《2020版高考數(shù)學一輪復習 第9章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第4節(jié) 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例教學案 理（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第9章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第4節(jié) 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例教學案 理（含解析）北師大版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四節(jié)　變量間的相關關系與統(tǒng)計案例 [考綱傳真]　1.會做兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關關系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.4.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應用． 1．兩個變量的線性相關 (1)正相關 在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關． (2)負相關 在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關． (3)線性相關

2、關系、回歸直線 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線． 2．回歸方程 (1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回歸方程：方程y＝bx＋a是兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中a，b是待定參數(shù)． 3．回歸分析 (1)定義：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法． (2)樣本點的中心 對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)稱為樣

3、本點的中心． (3)相關系數(shù) 當r＞0時，表明兩個變量正相關； 當r＜0時，表明兩個變量負相關． r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性． 4．獨立性檢驗 設A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝；變量B：B1，B2＝. 2×2列聯(lián)表 　　B A　　 B1 B2 總計 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 構(gòu)造一個統(tǒng)計量 χ2＝. 利用統(tǒng)計量

4、χ2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗． 1．回歸直線必過樣本點的中心(，)． 2．當兩個變量的相關系數(shù)|r|＝1時，兩個變量呈函數(shù)關系． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系．(　　) (2)通過回歸直線方程y＝bx＋a可以估計預報變量的取值和變化趨勢．(　　) (3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗．(　　) (4)事件X，Y關系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的觀測值越大．(　　) [答案]　

5、(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．為了調(diào)查中學生近視情況，測得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視．要檢驗這些學生眼睛近視是否與性別有關時，用下列哪種方法最有說服力(　　) A．回歸分析　　　　　 B．均值與方差 C．獨立性檢驗 D．概率 C　[“近視”與“性別”是兩類變量，其是否相關，應用獨立性檢驗判斷．] 3．已知回歸直線的斜率的估計值是1.23，樣本點的中心為(4,5)，若自變量的值為10，則因變量的值約為(　　) A．16.3　　　　　　　　 B．17.3 C．12.38 D．2.03 C　[設回歸直線方程為y＝bx＋a，根據(jù)已

6、知得5＝1.23×4＋a，所以a＝0.08，所以當x＝10時，y＝1.23×10＋0.08＝12.38.] 4．下面是一個2×2列聯(lián)表 y1 y2 總計 x1 a 21 73 x2 2 25 27 總計 b 46 則表中a，b處的值分別為________． 52,54　[因為a＋21＝73，所以a＝52.又因為a＋2＝b，所以b＝54.] 5．為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.

7、024)≈0.025. 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2的觀測值k＝≈4.844.則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為________． 5%　[χ2的觀測值k≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設檢驗的基本原理，應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.] 相關關系的判斷 1．已知變量x和y近似滿足關系式y(tǒng)＝－0.1x＋1，變量y與z正相關．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．x與y正相關，x與z負相關 B．x與y正相關，x與z正相關 C．x與y負相關，x與z負相關 D．x與y負相關，x與z正相關 C　[由y＝－0.1x＋1，知x與

8、y負相關，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負相關．] 2．對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數(shù)的比較，正確的是(　　) A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 A　[由相關系數(shù)的定義以及散點圖可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.] [規(guī)律方法]　判定兩個變量正、負相關性的方法 (1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關． (2)相關系數(shù)：r＞0

9、時，正相關；r＜0時，負相關． (3)線性回歸直線方程中：b>0時，正相關；b<0時，負相關． 回歸分析 【例1】　(2018·廣州一模)某地1～10歲男童年齡xi(歲)與身高的中位數(shù)yi(cm)(i＝1,2，…，10)如下表： x/歲 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2 對上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． (xi－)2 (yi－)2 (xi－)(yi－) 5.

10、5 112.45 82.50 3 947.71 566.85 (1)求y關于x的線性回歸方程(回歸方程系數(shù)精確到0.01)； (2)某同學認為，y＝px2＋qx＋r更適宜作為y關于x的回歸方程類型，他求得的回歸方程是y＝－0.30x2＋10.17x＋68.07.經(jīng)調(diào)查，該地11歲男童身高的中位數(shù)為145.3 cm.與(1)中的線性回歸方程比較，哪個回歸方程的擬合效果更好？ 附：回歸方程y＝a＋bx中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b＝，a＝－b. [解]　(1)b＝＝≈6.87， a＝－b≈112.45－6.87×5.5≈74.67， 所以y關于x的線性回歸方程為y＝6

11、.87x＋74.67. (2)若回歸方程為y＝6.87x＋74.67， 當x＝11時，y＝150.24. 若回歸方程為y＝－0.30x2＋10.17x＋68.07， 當x＝11時，y＝143.64. 因為|143.64－145.3|＝1.66＜|150.24－145.3|＝4.94， 所以回歸方程y＝－0.30x2＋10.17x＋68.07對該地11歲男童身高中位數(shù)的擬合效果更好． [規(guī)律方法]　1.求回歸直線方程的步驟 2．(1)若已知回歸直線方程(方程中無參數(shù))進行預測時，把變量x代入回歸直線方程即可對變量y進行估計． (2)若回歸直線方程中有參數(shù)，則根據(jù)回歸直線一定

12、經(jīng)過點(，)求出參數(shù)值，得到回歸直線方程，進而完成預測． (1)(2017·山東高考)為了研究某班學生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系．設其回歸直線方程為y＝bx＋a.已知xi＝225，yi＝1 600，b＝4.該班某學生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為(　　) A．160　　　　　　　　 B．163 C．166 D．170 (2)(2016·全國卷Ⅲ)如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 注：年份代碼1－7分別對應年份2008－2014.

13、 ①由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明； ②建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646. 參考公式：相關系數(shù)r＝，回歸方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為b＝，a＝－b. (1)C　　[∵xi＝225，∴＝xi＝22.5. ∵yi＝1 600，∴＝y(tǒng)i＝160. 又b＝4，∴a＝－b＝160－4×22.5＝70. ∴回歸直線方程為y＝4x＋70. 將x＝24代入上式得y＝4×24＋70＝166. 故

14、選C.] (2)[解]?、儆烧劬€圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得 ＝4， (ti－)2＝28，＝0.55， (ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89， 所以r≈≈0.99. 因為y與t的相關系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系． ②由＝≈1.331及①得 b＝＝≈0.103. a＝－b≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y關于t的回歸方程為y＝0.92＋0.10t. 將2016年對應的t＝9代入回歸方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以預測2016年我國生活

15、垃圾無害化處理量約為1.82億噸． 獨立性檢驗 【例2】　(2018·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式

16、 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：χ2＝， P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： (i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種

17、生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的

18、時間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)由于χ2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． [規(guī)律方法]　1.在2×2列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關系，則應滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個變量之間關系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個變量之間關系越強． 2．解決獨立性檢驗的應用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論．獨立性檢驗的一般步驟：

19、 (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表； (2)根據(jù)公式χ2＝計算χ2的觀測值k； (3)比較觀測值k與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計推斷． 某研究型學習小組調(diào)查研究學生使用智能手機對學習的影響．部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 使用智能手機 不使用智能手機 合計 學習成績優(yōu)秀 4 8 12 學習成績不優(yōu)秀 16 2 18 估計 20 10 30 附表： P(χ2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82

20、8 經(jīng)計算χ2的值為10，則下列選項正確的是(　　) A．有99.5%的把握認為使用智能手機對學習有影響 B．有99.5%的把握認為使用智能手機對學習無影響 C．有99.9%的把握認為使用智能手機對學習有影響 D．有99.9%的把握認為使用智能手機對學習無影響 A　[依題意，注意到7.879＜10＜10.828，因此有99.5%的把握認為使用智能手機對學習有影響，故選A.] 1．(2015·全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，

21、…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． (xi－)2 (wi－)2 (xi－)(yi－) (wi－)·(yi－) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，w]＝wi. (1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程； (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題： ①年宣傳費x＝49時，

22、年銷售量及年利潤的預報值是多少？ ②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β＝，α＝－β. [解]　(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型． (2)令w＝，先建立y關于w的線性回歸方程． 由于d＝＝＝68， c＝－d ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y關于w的線性回歸方程為y＝100.6＋68w， 因此y關于x的回歸方程為y＝100.6＋68. (3)①由(2)知，當x＝49時， 年銷售量y的預報值

23、y＝100.6＋68＝576.6， 年利潤z的預報值z＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預報值 z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以當＝＝6.8，即x＝46.24時，z取得最大值． 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大． 2.(2017·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不

24、低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關； 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01)． 附： P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 χ2＝. [解]　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”． 由題意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 舊養(yǎng)

25、殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P(B)的估計值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P(C)的估計值為0.66. 因此，事件A的概率估計值為0.62×0.66＝0.409 2. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 χ2＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關． (3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為 50＋≈52.35(kg)． - 12 -