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1、1.4.2全稱量詞與存在量詞(二)量詞否定
教學(xué)目標(biāo):利用日常生活中的例子和數(shù)學(xué)的命題介紹對量詞命題的否定,使學(xué)生進(jìn)一步理解全稱量詞、存在量詞的作用.
教學(xué)重點(diǎn):全稱量詞與存在量詞命題間的轉(zhuǎn)化;
教學(xué)難點(diǎn):隱蔽性否定命題的確定;
課 型:新授課
教學(xué)手段:多媒體
教學(xué)過程:
一、創(chuàng)設(shè)情境
數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語,在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞(用符號分別記為“ ”與“”來表示);由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命
2、題的邏輯關(guān)系中,都容易判斷,但它們的否定形式是我們困惑的癥結(jié)所在。
二、活動嘗試
問題1:指出下列命題的形式,寫出下列命題的否定。
(1)所有的矩形都是平行四邊形;
(2)每一個素數(shù)都是奇數(shù);
(3)"x?R,x2-2x+1≥0
分析:(1)",否定:存在一個矩形不是平行四邊形;
(2),否定:存在一個素數(shù)不是奇數(shù);
(3),否定:$x?R,x2-2x+1<0;
這些命題和它們的否定在形式上有什么變化?
結(jié)論:從命題形式上看,這三個全稱命題的否定都變成了存在性命題.
三、師生探究$
問題2:寫出命題的否定
(1)p:$ x∈R,x2+2x+2≤0;
(2)p:有的
3、三角形是等邊三角形;
(3)p:有些函數(shù)沒有反函數(shù);
(4)p:存在一個四邊形,它的對角線互相垂直且平分;
分析:(1)" x?R,x2+2x+2>0;
(2)任何三角形都不是等邊三角形;
(3)任何函數(shù)都有反函數(shù);
(4)對于所有的四邊形,它的對角線不可能互相垂直或平分;
從集合的運(yùn)算觀點(diǎn)剖析:,
四、數(shù)學(xué)理論
1.全稱命題、存在性命題的否定
一般地,全稱命題P:" x?M,有P(x)成立;其否定命題┓P為:$x∈M,使P(x)不成立。存在性命題P:$x?M,使P(x)成立;其否定命題┓P為:" x?M,有P(x)不成立。
用符號語言表示:
P:"?M, p(x)否定
4、為? P: $?M, ? P(x)
P:$?M, p(x)否定為? P: "?M, ? P(x)
在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞,存在性的量詞改成全稱性的量詞,并把量詞作用范圍進(jìn)行否定。即須遵循下面法則:否定全稱得存在,否定存在得全稱,否定肯定得否定,否定否定得肯定.
2.關(guān)鍵量詞的否定
詞語
是
一定是
都是
大于
小于
且
詞語的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
詞語
必有一個
至少有n個
至多有一個
所有x成立
所有x不成立
詞語的否定
一個也沒有
至多有n-1個
至少有兩個
存在
5、一個x不成立
存在有一個成立
五、鞏固運(yùn)用
例1 寫出下列全稱命題的否定:
(1)p:所有人都晨練;
(2)p:"x?R,x2+x+1>0;
(3)p:平行四邊形的對邊相等;
(4)p:$ x∈R,x2-x+1=0;
分析:(1)? P:有的人不晨練;(2)$ x∈R,x2+x+1≤0;(3)存在平行四邊形,它的的對邊不相等;(4)"x?R,x2-x+1≠0;
例2 寫出下列命題的否定。
(1) 所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。
(2) 任何實(shí)數(shù)x都是方程5x-12=0的根。
(3) 對任意實(shí)數(shù)x,存在實(shí)數(shù)y,使x+y>0.
(4) 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。
解:(1
6、)的否定:有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。
(2)的否定:存在實(shí)數(shù)x不是方程5x-12=0的根。
(3)的否定:存在實(shí)數(shù)x,對所有實(shí)數(shù)y,有x+y≤0。
(4)的否定:所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。
解題中會遇到省略了“所有,任何,任意”等量詞的簡化形式,如“若x>3,則x2>9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡單命題處理;這種情形下時應(yīng)先將命題寫成完整形式,再依據(jù)法則來寫出其否定形式。
例3 寫出下列命題的否定。
(1) 若x2>4 則x>2.。
(2) 若m≥0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。
(3) 可以被5整除的整數(shù),末位是0。
(4) 被8整除的數(shù)能被4整除。
(5)
7、若一個四邊形是正方形,則它的四條邊相等。
解(1)否定:存在實(shí)數(shù),雖然滿足>4,但≤2?;蛘哒f:存在小于或等于2的數(shù),滿足>4。(完整表達(dá)為對任意的實(shí)數(shù)x, 若x2>4 則x>2)
(2)否定:雖然實(shí)數(shù)m≥0,但存在一個,使+ -m=0無實(shí)數(shù)根。(原意表達(dá):對任意實(shí)數(shù)m,若m≥0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。)
(3)否定:存在一個可以被5整除的整數(shù),其末位不是0。
(4)否定:存在一個數(shù)能被8整除,但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)
(5)否定:存在一個四邊形,雖然它是正方形,但四條邊中至少有兩條不相等。(原意表達(dá)為無論哪個四邊形,若它是正方形,則它的四
8、條邊中任何兩條都相等。)
例4 寫出下列命題的非命題與否命題,并判斷其真假性?!?
(1)p:若x>y,則5x>5y;
(2)p:若x2+x﹤2,則x2-x﹤2;
(3)p:正方形的四條邊相等;
(4)p:已知a,b為實(shí)數(shù),若x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集,則a2-4b≥0。
解:(1)? P:若 x>y,則5x≤5y; 假命題
否命題:若x≤y,則5x≤5y;真命題
(2)? P:若x2+x﹤2,則x2-x≥2;真命題
否命題:若x2+x≥2,則x2-x≥2);假命題。
(3)? P:存在一個四邊形,盡管它是正方形,然而四條邊中至少有兩條邊不相等
9、;假命題。
否命題:若一個四邊形不是正方形,則它的四條邊不相等。假命題。
(4)? P:存在兩個實(shí)數(shù)a,b,雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集,但使a2-4b﹤0。假命題。
否命題:已知a,b為實(shí)數(shù),若x2+ax+b≤0沒有非空實(shí)解集,則a2-4b﹤0。真命題。
評注:命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由:
1.任何命題均有否定,無論是真命題還是假命題;而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。2.命題的否定(非)是原命題的矛盾命題,兩者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命題與原命題可能是同真同假,也可能是一真一假。
3. 原命題“若P則q” 的形式,它的非
10、命題“若p,則?q”;而它的否命題為 “若┓p,則┓q”,既否定條件又否定結(jié)論。
六、回顧反思
在教學(xué)中,務(wù)必理清各類型命題形式結(jié)構(gòu)、性質(zhì)關(guān)系,才能真正準(zhǔn)確地完整地表達(dá)出命題的否定,才能避犯邏輯性錯誤,才能更好把邏輯知識負(fù)載于其它知識之上,達(dá)到培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。
七、課后練習(xí)
1.命題p:存在實(shí)數(shù)m,使方程x2+mx+1=0有實(shí)數(shù)根,則“非p”形式的命題是( )
A.存在實(shí)數(shù)m,使得方程x2+mx+1=0無實(shí)根;
B.不存在實(shí)數(shù)m,使得方程x2+mx+1=0有實(shí)根;
C.對任意的實(shí)數(shù)m,使得方程x2+mx+1=0有實(shí)根;
D.至多有一個實(shí)數(shù)m,使得方程x2
11、+mx+1=0有實(shí)根;
2.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù),整數(shù)是有理數(shù),則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯誤的,是因?yàn)椋? )
A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤
3.命題“"x?R,x2-x+3>0”的否定是
4.“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的
否定形式是
否命題是
5.寫出下列命題的否定,并判斷其真假:
(
12、1)p:"m∈R,方程x2+x-m=0必有實(shí)根;
(2)q:$?R,使得x2+x+1≤0;
6.寫出下列命題的“非P”命題,并判斷其真假:
(1)若m>1,則方程x2-2x+m=0有實(shí)數(shù)根.
(2)平方和為0的兩個實(shí)數(shù)都為0.
(3)若是銳角三角形, 則的任何一個內(nèi)角是銳角.
(4)若abc=0,則a,b,c中至少有一為0.
(5)若(x-1)(x-2)=0 ,則x≠1,x≠2.
八、參考答案:
1. B
2.C
3.$ x?R,x2-x+3≤0
4.否定形式:末位數(shù)是0或5的整數(shù),不能被5整除
否命題:末位數(shù)不是0且不是5的整數(shù),不能被5整除
5.(1)?p:$m∈R,方程x2+x-m=0無實(shí)根;真命題。
(2)?q:"?R,使得x2+x+1>0;真命題。
6. ⑴ 若m>1,則方程x2-2x+m=0無實(shí)數(shù)根,(真);
⑵平方和為0的兩個實(shí)數(shù)不都為0(假);
⑶若是銳角三角形, 則的任何一個內(nèi)角不都是銳角(假);
⑷若abc=0,則a,b,c中沒有一個為0(假);
⑸若(x-1)(x-2)=0,則 或,(真).