《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學(xué)案 理（含解析）北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學(xué)案 理（含解析）北師大版（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)　函數(shù)及其表示 [考綱傳真]　1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用． 1．函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合 A，B 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合 對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：A→B 如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng) 集合A與B存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，集合B中總有唯一的元素y與之對(duì)應(yīng) 名稱(chēng) 把對(duì)應(yīng)關(guān)系f

2、叫作定義在集合A上的函數(shù) 稱(chēng)這種對(duì)應(yīng)為從集合A到集合B的映射 記法 函數(shù)y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 2.函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域： 數(shù)集A叫作函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的值域． (2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域． (3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù)． (4)函數(shù)的表示法： 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法． 3．分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù)． 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，分段

3、函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集． [常用結(jié)論] 　簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的類(lèi)型 (1)f(x)為分式型函數(shù)時(shí)，分式分母不為零； (2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時(shí)，被開(kāi)方式非負(fù)； (3)f(x)為對(duì)數(shù)型函數(shù)時(shí)，真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1； (4)若f(x)＝x0，則定義域?yàn)閧x|x≠0}； (5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1； (6)正切函數(shù)y＝tan x的定義域?yàn)閤x≠kπ＋，k∈Z. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)是特殊的映射． (　　) (2)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個(gè)函數(shù) (

4、　　) (3)f(x)＝＋是一個(gè)函數(shù)． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．(教材改編)函數(shù)y＝＋的定義域?yàn)?　　) A.　　　　　　 B．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) C　[由題意知解得x≥且x≠3.] 3．(教材改編)若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖像可能是(　　) A　　　　　B　　　 　　C　　　 　　D B　[∵M(jìn)＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}， ∴y＝f(x)圖像只可能是B.] 4．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)

5、的是(　　) A．f(x)＝與g(x)＝ B．f(x)＝|x|與g(x)＝()2 C．f(x)＝與g(x)＝x＋1 D．f(x)＝x0與g(x)＝ D　[在選項(xiàng)A中，由f(x)＝＝x與g(x)＝＝|x|的對(duì)應(yīng)法則不同；對(duì)于選項(xiàng)B，f(x)＝|x|的定義域?yàn)镽 ，g(x)＝()2的定義域?yàn)閧x|x≥0}，故定義域不同；在選項(xiàng)C中，f(x)＝的定義域?yàn)閧x∈R|x≠1}，而g(x)＝x＋1的定義域?yàn)镽，故兩函數(shù)的定義域不同；對(duì)于選項(xiàng)D，f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，故選D.] 5．(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝則f(1)＝_______

6、_；若f(a)＝5，則a＝________. 5　±1　[f(1)＝5.當(dāng)a≥0時(shí)，由f(a)＝a2＋4a＝5可知a＝1； 當(dāng)a＜0時(shí)，由f(a)＝a2－4a＝5得a＝－1. 綜上可知a＝±1.] 函數(shù)的定義域 【例1】　(1)在下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lg x的定義域和值域相同的是(　　) A．y＝x　　　　　　 B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ (2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2 018]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是(　　) A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017] C．[0,2 018] D

7、．[－1,1)∪(1,2 018] (1)D　(2)B　[(1)y＝10lg x＝x，定義域與值域均為(0，＋∞)． y＝x的定義域和值域均為R； y＝lg x的定義域?yàn)?0，＋∞)，值域?yàn)镽； y＝2x的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0，＋∞)； y＝的定義域與值域均為(0，＋∞)．故選D. (2)令t＝x＋1，則由已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇0，2 018]可知f(t)中0≤t≤2 018，故要使函數(shù)f(x＋1)有意義，則0≤x＋1≤2 018，解得－1≤x≤2 017，故函數(shù)f(x＋1)的定義域?yàn)閇－1,2 017]．所以函數(shù)g(x)有意義的條件是解得－1≤x＜1或1＜x≤2 01

8、7.故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇－1,1)∪(1,2 017]．] [規(guī)律方法]　(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問(wèn)題，可借助于數(shù)軸，注意端點(diǎn)值的取舍. (2)求抽象函數(shù)的定義域：①若y＝f(x)的定義域?yàn)?a，b)，則解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定義域；②若y＝f(g(x))的定義域?yàn)?a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域. (3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式，然后求解. (1)函數(shù)f(x)＝＋lg(3x＋1)的定義域是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. (2)已知函數(shù)

9、f(2x)的定義域?yàn)閇－1,1]，則f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_______． (1)A　(2)　[(1)由題意可知解得∴－＜x＜1，故選A. (2)∵f(2x)的定義域?yàn)閇－1,1]， ∴≤2x≤2，即f(x)的定義域?yàn)?] 求函數(shù)的解析式 【例2】　(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式． [解]　(1)由于f＝x2＋＝2－2，令t＝x＋，當(dāng)x＞0時(shí)，t≥2＝2，當(dāng)且僅

10、當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)； 當(dāng)x＜0時(shí)，t＝－≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)取等號(hào)， ∴f(t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．綜上所述，f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝， ∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x＞1)． (3)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， ∴ 即 ∴f(x)＝x2－x＋2. (4)∵f(x)＋2f＝x， ∴f＋2f(x)＝. 聯(lián)立

11、方程組 解得f(x)＝－(x≠0)． [規(guī)律方法]　求函數(shù)解析式的常用方法 (1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型，可用待定系數(shù)法. (2)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式. (3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍 (4)消元法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式，通過(guò)解方程組求出f(x). (1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝x＋2，則f(x)＝(　　) A．x＋1 B．2x－1

12、 C．－x＋1 D．x＋1或－x－1 (2)定義在(－1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，則f(x)＝________. (1)A　(2)lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1) [(1)設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f[f(x)]＝x＋2， 得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2. ∴k2＝1，且kb＋b＝2，解得k＝b＝1，則f(x)＝x＋1. (2)當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)， 有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)． ① 將x換成－x，則－x換成x， 得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)． ②

13、由①②消去f(－x)得， f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．] 分段函數(shù) ?考法1　求分段函數(shù)的函數(shù)值 【例3】　已知函數(shù)f(x)＝則f＋f＝________. 8　[由題可得f＝log ＝2，因?yàn)閘og2＜0，所以f＝＝2log26＝6， 故f＋f＝8.] ?考法2　已知分段函數(shù)的函數(shù)值求參數(shù) 【例4】　(2017·山東高考)設(shè)f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，則f＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C　[∵f(a)＝f(a＋1)， ∴ 或 即或 ∴a＝， ∴f＝f(4)＝6.] ?考法3　解與分段函數(shù)有關(guān)的方

14、程或不等式 【例5】　(2019·福州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(x0)＞1，則x0的取值范圍是________． (0,2)∪(3，＋∞)　[∵f(x)＝且f(x0)＞1， 此不等式轉(zhuǎn)化為 或 即或 解之得0＜x0＜2或x0＞3. ∴x0的取值范圍是(0,2)∪(3，＋∞)．] [規(guī)律方法]　(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于定義域的哪一個(gè)子集，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值. (2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的

15、取值范圍. 易錯(cuò)警示：當(dāng)分段函數(shù)自變量的范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論. (1)已知函數(shù)f(x)＝則f＝________； (2)函數(shù)f(x)＝若f(a)≤a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (1)log3 2　(2)[－1，＋∞)　[(1)f＝log3＝－2，∴f＝f(－2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝f(0＋2)＝f(2)，∴f(2)＝log3 2，∴f＝f(－2)＝log3 2. (2)當(dāng)a≥0時(shí)，由f(a)＝a－1≤a，解得a≥－2，即a≥0；當(dāng)a＜0時(shí)，由f(a)＝≤a，解得－1≤a≤1，即－1≤a＜0.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，＋∞)．] 1．(201

16、5·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3　　　　　　　　 B．6 C．9 D．12 C　[∵－2<1， ∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6. ∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故選C.] 2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f＞1的x的取值范圍是________． 　[當(dāng)x≤0時(shí)，原不等式為x＋1＋x＋>1，解得x>－， ∴－1，顯然成立． 當(dāng)x>時(shí)，原不等式為2x＋2x－>1，顯然成立． 綜上可知，x的取值范圍是.] - 8 -