-3, f(x)min=f(t+2)=t2+2t-3. ②當(dāng)≤1

9、4. ③當(dāng)t≤1<,即01時, f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3, f(x)min=f(t)=t2-2t-3. 設(shè)函數(shù)最大值為g(t),最小值為φ(t),則有 g(t)= φ(t)= (3)f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的圖象開口向上,且對稱軸為直線x=a. 當(dāng)a≥1時,函數(shù)圖象如圖①所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,最小值為f(1)=3-2a; 當(dāng)-1<a<1時,函數(shù)圖象如圖②所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1

10、,1]上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增,最小值為f(a)=2-a2; 當(dāng)a≤-1時,函數(shù)圖象如圖③所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增,最小值為f(-1)=3+2a. (4)設(shè)=t(t≥0),則x-2-3=t2-2t-3. ∵y=t2-2t-3(t≥0)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增, ∴當(dāng)t=1,即x=1時,f(x)min=-4,無最大值. 金版點睛 二次函數(shù)最值的求法 (1)探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題,一般要先作出y=f(x)的草圖,然后根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.對于“定對稱軸變區(qū)間”“變對稱軸定區(qū)間”的情況,特別要注意二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間的位

11、置關(guān)系,它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù),并且最大(小)值不一定在頂點處取得. (2)二次函數(shù)圖象的對稱軸與定義域區(qū)間的位置通常有三種關(guān)系:①對稱軸在定義域的右側(cè);②對稱軸在定義域的左側(cè);③對稱軸在定義域區(qū)間內(nèi). (3)對某些函數(shù),可通過換元,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),如函數(shù)f(x)=x-2-3.  (1)已知函數(shù)f(x)=x4-2x2-3,求函數(shù)f(x)的最值; (2)求二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值; (3)求函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[t,t+1]上的最小值g(t). 解 (1)設(shè)x2=t(t≥0),則x4-2x2-3=t2-2t-3

12、. 令y=t2-2t-3(t≥0)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增. ∴當(dāng)t=1,即x=±1時,f(x)min=-4,無最大值. (2)∵函數(shù)圖象的對稱軸是x=a, ∴當(dāng)a<2時,f(x)在[2,4]上單調(diào)遞增, ∴f(x)min=f(2)=6-4a. 當(dāng)a>4時,f(x)在[2,4]上單調(diào)遞減, ∴f(x)min=f(4)=18-8a. 當(dāng)2≤a≤4時,f(x)min=f(a)=2-a2. ∴f(x)min= (3)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,對稱軸為x=1. 當(dāng)t+1<1,即t<0時,函數(shù)圖象如圖①所示,

13、函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞減,∴最小值為g(t)=f(t+1)=t2+1; 當(dāng)t≤1≤t+1,即0≤t≤1時,函數(shù)圖象如圖②所示,最小值為g(t)=f(1)=1; 當(dāng)t>1時,函數(shù)圖象如圖③所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上單調(diào)遞增,∴最小值為g(t)=f(t)=t2-2t+2. 綜上可得,g(t)= 題型四 應(yīng)用題中的最值問題 例4 某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù): R(x)=其中x是儀器的月產(chǎn)量(單位:臺). (1)將利潤表示為關(guān)于月產(chǎn)量的函數(shù)f(x); (2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時,公司

14、所獲利潤最大?最大利潤為多少元?(總收益=總成本+利潤) [解] (1)月產(chǎn)量為x臺,則總成本為(20000+100x)元, 從而f(x)= (2)當(dāng)0≤x≤400時,f(x)=-(x-300)2+25000, 當(dāng)x=300時,f(x)max=25000; 當(dāng)x>400時,f(x)=60000-100x是減函數(shù),f(x)<60000-100×400=20000<25000. ∴當(dāng)x=300時,f(x)max=25000. 即每月生產(chǎn)300臺儀器時公司所獲利潤最大,最大利潤為25000元. 金版點睛 解實際應(yīng)用題的四個步驟 (1)審題:解讀實際問題,找出已知條件、未知條件,確

15、定自變量和因變量的條件關(guān)系. (2)建模:建立數(shù)學(xué)模型,列出函數(shù)關(guān)系式. (3)求解:分析函數(shù)性質(zhì),利用數(shù)學(xué)知識探究問題解法(一定注意自變量的取值范圍). (4)回歸:數(shù)學(xué)問題回歸實際問題,寫出答案.  某水廠蓄水池有水450噸,水廠每小時向蓄水池注水80噸,同時蓄水池又向居民小區(qū)供水,t小時內(nèi)供水量為80 噸,現(xiàn)在開始向池中注水并同時向居民供水,多少小時后蓄水池中水量最少? 解 設(shè)t小時后,池中水量為y噸, 則y=450+80t-80=4(-10)2+50, 當(dāng)=10,即t=5時,ymin=50, 所以,5小時后蓄水池中水量最少,只有50噸. 1.函數(shù)f(x)在[-

16、2,+∞)上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的最大、最小值分別為(  ) A.3,0 B.3,1 C.3,無最小值 D.3,-2 答案 C 解析 觀察圖象可以知道,圖象的最高點坐標(biāo)是(0,3),從而其最大值是3;另外從圖象看,無最低點,即該函數(shù)不存在最小值.故選C. 2.已知函數(shù)f(x)=x2-2,其中x∈[0,2],這個函數(shù)的最大值和最小值分別為(  ) A.-2和1 B.2和-2 C.2和-1 D.-1和2 答案 B 解析 ∵f(x)=x2-2在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增, ∴ymax=f(2)=2,ymin=f(0)=-2. 3.長為4,寬為3的矩形,當(dāng)長

17、增加x,且寬減少時,面積S最大,此時x的值為(  ) A. B.1 C. D.2 答案 B 解析 ∵S=(4+x)=-x2+x+12 =-(x-1)2+, 又∵即0

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