不等式與線(xiàn)性規(guī)劃 【2019年高考考綱解讀】 高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有： (1)一元二次不等式是C級(jí)要求，線(xiàn)性規(guī)劃是A級(jí)要求． (2)基本不等式是C級(jí)要求，理解基本不等式在不等式證明、函數(shù)最值的求解方面的重要應(yīng)用．試題類(lèi)型可能是填空題，同時(shí)在解答題中經(jīng)常與函數(shù)、實(shí)際應(yīng)用題綜合考查，構(gòu)成中高檔題. 【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1．不等式的解法 (1)求解一元二次不等式的基本思路：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集． (2)解含參數(shù)不等式的難點(diǎn)在于對(duì)參數(shù)的恰當(dāng)分類(lèi)，關(guān)鍵是找到對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論的原因．確定好分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)、層次清楚地求解． 2．基本不等式 (1)基本不等式a2＋b2≥2ab取等號(hào)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b. (2)幾個(gè)重要的不等式：①ab≤2(a，b∈R)． ② ≥≥≥(a＞0，b＞0)． ③a＋≥2(a＞0，當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立)． ④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)． (3)最值問(wèn)題：設(shè)x，y都為正數(shù)，則有 ①若x＋y＝s(和為定值)，則x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值； ②若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值2. 3．不等式的恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題 (1)恒成立問(wèn)題 若不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min>A； 若不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max<B； (2)能成立問(wèn)題 若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)>A成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max>A； 若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)<B成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min<B； (3)恰成立問(wèn)題 若不等式f(x)>A在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式f(x)>A的解集為D； 若不等式f(x)<B在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式f(x)<B的解集為D. 4．使用基本不等式以及與之相關(guān)的不等式求一元函數(shù)或者二元函數(shù)最值時(shí)，基本的技巧是創(chuàng)造使用這些不等式的條件，如各變數(shù)都是正數(shù)，某些變數(shù)之積或者之和為常數(shù)等，解題中要根據(jù)這個(gè)原則對(duì)求解目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，使之達(dá)到能夠使用這些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函數(shù)的最值、特別是求二元函數(shù)最值時(shí)一定要注意等號(hào)成立的條件，盡量避免二次使用基本不等式． 5．平面區(qū)域的確定方法是“直線(xiàn)定界、特殊點(diǎn)定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的半平面的交集．線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by中的z不是直線(xiàn)ax＋by＝z在y軸上的截距，把目標(biāo)函數(shù)化為y＝－x＋，可知是直線(xiàn)ax＋by＝z在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號(hào)確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值. 【題型示例】 題型一、不等式的解法及應(yīng)用 【例1】 【變式探究】【2017江蘇，10】某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則的值是 ▲ . 【答案】30 【解析】總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立. 【變式探究】【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【感悟提升】(1)對(duì)于和函數(shù)有關(guān)的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(2)求解一元二次不等式的步驟：第一步，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；第二步，解對(duì)應(yīng)的一元二次方程；第三步，若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則利用“大于在兩邊，小于夾中間”得不等式的解集；(3)含參數(shù)的不等式的求解，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論． 【舉一反三】(2015·江蘇，7)不等式2x2－x＜4的解集為_(kāi)_______． 解析　∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2. 答案　{x|－1＜x＜2} 【變式探究】已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足ax<ay(0<a<1)，則下列關(guān)系式恒成立的是(　　) A.>　　　　 B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) C．sin x>sin y D．x3>y3 【方法技巧】解不等式的四種策略 (1)解一元二次不等式的策略：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集． (2)解簡(jiǎn)單的分式不等式的策略：將不等式一邊化為0，再將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)求解． (3)解含指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的策略：利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解． (4)解含參數(shù)不等式的策略：根據(jù)題意確定參數(shù)分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，依次討論求解． 【變式探究】 (1)若不等式x2＋ax＋1≥0對(duì)于一切x∈成立，則a的取值范圍是________． (2)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為，則f(10x)>0的解集為_(kāi)_____． 【答案】(1)[－，＋∞)　(2){x|x<－lg 2} 【解析】(1)設(shè)f(x)＝x2＋ax＋1，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝－. 若－≥，即a≤－1時(shí)，則f(x)在上是減函數(shù)，若滿(mǎn)足題意應(yīng)有f≥0，即－≤a≤－1. 若－≤0，即a≥0時(shí)，則f(x)在上是增函數(shù)， 又f(0)＝1>0成立，故a≥0. 若0<－<，即－1<a<0，則應(yīng)有f＝－＋1＝1－≥0成立，故－1<a<0.綜上，有a≥－. 另解　也可轉(zhuǎn)化為：a≥－，x∈(0，)恒成立，利用單調(diào)性求解． (2)依題意知f(x)>0的解為－1<x<，故0<10x<，解得x<lg＝－lg 2. 【規(guī)律方法】解一元二次不等式一般要先判斷二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)也即考慮對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，再考慮方程根的個(gè)數(shù)也即求出其判別式的符號(hào)，有時(shí)還需要考慮其對(duì)稱(chēng)軸的位置，根據(jù)條件列出方程組或結(jié)合對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象求解． 題型二、簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 【例2】（2018年全國(guó)I卷）設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 A. 6 B. 19 C. 21 D. 45 【答案】C 【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線(xiàn)方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：，本題選擇C選項(xiàng)。 【變式探究】【2017山東，文3】已知x,y滿(mǎn)足約束條件,則z=x+2y的最大值是 A.-3 B.-1 C.1 D.3 【答案】D 【解析】畫(huà)出約束條件表示的可行域,如圖中陰影部分所示，平移直線(xiàn),可知當(dāng)其經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與的交點(diǎn)時(shí), 取得最大值，為,故選D. 【變式探究】【2016年高考北京文數(shù)】若，滿(mǎn)足，則的最大值為（ ） A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】作出如圖可行域，則當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值，而，∴所求最大值為4，故選C. 【感悟提升】(1)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍．(2)一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得． 【舉一反三】(2015·廣東，6)若變量x，y滿(mǎn)足約束條件則z＝3x＋2y的最小值為(　　) A. B．6 C. D．4 解析　不等式組所表示的可行域如圖所示， 由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線(xiàn)l：y＝－x＋經(jīng)過(guò)A時(shí)，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×＝，故選C. 答案　C 【變式探究】(1)(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件則z＝2x－y的最大值為(　　) A．10　　　　B．8　　　　C．3　　　　D．2 (2)(2014·浙江)當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足時(shí)，1≤ax＋y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【命題意圖】(1)本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的求解，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力與運(yùn)算求解能力． (2)本題主要考查線(xiàn)性規(guī)則、不等式恒成立問(wèn)題，考查考生的數(shù)形結(jié)合與運(yùn)算求解能力． 【答案】(1)B　(2) 【解析】(1)作出可行域如圖中陰影部分所示，由z＝2x －y得y＝2x－z，作出直線(xiàn)y＝2x，平移使之經(jīng)過(guò)可行域，觀(guān)察可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(5,2)時(shí)，對(duì)應(yīng)的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8. (2)作出題中線(xiàn)性規(guī)劃條件滿(mǎn)足的可行域如圖中陰影部分所示，令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.作直線(xiàn)l0：y＝－ax，平移l0，最優(yōu)解可在A(1,0)，B(2,1)，C處取得． 故由1≤z≤4恒成立，可得 解得1≤a≤. 【感悟提升】 1．線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的三種題型 (1)求最值，常見(jiàn)形如截距式z＝ax＋by，斜率式z＝，距離式z＝(x－a)2＋(y－b)2. (2)求區(qū)域面積． (3)由最優(yōu)解或可行域確定參數(shù)的值或取值范圍． 2．解答線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的步驟及應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問(wèn)題要驗(yàn)證解決． (2)畫(huà)可行域時(shí)應(yīng)注意區(qū)域是否包含邊界． (3)對(duì)目標(biāo)函數(shù)z＝Ax＋By中的B的符號(hào)，一定要注意B的正負(fù)與z的最值的對(duì)應(yīng)，要結(jié)合圖形分析． 題型三、基本不等式及其應(yīng)用 例3、（2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，則2a+的最小值為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】由可知，且：，因?yàn)閷?duì)于任意x，恒成立， 結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立. 綜上可得的最小值為. 【變式探究】【2017課標(biāo)II，文7】設(shè)滿(mǎn)足約束條件,則的最小值是 A. B. C. D 【答案】A 【解析】x、y滿(mǎn)足約束條件的可行域如圖： z=2x+y經(jīng)過(guò)可行域的A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值， 由解得A(?6,?3)， 則z=2x+y的最小值是：?15. 故選：A. 【變式探究】【2016高考天津文數(shù)】設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ） （A） （B）6 （C）10 （D）17 【答案】B 【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B時(shí)取最小值6，選B. 【感悟提升】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． 【舉一反三】(1)已知不等式<0的解集為{x|a<x<b}，點(diǎn)A(a，b)在直線(xiàn)mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，則＋的最小值為(　　) A．4 B．8 C．9 D．12 (2)要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________(單位：元)． 【命題意圖】(1)本題主要考查解分式不等式、均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力有一定要求． (2)本題主要考查空間幾何體的表面積、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生處理實(shí)際問(wèn)題的能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力． 設(shè)該容器的總造價(jià)為y元，長(zhǎng)方體的底面矩形的長(zhǎng)為x m，因?yàn)闊o(wú)蓋長(zhǎng)方體的容積為4 m3，高為1 m，所以長(zhǎng)方體的底面矩形的寬為m，依題意，得y＝20×4＋10·＝80＋20≥80＋20×2＝160，所以該容器的最低總造價(jià)為160元． 【感悟提升】 (1)一般地，分子、分母有一個(gè)一次、一個(gè)二次的分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)以及含有兩個(gè)變量的函數(shù)，特別適合用基本不等式求最值． (2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件． (3)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)． 10