2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 基本初等函數(shù)學(xué)案 理
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1、 第二講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 考點(diǎn)一 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù) 1.指數(shù)與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算公式 (1)am·an=am+n, (2)(am)n=amn, (3)(ab)m=ambm.其中,a>0,b>0. (4)loga(MN)=logaM+logaN, (5)loga=logaM-logaN, (6)logaMn=nlogaM, (7)alogaN=N, (8)logaN=.其中,a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0. 2.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的
2、圖象和性質(zhì),分01兩種情況:當(dāng)a>1時(shí),兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù),當(dāng)0
3、=log2e,b=ln2,c=log,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
[解析] 由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln2<1,∴c>a>b,故選D.
[答案] D
3.(2018·山東濰坊一模)若函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù),則函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象可以是( )
[解析] 因函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù),故01或x<-1},x>1時(shí) 4、函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象可以通過(guò)函數(shù)y=logax的圖象向右平移1個(gè)單位得到,故選D.
[答案] D
4.(2018·江西九江七校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=log2(x2-ax-3a)在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[解析] 由題意得x2-ax-3a>0在區(qū)間(-∞,-2]上恒成立且函數(shù)y=x2-ax-3a在(-∞,-2]上遞減,則≥-2且(-2)2-(-2)a-3a>0,解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-4,4).
[答案] [-4,4)
[快速審題] 看到指數(shù)式、對(duì)數(shù)式,想到指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì);看到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù),想到它們的圖 5、象和性質(zhì).
基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用技巧
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值,當(dāng)?shù)讛?shù)a的值不確定時(shí),要注意分a>1和01時(shí),兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù);當(dāng)00和α<0兩種情況的不同.
考點(diǎn)二 函數(shù)的零點(diǎn)
1.函數(shù)的零點(diǎn)及其與方程根的關(guān)系
對(duì)于函數(shù)f(x),使f(x)=0的實(shí)數(shù) 6、x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn).函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
2.零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn),并且有f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.
角度1:確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或其存在范圍
[解析] 當(dāng)x≤0時(shí),
由f(x)=0,即x2+2017x-2018=0,
得(x-1)(x+2018)=0,
解得x=1(舍去)或x=-201 7、8;
當(dāng)x>0時(shí),設(shè)g(x)=x-2,h(x)=lnx,如圖,分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,
由圖可知,兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)f(x)在x>0時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上,函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn),故選C.
[答案] C
[快速審題] 看到函數(shù)的零點(diǎn),想到求方程的根或轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn).
角度2:應(yīng)用零點(diǎn)求參數(shù)的值(范圍)
[解析] 在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,而函數(shù)y=mx-恒過(guò)定點(diǎn),設(shè)過(guò)點(diǎn)與函數(shù)y=lnx的圖象相切的直線(xiàn)為l1,切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,lnx0).因?yàn)閥=lnx的導(dǎo)函數(shù)y′=,所以圖中y=lnx的切線(xiàn)l1的斜率為k=,則=,解得x0= 8、,所以k=.又圖中l(wèi)2的斜率為,故當(dāng)方程f(x)=mx-恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
[答案]
[探究追問(wèn)] 將例2中“方程f(x)=mx-恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”改為“方程f(x)=m恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”,結(jié)果如何?
[解析] 在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖.函數(shù)y=m恒過(guò)定點(diǎn),設(shè)過(guò)點(diǎn)與函數(shù)y=1-x2的圖象相切的直線(xiàn)為l1,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,1-x),因?yàn)閥=1-x2(x≤1)的導(dǎo)函數(shù)y′=-2x0,所以切線(xiàn)l1斜率k=-2x0,則-2x0=,解得x0=或x0=2(舍).所以直線(xiàn)l1的斜率為-1,結(jié)合圖可知,當(dāng)方程f(x)=m恰有三個(gè) 9、不相等的實(shí)根時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-1,0).
[答案] (-1,0)
(1)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法
(2)利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或范圍)的3種方法
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1.[角度1]已知函數(shù)f(x)=-log2x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
[解析] 易知f(x)是單調(diào)遞減函數(shù).∵f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(3)=2-log23>0,f(4)=-log24=-2<0,∴選項(xiàng)中包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(2,4).
[答 10、案] C
2.[角度2]已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
[解析] f(x)=k有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=k的圖象有三個(gè)交點(diǎn),如圖所示.
當(dāng)-1 11、表示問(wèn)題中的關(guān)系,建立相應(yīng)的函數(shù)模型,最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問(wèn)題獲解.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1.在某種新型材料的研制中,實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是( )
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.0418
7.5
12
18.01
A.y=2x-2 B.y=(x2-1)
C.y=log2x D.y=logx
[解析] 由題中表可知函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù),且y的變化隨x的增大而增大的越來(lái)越快,分析選項(xiàng)可知B符合,故選B.
[答案] B
2.(201 12、8·西安四校聯(lián)考)某大型民企為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該民企2018年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該民企全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( )
A.2019年 B.2020年
C.2021年 D.2022年
[解析] 設(shè)從2018年起,過(guò)了n(n∈N*)年該民企全年投入的研發(fā)資金超過(guò)200萬(wàn)元,則130×(1+12%)n≥200,則n≥≈=3.8,由題意取n=4,則n+2018=2022.故選D.
[答案] D
3.如圖,某小 13、區(qū)有一邊長(zhǎng)為2的正方形地塊OABC,其中陰影部分是一個(gè)游泳池,計(jì)劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路l(寬度不計(jì)),切點(diǎn)為M,并把該地塊分為兩部分.現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以線(xiàn)段OC所在直線(xiàn)為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,若池邊AE為函數(shù)y=-x2+2(0≤x≤)的圖象,且點(diǎn)M到邊OA的距離為t,則地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積的最大值為_(kāi)_______.
[解析] M(t,-t2+2),過(guò)切點(diǎn)M的切線(xiàn)l:y-(-t2+
2)=-2t(x-t),即y=-2tx+t2+2,令y=2得x=,故切線(xiàn)l與AB交于點(diǎn);令y=0,得x=+,
故切線(xiàn)l與OC交于點(diǎn),又x=+在上單 14、調(diào)遞減,所以x=+∈,所以地塊OABC在切線(xiàn)l右上部分區(qū)域?yàn)橹苯翘菪?,面積S=×2=4-t-=4-≤2,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立,故地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積的最大值為2.
[答案] 2
[快速審題] 看到實(shí)際應(yīng)用題,想到函數(shù)模型.
應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般程序
[解析]
[答案] A
2.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
[解析] g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn) 15、等價(jià)于函數(shù)f(x)=與h(x)=-x-a的圖象存在2個(gè)交點(diǎn),如圖,
當(dāng)x=0時(shí),h(0)=-a,由圖可知要滿(mǎn)足y=f(x)與y=h(x)的圖象存在2個(gè)交點(diǎn),需要-a≤1,即a≥-1.故選C.
[答案] C
3.(2017·北京卷)根據(jù)有關(guān)資料,圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀(guān)測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080,則下列各數(shù)中與最接近的是( )
(參考數(shù)據(jù):lg3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
[解析] 因?yàn)閘g3≈0.48,所以3≈100.48,
所以=≈===1093.28≈1093.故選D.
[答案] D
16、
4.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f(x)=cos在[0,π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
[解析] 令f(x)=0,得cos=0,解得x=+(k∈Z).當(dāng)k=0時(shí),x=;當(dāng)k=1時(shí),x=;當(dāng)k=2時(shí),x=,又x∈[0,π],所以滿(mǎn)足要求的零點(diǎn)有3個(gè).
[答案] 3
5.(2018·天津卷)已知a>0,函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是________.
[解析] 設(shè)g(x)=f(x)-ax=
方程f(x)=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解即函數(shù)y=g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),即y=g(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn),滿(mǎn)足條件的y=g(x)的圖象有以下兩種情
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