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2019年高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第3節(jié) 函數的奇偶性與周期性學案 文 北師大版

上傳人:彩*** 文檔編號:104806585 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數:7 大?。?35KB
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1、 第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性 [考綱傳真] 1.了解函數奇偶性的含義.2.會運用基本初等函數的圖像分析函數的奇偶性.3.了解函數周期性、最小正周期的含義,會判斷、應用簡單函數的周期性. (對應學生用書第11頁) [基礎知識填充] 1.奇函數、偶函數的概念 圖像關于原點對稱的函數叫作奇函數. 圖像關于y軸對稱的函數叫作偶函數. 2.判斷函數的奇偶性 判斷函數的奇偶性,一般都按照定義嚴格進行,一般步驟是 (1)考察定義域是否關于原點對稱. (2)考察表達式f(-x)是否等于f(x)或-f(x): 若f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數; 若f

2、(-x)=f(x),則f(x)為偶函數; 若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),則f(x)既是奇函數又是偶函數; 若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),則f(x)既不是奇函數又不是偶函數,既非奇非偶函數. 3.函數的周期性 (1)周期函數:對于函數f(x),如果存在非零實數T,對定義域內的任意一個x,都有f(x+T)=f(x),就把f(x)稱為周期函數,T稱為這個函數的周期. (2)最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期. [知識拓展] 1.函數奇偶性常用結論 (1)如果函數f(

3、x)是偶函數,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性;偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性. (3)在公共定義域內有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.函數周期性常用結論 對f(x)定義域內任一自變量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=,則T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-,則T=2a(a>0). [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)偶函數圖像不一定過原點,奇函數

4、的圖像一定過原點.(  ) (2)若函數y=f(x+a)是偶函數,則函數y=f(x)關于直線x=a對稱.(  ) (3)若函數y=f(x+b)是奇函數,則函數y=f(x)關于點(b,0)中心對稱.(  ) (4)函數f(x)在定義域上滿足f(x+a)=-f(x),則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數.(  ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數,那么a+b的值是(  ) A.-         B. C. D.- B [依題意b=0,且2a=-(a-1), ∴b=0且a=,則

5、a+b=.] 3.(2015·廣東高考)下列函數中,既不是奇函數,也不是偶函數的是(  ) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y=2x+ D.y=x2+sin x D [A項,定義域為R,f(-x)=-x-sin 2x=-f(x),為奇函數,故不符合題意; B項,定義域為R,f(-x)=x2-cos x=f(x),為偶函數,故不符合題意; C項,定義域為R,f(-x)=2-x+=2x+=f(x),為偶函數,故不符合題意; D項,定義域為R,f(-x)=x2-sin x,-f(x)=-x2-sin x,因為f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(

6、x),故為非奇非偶函數.] 4.(2017·全國卷Ⅱ)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x∈(-∞,0)時,f(x)=2x3+x2,則f(2)=________. 12 [法一:令x>0,則-x<0. ∴f(-x)=-2x3+x2. ∵函數f(x)是定義在R上的奇函數, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)=2x3-x2(x>0). ∴f(2)=2×23-22=12. 法二:f(2)=-f(-2) =-[2×(-2)3+(-2)2]=12.] 5.(教材改編)已知函數f(x)是奇函數,在(0,+∞)上是減函數,且在區(qū)間[a,b](a<b<0)上的值域

7、為[-3,4],則在區(qū)間[-b,-a]上(  ) A.有最大值4 B.有最小值-4 C.有最大值-3 D.有最小值-3 B [法一:根據題意作出y=f(x)的簡圖,由圖知,選B. 法二:當x∈[-b,-a]時,-x∈[a,b], 由題意得f(b)≤f(-x)≤f(a), 即-3≤-f(x)≤4, ∴-4≤f(x)≤3, 即在區(qū)間[-b,-a]上f(x)min=-4, f(x)max=3,故選B.] (對應學生用書第12頁) 函數奇偶性的判斷  判斷下列函數的奇偶性: (1)f(x)=(x+1); (2)f(x)=lg(-2x);

8、 (3)f(x)=+; (4)f(x)= 【導學號:00090021】 [解] (1)由≥0可得函數的定義域為(-1,1]. ∵函數定義域不關于原點對稱, ∴函數為非奇非偶函數. (2)函數的定義域為R,且f(-x)=lg(+2x)=lg =-lg(-2x)=-f(x). 故原函數為奇函數. (3)由得x2=3,∴x=±, 即函數f(x)的定義域為{-,}, 從而f(x)=+=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x), ∴函數f(x)既是奇函數又是偶函數. (4)易知函數的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關于原點對稱,又當x

9、>0時,f(x)=x2+x, 則當x<0時,-x>0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 當x<0時,f(x)=x2-x,則當x>0時,-x<0, 故f(-x)=x2+x=f(x),故原函數是偶函數. [規(guī)律方法] 1.利用定義判斷函數奇偶性的步驟: 2.判斷分段函數的奇偶性應分段分別證明f(-x)與f(x)的關系,只有對各段上的x都滿足相同的關系時,才能判斷其奇偶性;也可以利用函數的圖像進行判斷. [變式訓練1] (1)(2018·商丘模擬)已知函數f(x)=ln(e+x)+ln(e-x),則f(x)是 (  ) A.奇函數,且在(0,e)上是增加的

10、 B.奇函數,且在(0,e)上是減少的 C.偶函數,且在(0,e)上是增加的 D.偶函數,且在(0,e)上是減少的 (2)(2014·全國卷Ⅰ)設函數f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,則下列結論中正確的是(  ) 【導學號:00090022】 A.f(x)g(x)是偶函數 B.|f(x)|g(x)是奇函數 C.f(x)|g(x)|是奇函數 D.|f(x)g(x)|是奇函數 (1)D (2)C [(1)f(x)的定義域為(-e,e),關于原點對稱. f(-x)=ln(e-x)+ln(e+x)=f(x),∴函數f(x)是偶函

11、數. 又f(x)=ln(e2-x2),所以f(x)在(0,e)上是減少的. (2)A:令h(x)=f(x)·g(x),則h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(huán)(x), ∴h(x)是奇函數,A錯. B:令h(x)=|f(x)|g(x),則h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|·g(x)=|f(x)|g(x)=h(x), ∴h(x)是偶函數,B錯. C:令h(x)=f(x)|g(x)|,則h(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|·g(x)|=-h(huán)(x),∴h(x)是奇函數,C正確. D:令h(x)=|f(x)·g(x)|,

12、則h(-x)=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)·g(x)|=|f(x)·g(x)|=h(x), ∴h(x)是偶函數,D錯.] 函數奇偶性的應用  (1)(2015·全國卷Ⅰ)若函數f(x)=xln(x+)為偶函數,則a=________. (2)已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x>0時,f(x)=x2-4x,則f(x)=________. (1)1 (2) [(1)∵f(x)為偶函數, ∴f(-x)-f(x)=0恒成立, ∴-xln(-x+)-xln(x+)=0恒成立, ∴xln a=0恒成立,∴l(xiāng)n a=0,即a=1. (2)∵f(x)是定義在

13、R上的奇函數,∴f(0)=0. 又當x<0時,-x>0,∴f(-x)=x2+4x.又f(x)為奇函數, ∴f(-x)=-f(x), 即f(x)=-x2-4x(x<0), ∴f(x)=] [規(guī)律方法] 1.已知函數的奇偶性求參數,一般采用待定系數法求解,根據f(x)±f(x)=0得到關于待求參數的恒等式,由系數的對等性得參數的值或方程(組),進而得出參數的值. 2.已知函數的奇偶性求函數值或解析式,將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性得出關于f(x)的方程(組),從而可得f(x)的值或解析式. [變式訓練2] (1)設f(x)為定義在

14、R上的奇函數.當x≥0時,f(x)=2x+2x+b(b為常數),則f(-1)=(  ) A.-3     B.-1 C.1 D.3 (2)(2018·青島模擬)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函數,則a=________. (1)A (2)- [(1)因為f(x)為定義在R上的奇函數,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以當x≥0時,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. (2)f(-x)=ln(e-3x+1)-ax=ln-ax=ln(1+e3x)-3x-ax,依題意得,對任意x∈R,都有f(-x)=f

15、(x),即ln(1+e3x)-3x-ax=ln(1+e3x)+ax, 化簡得2ax+3x=0(x∈R),因此2a+3=0,解得a=-.] 函數的周期性及其應用  (1)(2017·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數,且f(x+4)=f(x-2).若當x∈[-3,0]時,f(x)=6-x,則f(919)=________. (2)設定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當x∈[0,2)時,f(x)=2x-x2,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 017)=________. (1)6 (2)1 009 [(1)∵f(x+4)=f(x-2),

16、 ∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x), ∴f(x)是周期為6的周期函數, ∴f(919)=f(153×6+1)=f(1). 又f(x)是定義在R上的偶函數, ∴f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6. (2)∵f(x+2)=f(x),∴函數f(x)的周期T=2. 又當x∈[0,2)時,f(x)=2x-x2,∴f(0)=0,f(1)=1,f(0)+f(1)=1. ∴f(0)+f(1)=f(2)+f(3)=f(4)+f(5)=…=f(2 016)+f(2 017)=1, ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 017)=

17、1 009.] [母題探究1] 若將本例(2)中“f(x+2)=f(x)”改為“f(x+1)=-f(x)”,則結論如何? [解] ∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x). 故函數f(x)的周期為2. 由本例可知,f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 017)=1 009. [母題探究2] 若將本例(2)中“f(x+2)=f(x)”改為“f(x+1)=”,則結論如何? [解] ∵f(x+1)=, ∴f(x+2)=f[(x+1)+1]==f(x). 故函數f(x)的周期為2. 由本例可知,f(0)+f(1

18、)+f(2)+…+f(2 017)=1 009. [規(guī)律方法] 1.判斷函數的周期只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數,且周期為T,根據函數的周期性,可以由函數局部的性質得到函數的整體性質. 2.在解決具體問題時,要注意“若T是函數的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期”的應用. [變式訓練3] (2017·長沙模擬(一))已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且f(x)=則下列函數值為1的是(  ) A.f(2.5) B.f(f(2.5)) C.f(f(1.5)) D.f(2) D [由f(x+1)=-f(x)知f(x+2)=-f(x+1)=f(x),于是f(x)是以2為周期的周期函數,從而f(2.5)=f(0.5)=-1,f(f(2.5))=f(-1)=f(1)=-1,f(f(1.5))=f(f(-0.5))=f(1)=-1,f(2)=f(0)=1,故選D.] 7

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