《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第5章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法教學(xué)案 理（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第5章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法教學(xué)案 理（含解析）北師大版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示法 [考綱傳真]1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)． 1．數(shù)列的有關(guān)概念 概念 含義 數(shù)列 按照一定順序排列的一列數(shù) 數(shù)列的項 數(shù)列中的每一個數(shù) 數(shù)列的通項 數(shù)列{an}的第n項an 通項公式 數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表示，這個公式叫做數(shù)列的通項公式 前n項和 數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項和 2.數(shù)列的表示方法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和解析法． 3．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系 若數(shù)

2、列{an}的前n項和為Sn， 則an＝ 4．數(shù)列的分 分類標準 類型 滿足條件 項數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限 無窮數(shù)列 項數(shù)無限 項與項間的 大小關(guān)系 遞增數(shù)列 an＋1＞an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an＋1＜an 常數(shù)列 an＋1＝an 求數(shù)列的最大(小)項，一般可以利用數(shù)列的單調(diào)性，即用(n≥2，n∈N*)或(n≥2，n∈N*)求解，也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或利用數(shù)形結(jié)合思想求解． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列． (　　) (2)一

3、個數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的． (　　) (3)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達． (　　) (4)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出的數(shù)列的通項公式可能不止一個． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知數(shù)列，，，…，，…，下列各數(shù)中是此數(shù)列中的項的是(　　) A.　　　B．　　　C.　　　D． B　[該數(shù)列的通項an＝，結(jié)合選項可知B正確．] 3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為(　　) A．15 B．16 C．49 D．64 A　[a8＝S8－S7＝82－72＝15.故選A.] 4．(教材改編)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋

4、(n≥2)，則a5等于(　　) A. B． C. D． D　[∵a1＝1，∴a2＝1＋＝1＋1＝2； a3＝1－＝1－＝； a4＝1＋＝1＋2＝3； a5＝1－＝1－＝.] 5．根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an＝________. 5n－4　[{an}是以1為首項，5為公差的等差數(shù)列，∴an＝1＋(n－1)×5＝5n－4.] 由an與Sn的關(guān)系求通項公式 1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋3，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 　[當n＝1時，a1＝S1＝＋＋3＝. 又當n≥2時，an＝Sn－S

5、n－1 ＝n2＋n＋3－ ＝n＋. ∴an＝] 2．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式an＝________. (－2)n－1　[由Sn＝an＋得 當n≥2時，Sn－1＝an－1＋， ∴an＝Sn－Sn－1＝－ ＝an－an－1. 即an＝－2an－1，(n≥2)． 又a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1. ∴數(shù)列{an}是以首項為1，公比為－2的等比數(shù)列， ∴an＝(－2)n－1.] 3．已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an. [解]　設(shè)a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn， 當n＝1

6、時，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2， 當n≥2時， nan＝Tn－Tn－1 ＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5， 因此an＝， 顯然當n＝1時，不滿足上式． 故數(shù)列的通項公式為an＝ [規(guī)律方法]　已知Sn求an的三個步驟 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替換Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式． (3)看a1是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)寫成分段的形式． 易錯警示：利用an＝Sn－Sn－1求通項時，應(yīng)注意n≥

7、2這一前提條件，易忽視驗證n＝1致誤． 由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式 【例1】　分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)； (2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)． [解]　(1)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(n≥2)． 當n＝1時，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝n2＋. (2)當n≥2，n∈N*時， an＝a1×

8、××…× ＝1×××…×××＝n， 當n＝1時，也符合上式， ∴該數(shù)列的通項公式為an＝n. (3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列， ∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1. [規(guī)律方法]　由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法 (1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an. (2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an. (3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定

9、)，可轉(zhuǎn)化為{an＋k}為等比數(shù)列． 易錯警示：本題(1)，(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式． (1)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，則an等于(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n (2)若a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1，則an＝________. (1)A　(2)n·3n－2·3n－1　　[(1)∵an＋1－an＝ln＝ln， ∴a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，…，an－an－1＝ln，n≥2， ∴a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝ln＝ln n， ∴a

10、n－a1＝ln n?an＝2＋ln n(n≥2)． 將n＝1代入檢驗有a1＝2＋ln 1＝2與已知符合，故an＝2＋ln n. (2)因為an＋1＝3an＋3n＋1，所以＝＋1， 所以－＝1，又＝， 所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列． 所以＝＋(n－1)＝n－， 所以an＝n·3n－2·3n－1.] 數(shù)列的性質(zhì) 【例2】　(1)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則a2 018＝(　　) A．－1　　　　B．　　　　C．1　　　　D．2 (2)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列

11、，則實數(shù)λ的取值范圍是(　　) A．(2，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，3) (3)已知數(shù)列{an}滿足an＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最小項是第________項． (1)D　(2)C　(3)5　[(1)由a1＝，an＋1＝， 得a2＝＝2， a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…， 于是可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2 018＝a3×672＋2＝a2＝2. (2)由an＋1＝，知＝＋1，即＋1＝2，所以數(shù)列是首項為＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列，所以＋1＝2n，所以bn＋1＝(n－λ)·2n，因為數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，所

12、以bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)2n－1＝(n＋1－λ)2n－1＞0對一切正整數(shù)n恒成立，所以λ＜n＋1，因為n∈N*，所以λ＜2，故選C. (3)因為an＝，所以數(shù)列{an}的最小項必為an＜0，即＜0,3n－16＜0，從而n＜.又n∈N*，所以當n＝5時，an的值最?。甝 [規(guī)律方法]　1.解決數(shù)列周期性問題的方法 先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值． 2．判斷數(shù)列單調(diào)性的二種方法 (1)作差比較法：比較an＋1－an與0的大?。? (2)作商比較法：比較與1的大小，注意an的符號． 3．求數(shù)列最大項或最小項的方法 (1)利用不等

13、式組(n≥2)找到數(shù)列的最大項； (2)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最小項． (1)已知an＝，那么數(shù)列{an}是(　　) A．遞減數(shù)列　　　　　　 B．遞增數(shù)列 C．常數(shù)列 D．擺動數(shù)列 (2)數(shù)列{an}的通項公式是an＝(n＋1)·n，則此數(shù)列的最大項是第________項． (3)若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實數(shù)k的取值范圍是________． (1)B　(2)9或10　(3)(－3，＋∞)　[(1)an＝1－，將an看作關(guān)于n的函數(shù)，n∈N*，易知{an}是遞增數(shù)列． (2)∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n

14、＝n×， 當n＜9時，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當n＞9時，an＋1－an＜0，即an＋1＜an， ∴該數(shù)列中有最大項，且最大項為第9,10項． (3)由an＋1＞an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又∵通項公式an＝n2＋kn＋4， ∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4， 即k＞－1－2n，又n∈N*，∴k＞－3.] 1．(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，則S6＝________. －63　[因為Sn＝2an＋1，所以當n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1

15、， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.] 2．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. －　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. ∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝－1，∴是首項為－1，公差為－1的等差數(shù)列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.] 3．(2014·全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________. 　[∵an＋1＝， a8＝2，∴a7＝，a6＝－1，a5＝2， ∴{an}是周期為3的數(shù)列， ∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2. 而a2＝，∴a1＝.] - 8 -