《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級(jí)二 專題五 解析幾何 第2講 圓錐曲線的方程性質(zhì)及與弦有關(guān)的問題教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級(jí)二 專題五 解析幾何 第2講 圓錐曲線的方程性質(zhì)及與弦有關(guān)的問題教學(xué)案（20頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2講　圓錐曲線的方程性質(zhì)及與弦有關(guān)的問題 [考情考向·高考導(dǎo)航] 圓錐曲線是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，是高考中每年必考的內(nèi)容．主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等內(nèi)容．對(duì)圓錐曲線方程與性質(zhì)的考查，以選擇題、填空題為主，對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，常與其他知識(shí)交匯命題，多以解答題的形式出現(xiàn)． [真題體驗(yàn)] 1．(2019·全國(guó)Ⅱ卷)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)是橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．8 解析：D　[由橢圓＋＝1，知半焦距c＝＝， ∴＝，∴p＝8.] 2．(2019·全國(guó)

2、Ⅱ卷)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 解析：A　[以O(shè)F為直徑的圓為2＋y2＝，即x2＋y2－cx＝0， 與圓x2＋y2＝a2相減得直線PQ的方程為x＝， 由勾股定理得：＝＝， ∴|PQ|＝＝c， ∴2ab＝c2，平方得：4a2b2＝c4，∴4a2(c2－a2)＝c4， 化簡(jiǎn)得：e4－4e2＋4＝0，∴e2＝2，即e＝.] 3．(2018·全國(guó)Ⅱ卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的

3、左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：D　[如圖直線AP的方程為y＝(x＋a)，　① 直線PF2的方程為y＝(x－c)，② ①與②聯(lián)立解得：x＝，y＝(a＋c)， ∴P， ∴|PF2|＝ ＝(a＋c)，又∵|PF2|＝|F1F2|，∴(a＋c)＝2c， ∴a＝4c，∴e＝＝.] 4．(2018·全國(guó)Ⅲ卷)已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________. 解析：設(shè)直線AB的方

4、程為y＝k(x－1)，由 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)， B(x2，y2)． 則x1＋x2＝，x1·x2＝1. ∵∠AMB＝90°，∴kMA·kMB＝－1 解·＝－1. 化簡(jiǎn)得k2－4k＋4＝0，解得k＝2. 答案：2 [主干整合] 1．圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)拋物線：|MF|＝d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)． 應(yīng)用圓錐曲線定義解題時(shí)，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)誤． 2．圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)橢圓

5、：＋＝1(a＞b＞0)(焦點(diǎn)在x軸上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦點(diǎn)在y軸上)； (2)雙曲線：－＝1(a＞0，b＞0)(焦點(diǎn)在x軸上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦點(diǎn)在y軸上)； (3)拋物線：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)． 3．圓錐曲線的重要性質(zhì) (1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系 ①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝＝ . ②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝＝ . (2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo) ①雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)． ②雙曲線－＝

6、1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)． (3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程 ①拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線方程x＝－. ②拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線方程y＝－. 4．弦長(zhǎng)問題 (1)直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng) 設(shè)而不求，利用根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行整體代入．即當(dāng)斜率為k，直線與圓錐曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)時(shí)，|AB|＝ |x1－x2|＝ . (2)過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng) 拋物線y2＝2px(p＞0)過焦點(diǎn)F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長(zhǎng)|AB

7、|＝x1＋x2＋p. 熱點(diǎn)一　圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 [例1]　(1)(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1，(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)A、B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1　　 　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [解析]　C　[設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(c,0)(c＞0)，則xA＝xB＝c， 由－＝1可得：y＝±， 不妨設(shè)：A，B， 雙曲線的一條漸近線方程為：bx－ay＝0， 據(jù)此可得：d1＝＝，d2＝＝， 則d1＋d2＝＝2b

8、＝6，則b＝3，b2＝9， 雙曲線的離心率：e＝＝ ＝ ＝2， 據(jù)此可得：a2＝3，則雙曲線的方程為－＝1.] (2)(2020·太原模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦點(diǎn)，P是拋物線y2＝8ax與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝12，則拋物線的準(zhǔn)線方程為____________． [解析]　由題意得拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)(2a,0)重合．聯(lián)立消去y得3x2－8ax－3a2＝0，解得xP＝3a(負(fù)舍)．由點(diǎn)P在雙曲線上得|PF1|－|PF2|＝2a，又因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF2|＝6－a，又因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所

9、以|PF2|＝3a＋2a＝5a＝6－a，解得a＝1，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2a＝－2. [答案]　x＝－2 圓錐曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)注點(diǎn) 1．圓錐曲線的定義是根本，“回歸定義”是一種重要的解題策略．對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，雙曲線的定義中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等的轉(zhuǎn)化． 2．當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝

10、1(mn＞0)． 3．注意數(shù)形結(jié)合，提倡畫出合理草圖． (1)(2019·全國(guó)Ⅰ卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：B　[由已知|AF1|＋|AF2|＝2a， |BF1|＋|BF2|＝2a. 又|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|， ∴|BF2|＝a，|AF2|＝|AF1|＝a， |BF1|＝a. 又|F1F2|＝2. ∴＝－ 解得a2＝3，∴b2＝2. ∴橢圓C的方

11、程為＋＝1.選B.] (2)(2020·龍巖質(zhì)檢)已知以圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為焦點(diǎn)的拋物線C1與圓C在第一象限交于A點(diǎn)，B點(diǎn)是拋物線C2：x2＝8y上任意一點(diǎn)，BM與直線y＝－2垂直，垂足為M，則|BM|－|AB|的最大值為(　　) A．1 B．2 C．－1 D．8 解析：A　[因?yàn)閳AC：(x－1)2＋y2＝4的圓心為C(1,0)， 所以可得以C(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線方程為y2＝4x， 由解得A(1,2)． 拋物線C2：x2＝8y的焦點(diǎn)為F(0,2)， 準(zhǔn)線方程為y＝－2， 即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)(

12、A在B，F(xiàn)之間)三點(diǎn)共線時(shí)，可得最大值1.] 熱點(diǎn)二　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 數(shù)學(xué) 運(yùn)算 素養(yǎng) 數(shù)學(xué)運(yùn)算——圓錐曲線的性質(zhì)與不等式綜合中的核心素養(yǎng) 以學(xué)習(xí)過的圓錐曲線和不等式相關(guān)知識(shí)為基礎(chǔ)，通過將已知條件代數(shù)化，并進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算，從而解決問題. [例2]　(1)(2019·長(zhǎng)沙二模)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)，若在直線x＝上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓的離心率的取值范圍是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. [解析]　D　[設(shè)P，線段F1P的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為， y2＝，y2≥0. 但注意到b2－2c2≠0

13、，即2c2－b2＞0， 即3c2－a2＞0，即e2＞，故＜e＜1. 當(dāng)不存在時(shí)，b2－2c2＝0，y＝0， 此時(shí)F2為中點(diǎn)，即－c＝2c，得e＝， 綜上，得≤e＜1， 即所求的橢圓離心率的取值范圍是.故選D.] (2)(2020·石家莊模擬)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2c，直線l過點(diǎn)且與雙曲線C的一條漸近線垂直，以雙曲線C的右焦點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓與直線l交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝c，則雙曲線C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±4x [解析]　B　[由題意可設(shè)漸近線方程為y＝x，則直線l的斜率kl＝－

14、，直線方程為y＝－， 整理可得ax＋by－a2＝0. 焦點(diǎn)(c,0)到直線的距離 d＝＝， 則弦長(zhǎng)為2＝2 ＝c， 整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0， 即e4－9e2＋12e－4＝0， 分解因式得(e－1)(e－2)(e2＋3e－2)＝0. 又雙曲線的離心率e＞1，則e＝＝2， 又＝＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選B.] (1)求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值；在雙曲線中由于e2＝1＋2，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)． (2)圓錐曲線的幾何性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系，例如對(duì)橢圓

15、＋＝1(a＞b＞0)，有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1等，在求與圓錐曲線有關(guān)的一些量的范圍，或者求這些量的最大值或最小值時(shí)，經(jīng)常用到這些不等關(guān)系． (1)(2018·全國(guó)Ⅲ卷)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：D　[∵e＝＝＝. ∴＝±1. ∴雙曲線C的漸近線方程為x±y＝0， ∴點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離d＝＝2. 故答案選D.] (2)(2018·北京卷改編)已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)，雙曲線N：－＝1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的

16、兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為________． 解析： 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F(c，0)，雙曲線N的漸近線與橢圓M在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A， 由題意可知A， 由點(diǎn)A在橢圓M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2， ∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，則4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4＋2(舍)，e2＝4－2.由0＜e＜1，得e＝－1. 答案：－1 (3)(2019·臨沂三模)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐

17、標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p＝________. 解析： 由e＝＝2，得c＝2a，b＝a，所以雙曲線的漸近線為y＝±x.又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，聯(lián)立雙曲線的漸近線和拋物線的準(zhǔn)線方程得A，B， 在△AOB中，|AB|＝p，O到AB的距離為， 因?yàn)镾△AOB＝，所以·p·＝，p＝2. 答案：2 熱點(diǎn)三　直線與圓錐曲線 [例3]　(2019·江蘇卷)如圖， 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)

18、D.連接AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B，連接BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連接DF1.已知DF1＝. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)． [審題指導(dǎo)]　(1)直接根據(jù)條件運(yùn)用橢圓的定義求解． (2)思路1：結(jié)合(1)中結(jié)論求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，寫出直線AF1的方程，并與圓的方程聯(lián)立得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而寫出直線BF2的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)E的坐標(biāo)． 思路2：連接EF1，注意到∠A＝∠B＝∠BF1E，所以EF1∥F2A，可得EF1⊥x軸，從而可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為－1，將x＝－1與橢圓方程聯(lián)立可得點(diǎn)E的坐標(biāo)． [解]　(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c. 因?yàn)镕1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)

19、，所以F1F2＝2，c＝1. 又因?yàn)镈F1＝，AF2⊥x軸， 所以DF2＝ ＝ ＝. 因此2a＝DF1＋DF2＝4，從而a＝2. 由b2＝a2－c2，得b2＝3. 因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)方法1：由(1)知，橢圓C：＋＝1，a＝2. 因?yàn)锳F2⊥x軸，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1. 將x＝1代入圓F2的方程(x－1)2＋y2＝16，解得y＝±4. 因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1,4)． 又F1(－1,0)，所以直線AF1：y＝2x＋2. 由得5x2＋6x－11＝0， 解得x＝1或x＝－. 將x＝－代入y＝2x＋2，解得y＝－. 因此B. 又F2(1,0)，所

20、以直線BF2：y＝(x－1)． 由得7x2－6x－13＝0， 解得x＝－1或x＝. 又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以x＝－1. 將x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－. 因此E. 方法2：由(1)知，橢圓C： ＋＝1. 如圖，連接EF1. 因?yàn)锽F2＝2a， EF1＋EF2＝2a， 所以EF1＝EB， 從而∠BF1E＝∠B. 因?yàn)镕2A＝F2B，所以∠A＝∠B. 所以∠A＝∠BF1E， 從而EF1∥F2A. 因?yàn)锳F2⊥x軸，所以EF1⊥x軸． 因?yàn)镕1(－1,0)，由得y＝±. 又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以y＝－. 因此E. 1

21、．在涉及弦長(zhǎng)的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系與弦長(zhǎng)公式|AB|＝|x2－x1|，設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解，以簡(jiǎn)化運(yùn)算． 2．對(duì)于弦的中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件Δ＞0，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交． (1)(2019·日照三模)中心為原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,5)的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該橢圓方程為(　　) A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：C　[由已知知c＝5，設(shè)橢圓的方程為＋＝1，聯(lián)立得消去y得(10

22、a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，設(shè)直線y＝3x－2與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由根與系數(shù)關(guān)系得x1＋x2＝，由題意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以該橢圓方程為＋＝1，故選C.] (2)(2018·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：D　[如圖焦點(diǎn)F(1,0)， 直線的方程為y＝(x＋2)， 將其代入y2＝4x得：x2－5x＋4＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，

23、則x1＋x2＝5，x1x2＝4， ∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋(x1＋2)·(x2＋2) ＝x1x2－(x1＋x2)＋ ＝×4－×5＋＝8.故選D.] 限時(shí)50分鐘　滿分76分 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．(2019·天津卷)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為(　　) A.　　　　　　 　　　　 B. C．2 D. 解析：

24、D　[雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝＝ . l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±x， 故得A，B， 所以|AB|＝，＝4，b＝2a， 所以e＝＝＝.故選D.] 2．(2020·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè))已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)F是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且該拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若△FAB是正三角形，則橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：C　[ 如圖，由|AB|＝，△FAB是正三角形，得×＝2c，化簡(jiǎn)可得(2a2－3b2)(2a2＋b2)＝0，所以2a2－3b2＝0，所以＝，所以橢圓的離心率e＝＝ ＝

25、，故選C.] 3．(2020·福州模擬)過橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交C于A，B兩點(diǎn)，直線l過C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與l存在公共點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[由題設(shè)知，直線l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±，即圓的半徑r＝.又圓與直線l有公共點(diǎn)，所以≤，化簡(jiǎn)得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故選A.] 4．(2019·全國(guó)Ⅲ卷)雙曲線C：－＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條

26、漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：A　[忽視圓錐曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積．由a＝2，b＝，c＝＝. ∵|PO|＝|PF|，∴xP＝， 又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在y＝x上， ∴S△PFO＝|OF|·|yP|＝××＝，故選A.] 5．(2019·煙臺(tái)三模)過拋物線E：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)，且與其對(duì)稱軸垂直的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，若E在A，B兩點(diǎn)處的切線與E的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C，則△ABC外接圓的半徑是(　　) A．(－

27、1)p B．p C.p D．2p 解析：B　[因?yàn)橹本€過拋物線E：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)，且與其對(duì)稱軸垂直，∴A，B，由y′＝可知E在A，B兩點(diǎn)處的切線斜率為k1＝1，k2＝－1， ∴k1·k2＝－1，∴AC⊥BC， 即△ABC為直角三角形，又|AB|＝2p，所以△ABC外接圓的半徑是p.] 6．以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　[設(shè)出拋物線和圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，聯(lián)立方程組求解． 設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0

28、)， 圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點(diǎn)A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.] 二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分) 7．(2020·深圳模擬)已知圓C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物線C2：y2＝2px(p＞0)，C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝，則拋物線C2的方程為____________． 解析：由題意，知圓C1與拋物線C2的其中一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)，不妨記為B，設(shè)A(m，n)．∵|AB|＝， ∴∴即A.將A的坐

29、標(biāo)代入拋物線方程得2＝2p×，∴p＝，∴拋物線C2的方程為y2＝x. 答案：y2＝x 8．(2019·全國(guó)Ⅰ卷)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若＝，·＝0，則C的離心率為____________． 解析：設(shè)直線方程為y＝k(x＋c)， 由得A點(diǎn)坐標(biāo)為A， 由得B點(diǎn)坐標(biāo)為B ∵＝， ∴A為F1B的中點(diǎn)， ∴ 整理得b＝3ak.① ∵＝， ＝， ·＝0. ∴2－c2＋2＝0 整理得c2k2＝(b－ak)2② 由①②得＝2 ∴C的離心率e＝2. 答案：2 三、解答題(本大題共3小

30、題，每小題12分，共36分) 9．(2019·全國(guó)Ⅰ卷)已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求||. 解： (1)設(shè)直線l的方程為y＝x＋b， A(x1，y1)，B(x2，y2) 由得x2＋(3b－3)x＋b2＝0. ∴x1＋x2＝＝， 又|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝＋＝4. 解得b＝－，∴直線l的方程為y＝x－. (2)設(shè)直線l的方程為y＝(x－a)，則P(a,0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消去x，得y2－2y－3a＝0.

31、 ∵＝3，∴y1＝－3y2. 又，解得a＝1. ∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－3， ∴|AB|＝ · ＝ ·＝. 10．(2019·天津卷)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上．若|ON|＝|OF|(O為原點(diǎn))，且OP⊥MN，求直線PB的斜率． 解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1. 所以，橢圓的方程為＋＝1. (2)由題意，設(shè)P(xp，yp)(x

32、p≠0)，M(xM,0)．設(shè)直線PB的斜率為k(k≠0)，又B(0,2)，則直線PB的方程為y＝kx＋2，與橢圓方程聯(lián)立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xp＝－，代入y＝kx＋2得yp＝，進(jìn)而直線OP的斜率＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.由題意得N(0，－1)，所以直線MN的斜率為－.由OP⊥MN，得·＝－1，化簡(jiǎn)得k2＝，從而k＝±. 所以，直線PB的斜率為或－. 11．(2018·北京卷)已知橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B. (1)求橢圓M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值； (

33、3)設(shè)P(－2,0)，直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C、D和點(diǎn)Q共線，求k. 解：(1)由題意得2c＝2，∴c＝ 又∵e＝＝，∴a＝ ∴b2＝a2－c2＝1，∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1 (2)設(shè)直線AB的方程為：y＝x＋m， A(x1，y1)，B(x2，y2) 聯(lián)立，得：4x2＋6mx＋3m2－3＝0 又∵Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m2＞0， ∴m2＜4， |AB|＝|x1－x2|＝×＝ ∴m2＝0時(shí)，|AB|max＝ (3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4) x＋3y＝3① x＋3y＝3② 又∵P(－2,0)，故設(shè)k1＝kPA＝， ∴直線PA的方程為：y＝k1(x＋2) 聯(lián)立，消y得(1＋3k1)x2＋12kx＋12k－3＝0 x1＋x3＝－，∴x3＝－－x1 又k1＝，代入①式得 ∴x3＝，∴y3＝ ∴C，同理可得D 易知：＝(x3＋，y3－)，＝(x4＋，y4－) ∵Q，C，D三點(diǎn)共線，∴(x3＋)(y4－)－(x4＋)(y3－)＝0 代入C，D坐標(biāo)化簡(jiǎn)得：＝1，∴k＝1 - 20 -