第26講　平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系． 3．掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算． 4．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系． 5．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題． 6．會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題. 2016·全國卷Ⅰ，13 2016·全國卷Ⅲ，3 2016·北京卷，4 2016·天津卷，7 2016·山東卷，8 1.平面向量的數(shù)量積是高考的熱點，主要考查平面向量數(shù)量積的運算、幾何意義、兩向量的模與夾角以及垂直問題． 2．數(shù)量積的綜合應用是高考的重點，常與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、解析幾何等內容結合考查. 分值：5分 1．平面向量的數(shù)量積 若兩個__非零__向量a與b，它們的夾角為θ，則__|a||b|cos θ__叫做a與b的數(shù)量積(或內積)，記作__a·b＝|a||b|cos θ__. 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為__0__. 兩個非零向量a與b垂直的充要條件是__a·b＝0__，兩個非零向量a與b平行的充要條件是__a·b＝±|a||b|__. 2．平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘積． 3．平面向量數(shù)量積的重要性質 (1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈a，e〉__； (2)非零向量a，b，a⊥b?__a·b＝0__； (3)當a與b同向時，a·b＝__|a||b|__；當a與b反向時，a·b＝__－|a||b|__，a·a＝__a2__，|a|＝____； (4)cos θ＝____； (5)|a·b|__≤__|a||b|. 4．平面向量數(shù)量積滿足的運算律 (1)a·b＝__b·a__(交換律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__a·(λb)__(λ為實數(shù))； (3)(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__. 5．平面向量數(shù)量積性質的坐標表示 設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝__x1x2＋y1y2__； 由此得到： (1)若a＝(x，y)，則|a|2＝__x2＋y2__，或|a|＝____； (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點間的距離|AB|＝||＝____； (3)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?__x1x2＋y1y2＝0__. 6．平面向量數(shù)量積運算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (3)(a－b)2＝__a2－2a·b＋b2__. 1．思維辨析(在括號內打“√”或“×”)． (1)一個向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，且有正有負，也可為零．(　√　) (2)若a∥b，則必有a·b≠0.(　×　) (3)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結果是向量．(　×　) (4)若a·b<0，則向量a，b的夾角為鈍角．(　×　) 解析 (1)正確．由向量投影的定義可知，當兩向量夾角為銳角時結果為正，為鈍角時結果為負，為直角時結果為零． (2)錯誤．當a與b至少有一個為0時a∥b，但a·b＝0. (3)正確．由數(shù)量積與向量線性運算的意義可知，正確． (4)錯誤．當a·b＝－|a||b|時，a與b的夾角為π. 2．下列四個命題中真命題的個數(shù)為(　C　) ①若a·b＝0，則a⊥b；②若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(a·b)2＝a2·b2. A．4　　 B．2　　 C．0　　 D．3 解析 a·b＝0時，a⊥b，或a＝0，或b＝0.故①命題錯． ∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0.又∵b≠0，∴a＝c，或b⊥(a－c)．故②命題錯誤．∵a·b與b·c都是實數(shù)，故(a·b)·c是與c共線的向量，a·(b·c)是與a共線的向量， ∴(a·b)·c不一定與a·(b·c)相等．故③命題不正確． ∵(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2.故④命題不正確． 3．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，則·＝(　D　) A．－　　 B．－　　 C．　　 D． 解析 在△ABC中，cos ∠BAC＝＝＝，∴·＝||||cos ∠BAC＝3×2×＝. 4．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b與a垂直，則λ＝(　A　) A．－1　　 B．1　　 C．－2　　 D．2 解析 λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)．∵λa＋b與a垂直， ∴(λa＋b)·a＝10λ＋10＝0，∴λ＝－1. 5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b上的投影為(　C　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析 |a|cos θ＝＝＝＝. 一　平面向量的數(shù)量積運算 求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義． 【例1】 (1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　C　) A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D．2 (2)(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝__2__. 解析 (1)∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3， 從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. (2)|a＋2b|＝ ＝＝2. 二　平面向量的夾角與垂直 (1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質：若a，b為非零向量，cos θ＝(夾角公式)，a⊥b?a·b＝0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關角度、垂直問題． (2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說明不共線的兩向量的夾角為鈍角． 【例2】 (1)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，其外接圓的圓心為O，則·＝__10__. (2)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__∪∪__. 解析 (1)如圖，取BC的中點M，連OM，AM，則＝＋， ∴·＝(＋)·. ∵O為△ABC的外心，∴OM⊥BC，即·＝0， ∴·＝·＝(＋)·(－)＝ (2－2)＝(62－42)＝×20＝10. (2)a與b的夾角為銳角，則a·b>0且a與b不共線， 則解得λ<－或0<λ<或λ>， 所以λ的取值范圍是∪∪. 三　平面向量的模及綜合應用 向量模的運算方法 (1)若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永脇a|＝. (2)若向量a，b是非坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱霉絴a|2＝a2＝a·a或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求解． 【例3】 (1)在平面直角坐標系內，已知B(－3，－3)，C(3，－3)，且H(x，y)是曲線x2＋y2＝1上任意一點，則·的最大值為__6＋19__. (2)(2018·河北石家莊二模)已知向量a，b，c滿足|a|＝，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(2b－3c)＝0，則|b－c|的最大值是__＋1__. 解析 (1)由題意得＝(x＋3，y＋3)，＝(x－3，y＋3)，所以·＝(x＋3，y＋3)·(x－3，y＋3) ＝x2＋y2－9＋6y＋27＝6y＋19≤6＋19，當且僅當y＝1時取最大值． (2)設a與b的夾角為θ，則a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝＝＝， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 設＝a，＝b，c＝(x，y)，建立如圖所示的平面直角坐標系．則A(1,1)，B(3,0)， ∴c－2a＝(x－2，y－2)，2b－3c＝(6－3x，－3y)， ∵(c－2a)·(2b－3c)＝0，∴(x－2)·(6－3x)＋(y－2)·(－3y)＝0. 即(x－2)2＋(y－1)2＝1.又知b－c＝(3－x，－y)， ∴|b－c|＝≤＋1＝＋1， 即|b－c|的最大值為＋1. 1．在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，則△ABC的面積為(　C　) A．4　　 B．5　　 C．2　　 D．3 解析 ∵＝(2,2)，∴||＝＝2. ∵·＝||·||cos A＝2×2cos A＝－4， ∴cos A＝－，∵0<A<π，∴sin A＝， ∴S△ABC＝||·||sin A＝2. 2．(2017·江西贛南五校二模)△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1,2＝＋且||＝||，則向量在方向上的投影為(　A　) A．　　 B．　　 C．－　　 D．－ 解析 由2＝＋可知O是BC的中點，即BC為△ABC外接圓的直徑，所以||＝||＝||，由題意知||＝||＝1，故△OAB為等邊三角形，所以∠ABC＝60°.所以向量在方向上的投影為||cos ∠ABC＝1×cos 60°＝.故選A． 3．(2017·山東卷)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是____. 解析 因為＝， 故＝，解得λ＝. 4．已知向量a＝，b＝，且x∈. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值． 解析 (1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x. ∵a＋b＝， ∴|a＋b|＝ ＝＝2|cos x|. ∵x∈，∴cos x>0，∴|a＋b|＝2cos x. (2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos 2x－2cos x－1 ＝22－. ∵x∈，∴≤cos x≤1，∴當cos x＝時，f(x)取得最小值－；當cos x＝1時，f(x)取得最大值－1. 易錯點　忽視或弄錯向量的幾何表示 錯因分析：利用向量的幾何意義表示三角形的四心，關鍵是弄清這四心的定義及性質． 【例1】 已知點O，N，P在△ABC所在平面內，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，則點O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心　　 B．重心、外心、內心 C．外心、重心、垂心　　 D．外心、重心、內心 解析 第一個條件表明O到A，B，C三頂點的距離相等，即為△ABC的外心，設D為BC的中點，則＋＝2， ∴＋2＝0，則N為△ABC的中線AD靠近D的三等分點，即為△ABC的重心；由·＝·得 ·(－)＝0，∴·＝0，同理·＝0， ·＝0，則知P與三頂點的連線和對邊垂直，所以P為△ABC的垂心，故選C． 答案 C 【跟蹤訓練1】 已知O是平面內的一定點，A，B，C是此平面內不共線的三個動點，若動點P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的(　C　) A．內心　　 B．外心　　 C．重心　　 D．垂心 解析 由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根據(jù)平行四邊形法則，知＋是△ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應向量的2倍，所以點P的軌跡必過△ABC的重心． 課時達標　第26講 [解密考綱]本考點重點考查平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，往往借助于數(shù)量積求模長、夾角、面積等，多以選擇題、填空題的形式考查，題目難度中等偏難． 一、選擇題 1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是(　D　) A．x＝－　　 B．x＝－1 C．x＝5　　 D．x＝0 解析 由向量垂直的充要條件，得2(x－1)＋2＝0.解得x＝0. 2．已知非零向量a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，則cos 〈a，a＋b〉＝(　C　) A．　　 B．－ C．　　 D．－ 解析 設|a|＝|b|＝|a－b|＝1，則(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1， ∴a·b＝，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋＝. ∵|a＋b|＝＝＝， ∴cos〈a，a＋b〉＝＝. 3．已知向量||＝2，||＝4，·＝4，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為(　A　) A．4　　 B．2 C．4　　 D．2 解析 因為cos∠AOB＝＝＝，所以∠AOB＝60°，sin∠AOB＝.所以所求的平行四邊形的面積為||·||·sin∠AOB＝4，故選A． 4．(2018·山西四校二聯(lián))已知平面向量a，b滿足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與b夾角的正弦值為(　D　) A．－　　 B．－ C．　　 D． 解析 ∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝＝，故選D． 5．(2018·甘肅蘭州模擬)若△ABC的三個內角A，B，C度數(shù)成等差數(shù)列，且(＋)·＝0，則△ABC一定是(　C　) A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 解析 因為(＋)·＝0，所以(＋)·(－)＝0，所以2－2＝0，即||＝||，又A，B，C度數(shù)成等差數(shù)列，故2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以2B＝π－B，所以3B＝π，B＝，故△ABC是等邊三角形． 6．(2018·福建廈門模擬)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－1，則||的最小值是(　C　) A．　　 B．2 C．　　 D．6 解析 由·＝||||cos 120°＝－||||＝－1，得||||＝2，||2＝|－|2＝2＋2－2AB·＝2＋2＋2≥2||||＋2＝6，當且僅當||＝||時等號成立．所以||≥，故選C． 二、填空題 7．(2016·全國卷Ⅰ)設向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝__－2__. 解析 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a·b＝0，即m＋2＝0，∴m＝－2. 8．已知A，B，C為圓O上的三點，若＝(＋)，則與的夾角為__90°__. 解析 由＝(＋)，可得O為BC的中點，故BC為圓O的直徑，所以與的夾角為90°. 9．(2017·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點P在圓O：x2＋y2＝50上．若·≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是__[－5，1]__. 解析 設P(x，y)，則·＝(－12－x，－y)·(－x,6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20，又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以點P在直線2x－y＋5＝0的上方(包括直線上)，又點P在圓x2＋y2＝50上，由解得x＝－5或x＝1，結合圖象(圖略)，可得－5≤x≤1，故點P的橫坐標的取值范圍是[－5，1]． 三、解答題 10．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°. (1)計算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)當k為何值時，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解析 由已知得，a·b＝4×8×＝－16. (1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a＋b|＝4. ②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16. (2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0， ∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0. ∴k＝－7.即k＝－7時，a＋2b與ka－b垂直． 11．在△ABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影． 解析 (1)由m·n＝－， 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，所以cos A＝－. 因為0<A<π.所以sin A＝＝， (2)由正弦定理，得sin B＝＝＝， 因為a>b，所以A>B，則B＝. 由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1， 故向量在方向上的投影為||cos B＝ccos B＝1×＝. 12．如圖，O是△ABC內一點，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量，，的模分別為2，，4. (1)求|＋＋|； (2)若＝m＋n，求實數(shù)m，n的值． 解析 (1)由已知易知·＝||·||·cos ∠AOB＝－3， ·＝||·||·cos ∠AOC＝－4，·＝0， ∴|＋＋|2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝9，∴|＋＋|＝3. (2)由＝m＋n可得·＝m2＋n·，且·＝m·＋n2， ∴∴m＝n＝－4. 12