《2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1篇 專題7 解析幾何 第3講 第1課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問(wèn)題學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1篇 專題7 解析幾何 第3講 第1課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問(wèn)題學(xué)案(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第一課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問(wèn)題
考向一 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題
【典例】 (2018·合肥三模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,以拋物線上一動(dòng)點(diǎn)M為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F.若圓M的面積最小值為π.
(1)求p的值;
(2)當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1且位于第一象限時(shí),過(guò)M作拋物線的兩條弦MA,MB,且滿足∠AMF=∠BMF. 若直線AB恰好與圓M相切,求直線AB的方程.
[思路分析]
總體
設(shè)計(jì)
看到:求p的值,想到:建立關(guān)于p的方程求解.
看到:求直線的方程,想到:求出直線斜率后設(shè)出直線的斜截式方程,待定系數(shù)法求解.
解題
指導(dǎo)
(1)由拋物線的
2、性質(zhì)知,當(dāng)圓心M位于拋物線的頂點(diǎn)時(shí),圓M的面積最小,由=π可得p的值;
(2)依橫坐標(biāo)相等可得,MF⊥x軸,kMA+kMB=0,設(shè)kMA=k(k≠0),則直線MA的方程為y=k(x-1)+2,代入拋物線的方程得,利用韋達(dá)定理求出A的坐標(biāo),同理求出B的坐標(biāo),求出AB的斜率為定值-1,設(shè)直線AB的方程為y=-x+m,由圓心到直線的距離等于半徑,列方程解得m=3±2,從而可得直線AB的方程.
[規(guī)范解答] (1)由拋物線的性質(zhì)知,當(dāng)圓心M位于拋物線的頂點(diǎn)時(shí),圓M的面積最小,
1分
此時(shí)圓的半徑為|OF|=,∴=π,解得p=2. 3分
(2)依題意得,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2),圓M的半徑
3、為2.由F(1,0)知,MF⊥x軸. 4分
由∠AMF=∠BMF知,弦MA,MB所在直線的傾斜角互補(bǔ),∴kMA+kMB=0. 5分
設(shè)kMA=k(k≠0),則直線MA的方程為y=k(x-1)+2,∴x=(y-2)+1, 6分
代入拋物線的方程得y2=4,
∴y2-y+-4=0, 7分
∴yA+2=,yA=-2. 8分
將k換成-k,得yB=--2, 9分
∴kAB=====-1. 10分
設(shè)直線AB的方程為y=-x+m,即x+y-m=0.
由直線AB與圓M相切得,=2,解得m=3±2. 11分
經(jīng)檢驗(yàn)m=3+2不符合要求,故m=3+2舍去.
∴所求直線AB的方程為y
4、=-x+3-2. 12分
[技法總結(jié)] 解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的步驟
(1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組,消元得方程(注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零) ;
(3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式;
(4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長(zhǎng)公式求解.
[變式提升]
1.(2018·佛山二模)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,0),且與拋物線T:y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A在第四象限,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)A是PC中點(diǎn)時(shí),求直線l的方程;
(2)以AB為直徑的圓交直線OB于點(diǎn)D,求|OB|·|OD|的值.
解 (1)因?yàn)锳是PC中點(diǎn),P
5、(2,0),點(diǎn)C在y軸上,
所以A的橫坐標(biāo)x=1,代入y2=4x得,y=±2,
又點(diǎn)A在第四象限,所以A的坐標(biāo)為(1,-2),
所以直線AP即直線l的方程為y=2x-4.
(2)顯然直線l的斜率不為0,設(shè)直線l的方程為
x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
又B,O,D三點(diǎn)共線,
則可設(shè)D為(λx2,λy2)(λ≠1且λ≠0),
聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得到y(tǒng)2-4my-8=0,
由韋達(dá)定理得y1·y2=-8,
又A,B在y2=4x上,所以x1·x2=4,
因?yàn)镈在以AB為直徑的圓上,
所以⊥,即·=0,
又=(λx2-x1,λy2-y1),=(λx2,λy2),
6、
所以(λx2-x1)(λx2)+(λy2-y1)(λy2)=0,
即λ(x+y)=-4,
所以|OB|·|OD|=|λ||OB|2=|λ|(x+y)=4.
考向二 圓錐曲線中的證明問(wèn)題
【典例】 已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
(1)解 設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0).
由題意得解得c=.
所以b2=a2-c2=1.
所以橢圓C的方程為+y2=1.
7、
(2)證明 設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).
由題設(shè)知m≠±2,且n≠0.
直線AM的斜率kAM=,
故直線DE的斜率kDE=-.
所以直線DE的方程為y=-(x-m).
直線BN的方程為y=(x-2).
聯(lián)立
解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=-.
由點(diǎn)M在橢圓C上,得4-m2=4n2,所以yE=-n.
又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,
S△BDN=|BD|·|n|,
所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
[技法總結(jié)] 圓錐曲線證明問(wèn)題的類型及求解策略
(1)圓錐曲線中的證明問(wèn)題,主要有兩類:一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置
8、關(guān)系,如:某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過(guò)某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等;二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等).
(2)解決證明問(wèn)題時(shí),主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,通過(guò)相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明.
[變式提升]
2.(2018·大慶二模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為2,且C過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)B1、B2分別是橢圓C的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),P是橢圓上異于B1、B2的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于M,N為線段PM的中點(diǎn),直線B2N與直線y=-1交于點(diǎn)D,E為線段B1D的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
9、
求證:ON⊥EN.
(1)解 由題設(shè)知焦距為2,所以c=.
又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn),
所以代入橢圓方程得+=1,
因?yàn)閍2=b2+c2,解得a=2,b=1,
故所求橢圓C的方程是+y2=1.
(2)證明 設(shè)P(x0,y0),x0≠0,則M(0,y0),N.
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上,所以+y=1.即x=4-4y.
又B2(0,1),所以直線B2N的方程為y-1=x.
令y=-1,得x=,所以D.
又B1(0,-1),E為線段B1D的中點(diǎn),
所以E. 所以=,
=.
因·=+y0(y0+1)
=-+y+y0
=1-+y0=1-y0-1+y0=0,
所以⊥, 即ON⊥EN.
5