《2019屆高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題一 三角函數(shù)與解三角形 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題一 三角函數(shù)與解三角形 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學案 理（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 高考定位　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點和熱點內(nèi)容，主要從以下兩個方面進行考查：1.三角函數(shù)的圖象，涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考查；2.利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以解答題的形式考查. 真 題 感 悟 1.(2018·全國Ⅰ卷)已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝(　　) A. B. C. D.1 解析　由題意知cos α>0.因為cos 2α＝2cos2α－1＝

2、，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由題意知|tan α|＝，所以|a－b|＝. 答案　B 2.(2017·全國Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A.f(x)的一個周期為－2π B.y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 C.f(x＋π)的一個零點為x＝ D.f(x)在單調(diào)遞減 解析　A項，因為f(x)的周期為2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一個周期為－2π，A項正確. B項，因為f(x)圖象的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，當k＝3時，直線x＝是其對稱軸，B項正確. C項，f(x＋π)＝cos，將x＝代入得到f＝co

3、s＝0，所以x＝是f(x＋π)的一個零點，C項正確. D項，因為f(x)＝cos的遞減區(qū)間為 (k∈Z)，遞增區(qū)間為 (k∈Z)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤. 答案　D 3.(2018·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　) A.f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B.f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C.f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D.f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 解析　易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，則f(x)的最小正周期為π，當2x＝2kπ，即x＝kπ(k

4、∈Z)時，f(x)取得最大值，最大值為4. 答案　B 4.(2018·全國Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是(　　) A. B. C. D.π 解析　f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函數(shù)y＝cos x在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞減，則由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因為f(x)在[－a，a]上是減函數(shù)，所以解得a≤，所以0

5、 [2kπ－π，2kπ] 遞減 區(qū)間 [2kπ，2kπ＋π] 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱 中心 (kπ，0) 對稱軸 x＝kπ＋ x＝kπ 周期性 2π 2π π 2.三角函數(shù)的常用結(jié)論 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)； 當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得. (2)y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)； 當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得. (3)y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝

6、kπ(k∈Z)時為奇函數(shù). 3.三角函數(shù)的兩種常見變換 熱點一　三角函數(shù)的定義 【例1】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin α＝，則cos(α－β)＝________. (2)如圖，以O(shè)x為始邊作角α(0<α<π)，終邊與單位圓相交于點P，已知點P的坐標為，則＝________. 解析　(1)法一　由已知得β＝(2k＋1)π－α(k∈Z). ∵sin α＝，∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α＝(k∈Z). 當cos α＝＝時，cos β＝－， ∴cos(α－β)＝c

7、os αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. 當cos α＝－＝－時，cos β＝， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－. 綜上可知，cos(α－β)＝－. 法二　由已知得β＝(2k＋1)π－α(k∈Z)， ∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α， cos β＝cos[(2k＋1)π－α]＝－cos α，k∈Z. 當sin α＝時，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝－(1－sin2α)＋sin2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－. (2)由三角函數(shù)定義，得cos α＝

8、－，sin α＝， ∴原式＝＝＝2cos2α＝2×＝. 答案　(1)－　(2) 探究提高　1.當角的終邊所在的位置不是唯一確定的時候要注意分情況解決，機械地使用三角函數(shù)的定義就會出現(xiàn)錯誤. 2.任意角的三角函數(shù)值僅與角α的終邊位置有關(guān)，而與角α終邊上點P的位置無關(guān).若角α已經(jīng)給出，則無論點P選擇在α終邊上的什么位置，角α的三角函數(shù)值都是確定的. 【訓(xùn)練1】 (1)(2018·濰坊三模)在直角坐標系中，若角α的終邊經(jīng)過點P，則sin(π－α)＝(　　) A. B. C.－ D.－ (2)(2018·北京卷)在平面直角坐標系中，，，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，

9、點P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊.若tan α

10、平移個單位長度，再向上平移1個單位長度 B.向右平移個單位長度，再向上平移1個單位長度 C.向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度 D.向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度 (2)(2018·湖南六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關(guān)于y軸對稱，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象(　　) A.關(guān)于點對稱 B.關(guān)于點對稱 C.關(guān)于直線x＝對稱 D.關(guān)于直線x＝－對稱 解析　(1)因為y＝sin 2x＋1＝cos＋1＝cos＋1， 故只需將函數(shù)y＝cos 2x的圖象向右平移個

11、單位長度，再向上平移1個單位長度，即可得到函數(shù)y＝sin 2x＋1的圖象. (2)由題意，T＝π，ω＝2. 又y＝f ＝sin的圖象關(guān)于y軸對稱.∴φ＋＝kπ＋，k∈Z. 由|φ|<，取φ＝－，因此f(x)＝sin， 代入檢驗f ＝0，A正確. 答案　(1)B　(2)A 探究提高　1.“五點法”作圖：設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點、連線可得. 2.在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換.變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向. 考法2　由函數(shù)的圖象特征求解析式

12、 【例2－2】 (1)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為(　　) A.f(x)＝2sin B.f(x)＝2sin C.f(x)＝2sin D.f(x)＝2sin (2)(2018·濟南調(diào)研)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝(　　) A.1 B. C. D. 解析　(1)由題意知A＝2，T＝4＝π，ω＝2， 因為當x＝時取得最大值2， 所以2＝2sin， 所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 解得φ＝2kπ－，k∈Z， 因為|φ|

13、<，得φ＝－. 因此函數(shù)f(x)＝2sin. (2)觀察圖象可知，A＝1，T＝π，則ω＝2. 又點是“五點法”中的始點， ∴2×＋φ＝0，φ＝. 則f(x)＝sin. 函數(shù)圖象的對稱軸為x＝＝. 又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)， 所以＝，則x1＋x2＝， 因此f(x1＋x2)＝sin＝. 答案　(1)B　(2)D 探究提高　已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點

14、的位置. 【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分圖象如圖所示. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的倍，再把所得的函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最小值. 解　(1)設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，由題圖可知 A＝1，＝－＝， 即T＝π，所以π＝，解得ω＝2， 所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又過點， 由0＝sin可得＋φ＝2kπ，k∈Z， 則φ＝2kπ－，k∈Z，因為|φ|＜，所以φ＝－， 故函數(shù)f(x)的

15、解析式為f(x)＝sin. (2)根據(jù)條件得g(x)＝sin， 當x∈時，4x＋∈， 所以當x＝時，g(x)取得最小值，且g(x) min＝. 熱點三　三角函數(shù)的性質(zhì) 考法1　三角函數(shù)性質(zhì) 【例3－1】 (2018·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對稱軸方程； (2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性. 解　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π， ∴ω＝2，于是f(x)＝sin. 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z). 即函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝＋(

16、k∈Z). (2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). 注意到x∈，所以令k＝0， 得函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為； 同理，其單調(diào)遞減區(qū)間為. 探究提高　1.討論三角函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個角的一種三角函數(shù). 2.求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間，是將ωx＋φ作為一個整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為y＝Asin(ωx＋φ)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當A＞0，ω＜0時，需先利用誘導(dǎo)公式變形為y＝－Asin(－ωx－φ)，則y

17、＝Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間. 考法2　三角函數(shù)性質(zhì)與圖象的綜合應(yīng)用 【例3－2】 已知函數(shù)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10個零點，求b的最小值. 解　(1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋(2sin2ωx－1) ＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin. 由最小正周期為π，得ω＝1， 所以f(x)

18、＝2sin， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 整理得kπ－≤x≤kx＋，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到y(tǒng)＝2sin 2x＋1的圖象； 所以g(x)＝2sin 2x＋1. 令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)， 所以在[0，π]上恰好有兩個零點，若y＝g(x)在[0，b]上有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可. 所以b的最小值為4π＋＝. 探究提高　1.研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)

19、的形式，利用正余弦函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解. 2.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.應(yīng)特別注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期為T＝. 【訓(xùn)練3】 (2018·湖南師大附中質(zhì)檢)已知向量m＝(2cos ωx，－1)，n＝(sin ωx－cos ωx，2)(ω>0)，函數(shù)f(x)＝m·n＋3，若函數(shù)f(x)的圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)若將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移個單位，然后縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，當x∈時，求函數(shù)g(x)的值域. 解　(1)f(x)＝

20、m·n＋3＝2cos ωx(sin ωx－cos ωx)－2＋3 ＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin. 依題意知，最小正周期T＝π. ∴ω＝1，因此f(x)＝sin. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 求得f(x)的增區(qū)間為，k∈Z. (2)將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移個單位， 得y＝sin＝sin的圖象. 然后縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，得到函數(shù)g(x)＝sin的圖象. 故g(x)＝sin， 由≤x≤，知≤4x＋≤. ∴－1≤sin≤. 故函數(shù)g(x)的值域是[－，1]. 1.已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的圖象求解

21、析式 (1)A＝，B＝. (2)由函數(shù)的周期T求ω，ω＝. (3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求φ. 2.運用整體換元法求解單調(diào)區(qū)間與對稱性 類比y＝sin x的性質(zhì)，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整體代入求解. (1)令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得對稱軸方程； (2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對稱中心的橫坐標； (3)將ωx＋φ看作整體，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，注意ω的符號. 3.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)

22、化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函數(shù))的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題. 一、選擇題 1.(2018·全國Ⅲ卷)函數(shù)f(x)＝的最小正周期為(　　) A. B. C.π D.2π 解析　f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 答案　C 2.(2017·全國Ⅲ卷)函數(shù)f(x)＝sin＋cos的最大值為(　　) A. B.1 C. D. 解析　cos ＝cos＝sin，則f(x)＝sin＋sin＝sin

23、，函數(shù)的最大值為. 答案　A 3.(2018·湖南六校聯(lián)考)定義一種運算＝ad－bc，將函數(shù)f(x)＝的圖象向左平移φ(φ>0)個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則φ的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析　f(x)＝2cos x－2sin x＝4cos， 依題意g(x)＝f(x＋φ)＝4cos是偶函數(shù)(其中φ>0). ∴＋φ＝kπ，k∈Z，則φmin＝π. 答案　C 4.偶函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分圖象如圖所示，其中△EFG是斜邊為4的等腰直角三角形(E，F(xiàn)是函數(shù)與x軸的交點，點G在圖象上)，則f(1)的值為(

24、　　) A. B. C. D.2 解析　依題設(shè)，＝|EF|＝4，T＝8，ω＝. ∵函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，且0<φ<π. ∴φ＝，在等腰直角△EGF中，易求A＝2. 所以f(x)＝2sin＝2cosx，則f(1)＝. 答案　C 5.(2018·天津卷)將函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)(　　) A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間上單調(diào)遞減 C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減 解析　把函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個單位長度得函數(shù)g(x)＝sin＝sin 2x的圖象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)得

25、－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函數(shù)g(x)＝sin 2x的一個單調(diào)遞增區(qū)間為. 答案　A 二、填空題 6.(2018·江蘇卷)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則φ的值是________. 解析　由函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，得sin＝±1.因為－<φ<，所以<＋φ<，則＋φ＝，φ＝－. 答案　－ 7.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，其中|PQ|＝2.則f(x)的解析式為________. 解析　由題圖可知A＝2，P(x1，－2)，Q(x2，2)，所以|PQ|＝＝＝2.整理得|x1－x

26、2|＝2，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2|x1－x2|＝4，即＝4，解得ω＝.又函數(shù)圖象過點(0， －)，所以2sin φ＝－，即sin φ＝－.又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin. 答案　f(x)＝2sin 8.(2018·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f 對任意的實數(shù)x都成立，則ω的最小值為________. 解析　由于對任意的實數(shù)都有f(x)≤f 成立，故當x＝時，函數(shù)f(x)有最大值，故f ＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z).又ω>0，∴ωmin＝. 答案　 三、解答題 9.已知函數(shù)f(x)＝4tan xsin·co

27、s－. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性. 解　(1)f(x)的定義域為{x|x≠＋kπ，k∈Z}， f(x)＝4tan xcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x－cos 2x ＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 設(shè)A＝，B＝，易知A∩B＝. 所以當x∈時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減. 10.(2018·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝s

28、insin x－cos2x＋. (1)求f(x)的最大值及取得最大值時x的值； (2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2，求cos(x1－x2)的值. 解　(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1) ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 當2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)時，函數(shù)f(x)取最大值，且最大值為1. (2)由(1)知，函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x＝π＋kπ，k∈Z， ∴當x∈(0，π)時，對稱軸為x＝π. 又方程f(x)＝在(0，π)上的解為x1，x2. ∴x1＋x2＝π，則x1＝π－x2， ∴cos(x1－x2

29、)＝cos＝sin， 又f(x2)＝sin＝， 故cos(x1－x2)＝. 11.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f＝0. (1)求ω； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g (x)在上的最小值. 解　(1)因為f(x)＝sin＋sin， 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ＝sin ωx－cos ωx＝ ＝sin. 由題設(shè)知f ＝0， 所以－＝kπ，k∈Z，故ω＝6k＋2，k∈Z. 又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f(x)＝sin， 所以g(x)＝sin＝sin. 因為x∈，所以x－∈， 當x－＝－，即x＝－時，g(x)取得最小值－. 16