《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第2章 等式與不等式 2.1.1 等式的性質與方程的解集學案 新人教B版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第2章 等式與不等式 2.1.1 等式的性質與方程的解集學案 新人教B版必修第一冊（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.1.1　等式的性質與方程的解集 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.理解且會運用等式的性質．(重點) 2．理解恒等式的概念，會進行恒等變形．(難點) 3．會求方程的解集．(重點) 1.借助等式的性質，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)． 2．通過求方程的解集，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算的核心素養(yǎng). 1．等式的性質 性質：(1)：等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數(shù)(或代數(shù)式)，等式仍成立． 用字母表示為：如果a＝b，則對任意的c，都有a±c＝b±c. 性質(2)：等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個數(shù)(或代數(shù)式)(除數(shù)或代數(shù)式不為0)，等式仍成立． 用字母表示為：如果a＝b，則對

2、任意的c，都有a×c＝b×c，a÷c＝b÷c(c≠0)． 2．恒等式 (1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實數(shù)時等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等．恒等式是進行代數(shù)變形的依據(jù)之一． (2)一個經(jīng)常會用到的恒等式：對任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab. (3)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)進行分解； ②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)進行分解． 3．方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．求方程解的過程叫做解方程．把一個方程

3、所有解組成的集合稱為這個方程的解集． 1．下列運用等式性質進行的變形，正確的是(　　) A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c B．如果a2＝3a，那么a＝3 C．如果a＝b，那么＝ D．如果＝，那么a＝b D　[A.當a＝b時，a＋c＝b＋c，故A錯誤；B.當a＝0時，此時a≠3，故B錯誤；C.當c＝0時，此時與無意義，故C錯誤；故選D.] 2．下列算式：(1)3a＋2b＝5ab；(2)5y2－2y2＝3；(3)7a＋a＝7a2；(4)4x2y－2xy2＝2xy中正確的有(　　) A．0個　　　B．1個　　　C．2個　　　D．3個 A　[(1)(4)不是同類項，不能合并；

4、(2)5y2－2y2＝3y2；(3)7a＋a＝8a.所以4個算式都錯誤．故選A.] 3．已知A＝x3＋6x－9，B＝－x3－2x2＋4x－6，則2A－3B等于(　　) A．－x3＋6x2 B．5x3＋6x2 C．x3－6x D．－5x3＋6x2 B　[依題意，可得2A－3B＝2(x3＋6x－9)－3(－x3－2x2＋4x－6)＝5x3＋6x2，故選B.] 4．x2－4的因式分解的結果是(　　) A．(x－2)2 B．(x－2)(x＋2) C．(x＋2)2 D．(x－4)(x＋4) B　[x2－4＝(x＋2)(x－2)．故選B.] 等式性質的應用 【例

5、1】　已知x＝y(tǒng), 則下列各式：①x－3＝y(tǒng)－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤＝；⑥＝.其中正確的有(　　) A．①②③　　　　　　 B．④⑤⑥ C．①③⑤ D．②④⑥ C　[①x－3＝y(tǒng)－3；③－2x＝－2y；⑤＝正確，故選C.] 在等式變形中運用等式的性質時要注意，必須保證等式兩邊同乘以或除以的同一個數(shù)是不為零的數(shù)，此外，還要注意等式本身隱含的條件. 1．設x，y，c是實數(shù)，下列正確的是(　　) A．若x＝y(tǒng)，則x＋c＝y(tǒng)－c B．若x＝y(tǒng)，則xc＝y(tǒng)c C．若x＝y(tǒng)，則＝ D．若＝，則2x＝3y B　[A.兩邊加不同的數(shù)，故A不符合題意

6、； B．兩邊都乘以c，故B符合題意； C．c＝0時，兩邊都除以c無意義，故C不符合題意； D．兩邊乘6c，得到3x＝2y，故D不符合題意．故選B.] 恒等式的化簡 【例2】　化簡： (1)(3a－2)－3(a－5)； (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2； (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)； (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]． [解]　(1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13. (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2. (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m

7、－2n＝m－n. (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2. 去括號時，首先要弄清楚括號前究竟是“＋”號，還是“－”號，其次要注意法則中的“都”字，都改變符號或都不改變符號，一定要一視同仁，尤其是括號前面是“－”號時，容易出現(xiàn)只改變括號內首項符號，而其余各項均不變號的錯誤. 2．計算： (1)a2－3ab＋5－a2－3ab－7; (2)5(m＋n)－4(3m－2n)＋3(2m－3n)； (3)3(－5x＋

8、y)－[(2x－4y)－2(3x＋5y)]． [解]　(1)原式＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(5－7)＝－6ab－2. (2)原式＝5m＋5n－12m＋8n＋6m－9n＝(5－12＋6)m＋(5＋8－9)n＝－m＋4n. (3)原式＝－15x＋3y－(2x－4y－6x－10y)＝－15x＋3y－(－4x－14y)＝－15x＋3y＋4x＋14y＝(－15＋4)x＋(3＋14)y＝－11x＋17y. 【例3】　十字相乘法分解因式： (1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16. [解]　(1)因為 所以：原式＝(x＋7)(x－8)． (2)因為

9、 所以：原式＝(x－2)(x－8)． 常數(shù)項為正，分解的兩個數(shù)同號；常數(shù)項為負，分解的兩個數(shù)異號. 二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上. 3．將y2－5y＋4因式分解的結果是(　　) A．(y＋1)(y＋4) B．(y＋1)(y－4) C．(y－1)(y＋4) D．(y－1)(y－4) D　[因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故選D.] 方程的解集 【例4】　求下列方程的解集． (1)x(x＋2)＝2x＋4； (2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.

10、 [解]　(1)原方程可變形為x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)(x＋2)＝0， 從而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集為{－2,2}． (2)利用平方差，將原方程變?yōu)閇4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0， 整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝或x＝32， 故原方程的解集為. 用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步驟 (1)移項，將一元二次方程的右邊化為0； (2)化積，利用提取公因式法、公式法等將一 元二次方程的左邊分解為兩個一次因式的積； (3)轉化，兩個因式分別

11、為0，轉化為兩個一 元一次方程 (4)求解，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解； (5)將其解寫成集合的形式. 4．若x＝－2是關于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一個根，則a的值為(　　) A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4 B　[∵x＝－2是關于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的 一個根， ∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4.] 1．利用等式性質進行化簡要注意是否恒等變形，化簡要徹底，要注意符號的變換． 2．十字相乘法分解因式的步驟：移項→化積→轉化→求解． 3．方程的解集

12、要寫成集合的形式． 1．若3a＝2b，下列各式進行的變形中，不正確的是(　　) A．3a＋1＝2b＋1　　 B．3a－1＝2b－1 C．9a＝4b D．－＝－ C　[A.∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正確，不合題意； B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正確，不合題意； C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此選項錯誤，符合題意； D．∵3a＝2b，∴－＝－，正確，不合題意．故選C.] 2．(m＋n)－2(m－n)的計算結果是(　　) A．3n＋2m B．3n＋m C．3n－m D．3n＋2m C　[原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故選C.] 3．下列方程的解正確的是(　　) A．x－3＝1的解集是{－2} B.x－2x＝6的解集是{－4} C．3x－4＝(x－3)的解集是{3} D．－x＝2的解集是 B　[方程x－3＝1的解是x＝4，x－2x＝6的解是x＝－4,3x－4＝(x－3)的解是x＝－7，－x＝2的解是x＝－6，故選B.] 4．方程2x－1＝0的解集是________． 　[由2x－1＝0，解得x＝，方程的解集是.] - 6 -