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1、2022年高一數(shù)學(xué) 1.7 四種命題（2）教案 教學(xué)目的： 1．理解四種命題的關(guān)系，并能利用這個(gè)關(guān)系判斷命題的真假 2．理解反證法的基本原理；掌握運(yùn)用反證法的一般步驟；并能用反證法證明一些命題； 3．培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時(shí)體會(huì)事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想 教學(xué)重點(diǎn)：理解四種命題的關(guān)系 教學(xué)難點(diǎn)：逆否命題的等價(jià)性 授課類(lèi)型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： 學(xué)生在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)過(guò)簡(jiǎn)單的命題(包括原命題與逆命題)知識(shí)，掌握了簡(jiǎn)單的推理方法(包括對(duì)反證法的了解)．由此，這一大節(jié)首先講述四種命題及其相互關(guān)系，并且在初中的基礎(chǔ)

2、上，結(jié)合四種命題的知識(shí)，進(jìn)一步講解反證法．然后，通過(guò)若干實(shí)例，講述了充分條件、必要條件和充要條件的有關(guān)知識(shí)． 這一大節(jié)的重點(diǎn)是充要條件．學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，在這方面，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件的有關(guān)內(nèi)容是十分必要的． （初中數(shù)學(xué)中有關(guān)反證法的內(nèi)容，要求比較低，并且基本沒(méi)有涉及代數(shù)命題到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，結(jié)合四種命題及其關(guān)系進(jìn)行講授 學(xué)習(xí)反證法，一是要注意加強(qiáng)對(duì)有關(guān)代數(shù)命題的訓(xùn)練，二是教學(xué)要求要適當(dāng)，對(duì)反證法的掌握，還有待于隨著學(xué)習(xí)的深入，逐步提高教科書(shū)中反證法涉及代數(shù)命題的例、習(xí)題，是屬于初中范圍的，比較簡(jiǎn)單．因此，

3、這些題目都可以用直接的方法進(jìn)行證明，不一定用反證法，選取這些題，主要是為了讓學(xué)生熟悉反證法） 反證法在初中教科書(shū)中指出：從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫做反證法 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)引入： 四種命題及其形式 原命題：若p則q； 逆命題：若q則p； 否命題：若?p則?q； 逆否命題：若?q則?p. 二、講解新課： 1．四種命題的相互關(guān)系 互逆命題、互否命題與互為逆否命題都是說(shuō)兩個(gè)命題的關(guān)系，若把其中一個(gè)命題叫做原命題時(shí)，另一個(gè)命題就叫做原命題的逆命題、否命題與逆否命題.因此，四種命題之間的相互關(guān)系，可用右下圖表示： 2．四種命題的真假關(guān)

4、系 一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系： ①、原命題為真，它的逆命題不一定為真 ②、原命題為真，它的否命題不一定為真 ③、原命題為真，它的逆否命題一定為真 3．反證法： 要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯(cuò)誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過(guò)否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來(lái)達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法 4．反證法的步驟： (1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立 (2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過(guò)推理論證，得出矛盾 (3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確 注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況： ①

5、與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過(guò)程中，推出自相矛盾的結(jié)論 三、范例 例1．判斷以下四種命題的真假 原命題：若四邊形ABCD為平行四邊形，則對(duì)角線互相平分 真 逆命題：若四邊形ABCD對(duì)角線互相平分，則它為平行四邊形； 真 否命題：若四邊形ABCD不是為平行四邊形，則對(duì)角線不平分； 真 逆否命題：若四邊形ABCD對(duì)角線不平分，則它不是平行四邊形； 真 歸納小結(jié)：（學(xué)生回答，教師整理補(bǔ)充） (1)原命題為真，它的逆命題不一定為真； (2)原命題為真，它的否命題不一定為真； (3)原命題為真，它的逆否命題一定為真 結(jié)論：兩個(gè)互為逆否的命題同真或同假

6、(如原命題和它的逆否命題，逆命題和否命題)，其余情況則不一定同真或同假（如原命題和逆命題，否命題和逆否命題等），這時(shí)稱(chēng)互為逆否的兩個(gè)命題等價(jià)，即原命題逆否命題 例2．（課本第32頁(yè)例2）設(shè)原命題是“當(dāng)c>0時(shí)，若a>b，則ac>bc”，寫(xiě)出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假. 分析：“當(dāng)c>0時(shí)”是大前提，寫(xiě)其他命題時(shí)應(yīng)該保留，原命題的條件是a>b，結(jié)論是ac>bc. 解：逆命題：當(dāng)c>0時(shí)，若ac>bc，則a>b.它是真命題； 否命題：當(dāng)c>0時(shí)，若ab，則acbc.它是真命題； 逆否命題：當(dāng)c>0時(shí)，若acbc，則ab.它是真命題. 練習(xí)：課本第32頁(yè) 練習(xí)：

7、1，2. 答案：1.(1)正確；(2)正確. 2.(1)逆命題：兩個(gè)全等三角形的三邊對(duì)應(yīng)相等.逆命題為真； 否命題：三邊不對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不全等.否命題為真； 逆否命題：兩個(gè)不全等的三角形的三邊不對(duì)應(yīng)相等.逆否命題為真. (2) 逆命題：若a+c>b+c,則a>b.逆命題為真. 否命題：若ab,則a+cb+c.否命題為真. 逆否命題：若a+cb+c，則ab.逆否命題為真. 例3．（課本第32頁(yè)例3）用反證法證明：如果a>b>0，那么. 證明：假設(shè)不大于，則或者<,或者=. ∵a>0，b>0， ∴<<，< ，ab>0矛盾，∴.

8、 證法二（直接證法）， ∵a>b>0,∴a - b>0即,∴ ∴ 例4（課本第33頁(yè)例4）用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分. 已知：如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直徑. 求證：弦AB、CD不被P平分. 分析：假設(shè)弦AB、CD被P平分，連結(jié)OP后，可推出AB、CD都與OP垂直，則出現(xiàn)矛盾. 證明：假設(shè)弦AB、CD被P平分，由于P點(diǎn)一定不是圓心O，連結(jié)OP，根據(jù)垂徑定理的推論， 有OP⊥AB，OP⊥CD，即過(guò)點(diǎn)P有兩條直線與OP都垂直， 這與垂線性質(zhì)矛盾. ∴弦AB、CD不被P平分. 四、小結(jié)：四種命題之間的相互關(guān)系和真假關(guān)系

9、 反證法的基本原理及其四個(gè)步驟 五、練習(xí)：課本第33頁(yè) 練習(xí)：1，2. 提示：1.設(shè)b2-4ac0，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，或方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得出矛盾. 2.設(shè)B900，則C+B1800，得出矛盾. 補(bǔ)充題： 1．命題“若 x = y 則 |x| = |y|”寫(xiě)出它的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它的真假 解：逆命題：若 |x| = |y| 則 x = y （假，如 x = 1, y = -1） 否命題：若 x 1 y 則 |x| 1|y| （假，如 x = 1, y = -1） 逆否命題：若 |x| 1|y| 則 x 1 y

10、 （真） 2．寫(xiě)出命題：“若 xy = 6則 x = 3且 y = 2”的逆命題否命題逆否命題，并判斷它們的真假 解：逆命題：若 x = 3 且 y = 2 則 x + y = 5 （真） 否命題：若 x + y 1 5 則 x 1 3且y12 （真） 逆否命題：若 x 1 3 或y12 則 x + y 15 （假） 六、作業(yè)：課本第33-34頁(yè) 習(xí)題1．7中3，4 ， 5. 補(bǔ)充題： 1．若a2能被2整除，a是整數(shù)，求證：a也能被2整除. 證：假設(shè)a不能被2整除，則a必為奇數(shù)， 故可令a=2m+1(m為整數(shù)), 由此得a2

11、=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此結(jié)果表明a2是奇數(shù)， 這與題中的已知條件（a2能被2整除）相矛盾, ∴a能被2整除. 七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略） 八、課后記： 小故事： 三個(gè)古希臘哲學(xué)家，由于爭(zhēng)論和天氣炎熱感到疲倦了，于是在花園里的一棵大樹(shù)下躺下來(lái)休息一會(huì)，結(jié)果都睡著了.這時(shí)一個(gè)愛(ài)開(kāi)玩笑的人用炭涂黑了他們的前額.三個(gè)人醒來(lái)以后，彼此看了看，都笑了起來(lái).但這并沒(méi)引起他們之中任何一個(gè)人的擔(dān)心，因?yàn)槊總€(gè)人都以為是其他兩人在互相取笑.這時(shí)其中有一個(gè)突然不笑了，因?yàn)樗l(fā)覺(jué)自己的前額也給涂黑了.那么他是怎樣覺(jué)察到的呢？你能想出來(lái)嗎？ 答案：為了方便，用甲、乙、丙分別代表

12、三個(gè)科學(xué)家，并不妨設(shè)甲已發(fā)覺(jué)自己的臉給涂黑了.那么甲這樣想：“我們?nèi)齻€(gè)人都可以認(rèn)為自己的臉沒(méi)被涂黑，如果我的臉沒(méi)被涂黑，那么乙能看到（當(dāng)然對(duì)于丙也是一樣），乙既然看到了我的臉沒(méi)給涂黑，同時(shí)他又認(rèn)為他的臉也沒(méi)給涂黑，那么乙就應(yīng)該對(duì)丙的發(fā)笑而感到奇怪.因?yàn)樵谶@種情況下（甲、乙的臉都是干凈的），丙是沒(méi)有可笑的理由了.然而現(xiàn)在的事實(shí)是乙對(duì)丙的發(fā)笑并不感到奇怪，可見(jiàn)乙是在認(rèn)為丙在笑我.由此可知，我的臉也給涂黑了. 這里應(yīng)著重指出的是，甲并沒(méi)有直接看到自己的臉是否給涂黑了，他是根據(jù)乙、丙兩人的表情進(jìn)行分析、思考，而說(shuō)明了自己的臉給涂黑了.簡(jiǎn)單地說(shuō)，甲是通過(guò)說(shuō)明臉被涂黑了的反面—沒(méi)被涂黑是錯(cuò)誤的，從而覺(jué)察了自己的臉被涂黑了.因此這是一種間接的證明方法.顯然這種證明方法也是不可缺少的. 像這樣，為了說(shuō)明某一個(gè)結(jié)論是正確的，但不從正面直接說(shuō)明，而是通過(guò)說(shuō)明它的反面是錯(cuò)誤的，從而斷定它本身是正確的方法，就叫做“反證法“.