《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.3 函數(shù)的奇偶性 第1課時(shí) 函數(shù)的奇偶性學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.3 函數(shù)的奇偶性 第1課時(shí) 函數(shù)的奇偶性學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1課時(shí)　函數(shù)的奇偶性 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和奇偶函數(shù)圖像的特征.2.會(huì)根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念判斷和證明函數(shù)的奇偶性． 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的概念，判斷函數(shù)奇偶性的方法． 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷. 【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨(dú)具內(nèi)容) 畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)：“一切平面圖形中，最美的是圓形．”那是因?yàn)閳A在各個(gè)方向上都是對(duì)稱的，是一種極致的美．可以這樣說(shuō)，大自然便是用對(duì)稱來(lái)組織與生成的．如我們?nèi)梭w則更是這種高度對(duì)稱的代表．請(qǐng)大家再舉幾個(gè)對(duì)稱的例子(更好地激發(fā)學(xué)習(xí)熱情)．由于函數(shù)是用來(lái)揭示自然界的奧秘的，因此有些函數(shù)便天然地具有這種對(duì)稱性．我們還知道

2、，對(duì)稱有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱兩種，如果這 個(gè)對(duì)稱軸變成了坐標(biāo)系中的y軸，對(duì)稱中心變成了原點(diǎn)，那么此時(shí)的函數(shù)具有哪些性質(zhì)呢？這些性質(zhì)是否一樣能給我們帶來(lái)美的享受呢？ 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一　函數(shù)奇偶性的概念 (1)偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，則稱y＝f(x)為偶函數(shù)． (2)奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則稱y＝f(x)為奇函數(shù)． 知識(shí)點(diǎn)二 奇偶函數(shù)的圖像特征 (1)偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；反之，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)一定

3、是偶函數(shù)． (2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；反之，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)． 【新知拓展】 　理解函數(shù)的奇偶性要注意的四點(diǎn) (1)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，只有對(duì)其定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能說(shuō)f(x)是奇(或偶)函數(shù)． (2)函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個(gè)必不可少的條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，換言之，若所給函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性．例如，函數(shù)y＝x2在區(qū)間(－∞，＋∞)上是偶函數(shù)，但在區(qū)間[－1,2]上卻無(wú)奇偶性可言． (3)若奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義

4、，則必有f(0)＝0. (4)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既奇又偶的函數(shù)有且只有一類，即f(x)＝0，x∈D，D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空實(shí)數(shù)集． 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)奇、偶函數(shù)的定義域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(　　) (2)函數(shù)f(x)＝x2的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(　　) (3)對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)，若f(－1)＝－f(1)，則函數(shù)f(x)一定是奇函數(shù)．(　　) (4)函數(shù)f(x)＝x3，x∈[－1,1)是奇函數(shù)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做(請(qǐng)把正確的答案

5、寫在橫線上) (1)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝______. (2)函數(shù)f(x)＝x在定義域R上是________函數(shù)(填“奇”或“偶”)． (3)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，若f(2)＝4，則f(－2)＝________. 答案　(1)0　(2)奇　(3)4 題型一 函數(shù)奇偶性的判斷 例1　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝x4＋2x2； (2)f(x)＝x3＋； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝2－|x|； (5)f(x)＝； (6)f(x)＝x3＋x2. [解]　(1)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

6、且f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)． (2)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)． (3)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閧－1,1}，是兩個(gè)具體數(shù)，但它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)＝＋既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)． (4)因?yàn)閒(x)的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)． (5)因?yàn)閒(x)＝的定義域是{x|x≥0}，它不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x

7、)是非奇非偶函數(shù)． (6)因?yàn)閒(x)＝x3＋x2的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x)＝－x3＋x2， 所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)， 所以f(x)是非奇非偶函數(shù)． 金版點(diǎn)睛 判斷函數(shù)奇偶性的方法 (1)定義法 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．步驟如下： ①判斷函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若不對(duì)稱，則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，若對(duì)稱，則進(jìn)行下一步． ②驗(yàn)證．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)． ③下結(jié)論．若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)； 若f(－x)≠－f(x)，且f(－x

8、)≠f(x)，則f(x)為非奇非偶函數(shù)． (2)圖像法 ①若f(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)是奇函數(shù)． ②若f(x)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)是偶函數(shù)． ③若f(x)圖像既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)． ④若f(x)的圖像既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又不關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (3)性質(zhì)法 ①偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)； ②奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)； ③奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)； ④一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)． 　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(

9、x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|； (4)f(x)＝·. 解　(1)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱，即存在－4∈[－4,4)，而4?[－4,4)，所以，函數(shù)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)任意的x(x≠0)有f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以，函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (3)函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)任意的x∈R，都有f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2

10、|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，所以，函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函數(shù)． (4)函數(shù)的定義域?yàn)閇1，＋∞)，由于函數(shù)f(x)的定義域不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 題型二 奇偶函數(shù)的圖像特征及應(yīng)用 例2　(1)如圖①，給出奇函數(shù)y＝f(x)的局部圖像，試作出y軸右側(cè)的圖像并求出f(3)的值． (2)如圖②，給出偶函數(shù)y＝f(x)的局部圖像，試作出它在y軸右側(cè)的圖像，并比較f(1)與f(3)的大小． [解]　(1)奇函數(shù)y＝f(x)在y軸左側(cè)圖像上任一點(diǎn)P(－x，－f(x))關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是P′(x，f(x))．下圖為

11、補(bǔ)充后的圖像．易知f(3)＝－2. (2)偶函數(shù)y＝f(x)在y軸左側(cè)圖像上任一點(diǎn)P(－x，f(x))關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是P′(x，f(x))，如圖為補(bǔ)充后的圖像，易知f(1)>f(3)． 金版點(diǎn)睛 用奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性作圖 給出奇函數(shù)(或偶函數(shù))在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的某個(gè)半平面上的圖像，要作出它在另一個(gè)半平面內(nèi)的圖像是依據(jù)奇、偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性．其過(guò)程是作出原圖像上幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(圖像的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)關(guān)于原點(diǎn)或y軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后按原圖像的特征用平滑曲線連接這些點(diǎn)，就作出了它在另外一個(gè)半平面內(nèi)的圖像． 　奇函數(shù)y＝f(x)的局部圖像如圖，試作出該函數(shù)在y軸左側(cè)部分

12、的圖像，并根據(jù)圖像寫出y＝f(x)(x∈R)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解　將奇函數(shù)y＝f(x)在y軸左側(cè)的圖像補(bǔ)充后如圖所示． 由圖像可知，函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－3)、(－1,0)、(0,1)和(3，＋∞)． 1．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　) A．y＝－|x| B．y＝2－x C．y＝ D．y＝－x2＋8 答案　C 解析　A，D中，函數(shù)均為偶函數(shù)，B中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而C中函數(shù)為奇函數(shù)． 2．若函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)

13、 C．f(－x)f(x)≤0 D.＝－1 答案　D 解析　∵f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝－2f(x)，f(－x)·f(x)＝－[f(x)]2≤0，∴A，B，C正確． 而D不一定成立，如f(x)＝x，則＝＝－1(x≠0)，即當(dāng)x＝0時(shí)，無(wú)意義． 3．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　由題意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋

14、g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.兩式相加，解得g(1)＝3. 4．偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖像如圖，則函數(shù)f(x)的增區(qū)間為_(kāi)_______． 答案　[－1,0]，[1，＋∞) 解析　偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，補(bǔ)全圖像后可知函數(shù)f(x)的增區(qū)間為[－1,0]，[1，＋∞)． 5．判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝. 解　(1)∵x∈R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2] ＝x2(x2＋2)＝f(x)， ∴f(x)為偶函數(shù)． (2)∵x∈R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)． (3)f(x)的定義域?yàn)閇－1,0)∪(0,1]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)． ∴f(x)為奇函數(shù)． 8