《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性 第2課時(shí) 函數(shù)的平均變化率學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性 第2課時(shí) 函數(shù)的平均變化率學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2課時(shí)　函數(shù)的平均變化率 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.了解函數(shù)平均變化率的幾何意義.2.理解函數(shù)遞增和遞減的充要條件，并能夠運(yùn)用函數(shù)遞增和遞減的充要條件判斷函數(shù)的單調(diào)性． 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)遞增和遞減的充要條件． 教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用函數(shù)遞增和遞減的充要條件證明函數(shù)的增減性. 【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨(dú)具內(nèi)容) 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了從函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)證明函數(shù)單調(diào)性的方法，那么證明函數(shù)的單調(diào)性還有沒(méi)有其他方法呢？這節(jié)課我們就來(lái)研究證明函數(shù)單調(diào)性的另一種方法——函數(shù)的平均變化率． 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一　函數(shù)平均變化率的定義 一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱(chēng)＝，為函數(shù)y＝

2、f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1x2時(shí))上的平均變化率． 知識(shí)點(diǎn)二 函數(shù)遞增和遞減的充要條件 一般地，若I是函數(shù)y＝f(x)的定義域的子集，對(duì)任意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，則： (1)y＝f(x)在I上是增函數(shù)的充要條件是>0在I上恒成立； (2)y＝f(x)在I上是減函數(shù)的充要條件是<0在I上恒成立． 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)對(duì)于給定平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若記Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1，則表示直線(xiàn)AB的斜率．(　　)

3、(2)若函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，則在(a，b)上一定有>0.(　　) (3)在增函數(shù)和減函數(shù)的充要條件中，可以把“任意x1，x2”改為“存在x1，x2”．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線(xiàn)上) (1)函數(shù)遞增的充要條件是其圖像上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率都________0，函數(shù)遞減的充要條件是其圖像上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率都________0. (2)函數(shù)：①f(x)＝x2，②f(x)＝，③f(x)＝|x|，④f(x)＝2x＋1中，滿(mǎn)足對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0的是________． (3)函數(shù)f(x)＝－x2－2x

4、的最大值是________． 答案　(1)>　<　(2)②　(3)1 題型一 函數(shù)單調(diào)性的證明及應(yīng)用 例1　證明：函數(shù)f(x)＝(x>0)在(0,1]上是增函數(shù)，在[1，＋∞)上是減函數(shù)，并求這個(gè)函數(shù)的最值． [證明]　設(shè)x1≠x2，則 ＝＝ ＝. 當(dāng)x1，x2∈(0,1]時(shí)，有1－x1x2>0，從而>0， 因此f(x)在(0,1]上是增函數(shù)． 當(dāng)x1，x2∈[1，＋∞)時(shí)有1－x1x2<0，從而<0， 因此f(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)． 由函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)沒(méi)有最小值； 而且，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，有f(x)≤f(1)， 當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，不等式

5、f(x)≤f(1)也成立． 因此f(1)＝是函數(shù)的最大值． 金版點(diǎn)睛 函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系 (1)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求最值是求解函數(shù)最值問(wèn)題的重要方法，特別是當(dāng)函數(shù)圖像不好作或作不出來(lái)時(shí)，單調(diào)性幾乎成為首選方法． (2)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上是增函數(shù)，在區(qū)間[b，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b處有最大值f(b)． (3)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上是減函數(shù)，在區(qū)間[b，c)上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b處有最小值f(b)． (4)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，則在區(qū)間[a，b]

6、的左、右端點(diǎn)處分別取得最小(大)值、最大(小)值． (5)若函數(shù)y＝f(x)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再?gòu)母鲄^(qū)間的最值中決出最大(小)．函數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)最大(小)的． (6)如果函數(shù)定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點(diǎn)處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢(shì)． 　判斷函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[2,6]上的單調(diào)性，并求函數(shù)在該區(qū)間上的最值． 解　設(shè)x1≠x2，則 ＝＝ ＝. 當(dāng)x1，x2∈[2,6]時(shí)，有x2－1>0，x1－1>0， 從而<0，因此f(x)在區(qū)間[2,6]上是減函數(shù)． 由函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[

7、2,6]上的兩個(gè)端點(diǎn)處分別取得最大值和最小值，即當(dāng)x＝2時(shí)取得最大值，最大值是2，當(dāng)x＝6時(shí)取得最小值，最小值是. 題型二 函數(shù)平均變化率的應(yīng)用 例2　向高為H的水瓶中注水，注滿(mǎn)為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖所示，那么水瓶的形狀可以是(　　) [解析]　由函數(shù)圖像可知，固定的Δh內(nèi)，隨著h的增大，ΔV逐漸減少，由此可以判斷水瓶的下半部分體積大，上半部分體積?。蔬xB. [答案]　B 金版點(diǎn)睛 解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要弄清隨著自變量的改變，函數(shù)平均變化率的變化情況，然后由函數(shù)平均變化率的變化情況確定容器的形狀. 　一高為H、滿(mǎn)缸水量為V的魚(yú)缸截面如圖

8、所示，其底部破了一個(gè)小洞，滿(mǎn)缸水從洞中流出．若魚(yú)缸水深為h時(shí)的水的體積為v，則函數(shù)v＝f(h)的大致圖像可能是圖中的(　　) 答案　B 解析　由魚(yú)缸的形狀可知，水的體積隨著h的減小，先減少得越來(lái)越快，后減少得越來(lái)越慢．故選B. 1．在函數(shù)平均變化率的定義中，Δx應(yīng)滿(mǎn)足(　　) A．Δx>0 B．Δx<0 C．Δx≠0 D．Δx＝0 答案　C 解析　由函數(shù)平均變化率的定義，知Δx≠0.故選C. 2．函數(shù)f(x)＝1－x2在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為(　　) A．－3 B．－4 C．2 D．－2 答案　D 解析　函數(shù)f(x)

9、＝1－x2在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為＝＝－2. 3．汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車(chē)，若把這一過(guò)程中汽車(chē)的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖像可能是(　　) 答案　A 解析　汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛直至停車(chē)，在行進(jìn)過(guò)程中s隨時(shí)間t的增大而增大，故排除C，D.因?yàn)槠?chē)在加速行駛的過(guò)程中行駛路程s隨時(shí)間t的變化越來(lái)越快，在減速行駛直至停車(chē)的過(guò)程中行駛路程s隨時(shí)間t的變化越來(lái)越慢，排除B.故選A. 4．函數(shù)f(x)＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最小值是________． 答案　10　－2 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝3x2－6x＋1＝3(x－1)2－2，當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)在[0,1]上是減函數(shù)，在[1,3]上是增函數(shù)．故函數(shù)f(x)在[0,3]上的最大值是f(3)＝10，最小值是f(1)＝－2. 5．證明：函數(shù)f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是減函數(shù)． 證明　設(shè)x1≠x2，則＝ ＝＝2(x1＋x2)＋4. 當(dāng)x1，x2∈(－∞，－1]時(shí)， 有x1＋x2<－2,2(x1＋x2)<－4， 從而<0，因此f(x)在(－∞，－1]上是減函數(shù)． 6