《2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第8節(jié) 函數(shù)與方程教學案 理（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第8節(jié) 函數(shù)與方程教學案 理（含解析）北師大版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第八節(jié)　函數(shù)與方程 [考綱傳真]　結合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù)． 1．函數(shù)的零點 (1)定義：函數(shù)y＝f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數(shù)的零點． (2)函數(shù)零點與方程根的關系：方程f(x)＝0有實根?函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． (3)零點存在性定理 若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f(a)·f(b)＜0，則在區(qū)間(a，b)內，函數(shù)y＝f(x)至少有一個零點，即相應方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內至少有一個實數(shù)解．

2、(4)二分法：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫作二分法． 2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像與零點的關系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖像 與x軸的交點 (x1,0)， (x1,0) (x2,0) 無交點 零點個數(shù) 2 1 0 1．f(a)·f(b)＜0是連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件． 2．

3、若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調函數(shù)，且f(x)的圖像連續(xù)不斷，則f(a)·f(b)＜0?函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上只有一個零點． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖像與x軸的交點． (　　) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0. (　　) (3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個零點． (　　) (4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0時沒有零點． (　　

4、) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點所在的區(qū)間是(　　) A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) C　[由題意得f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0， f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f(4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0， ∴f(x)的零點所在的區(qū)間為(2,3)．] 3．(教材改編)已知函數(shù)y＝f(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應值表： x 1 2 3 4 5 6 y

5、 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6 則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有(　　) A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 B　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0， 故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]內至少有3個零點．] 4．函數(shù)f(x)＝x－x的零點有________個． 1　[如圖所示，函數(shù)f(x)＝x－x的零點有1個．] 5．函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． 　[∵函數(shù)f(x)的圖像為直線， 由題意可得f(

6、－1)·f(1)＜0， ∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1， ∴實數(shù)a的取值范圍是.] 判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間 1．函數(shù)f(x)＝ln x－的零點所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) B　[由題意知函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因為f(1)＜0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0，所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2)．故選 B．] 2．若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間(　　) A．(a，b)和(b

7、，c)內 B．(－∞，a)和(a，b)內 C．(b，c)和(c，＋∞)內 D．(－∞，a)和(c，＋∞)內 A　[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0， 由函數(shù)零點存在性判定定理可知：在區(qū)間(a，b)(b，c)內分別存在一個零點； 又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點， 因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內，故選A.] 3．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點在(k∈Z)內，那么k＝________. 5　[∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(

8、x)在x∈(0，＋∞)上遞增，且f＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零點在內，則整數(shù)k＝5.] [規(guī)律方法]　判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法 (1)解方程，當對應方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上來判斷. (2)利用零點存在性定理進行判斷. (3)數(shù)形結合畫出函數(shù)圖像，通過觀察圖像與x軸在給定區(qū)間內是否有交點來判斷. 判斷函數(shù)零點的個數(shù) 【例1】　(1)函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點個數(shù)為(　　

9、) A．1 B．2 C．3 D．4 (1)D　(2)C　[(1)依題意，在考慮x＞0時可以畫出函數(shù)y＝ln x與y＝x2－2x的圖像(如圖)，可知兩個函數(shù)的圖像有兩個交點，當x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x＋1與x軸只有一個交點，綜上，函數(shù)f(x)有3個零點．故選D． (2)因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即x＝0是函數(shù)f(x)的1個零點． 當x＞0時，令f(x)＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3，分別畫出函數(shù)y＝ex和y＝－x＋3的圖像，如圖所示，兩函數(shù)圖像有1個交點，所以函數(shù)f(x)有1個零點． 根據(jù)對稱性知，當x＜0時，函數(shù)f(x)也有1個零

10、點．綜上所述，f(x)的零點個數(shù)為3.] [規(guī)律方法]　函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法 (1)直接求零點，令f(x)＝0，有幾個解就有幾個零點； (2)零點存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，再結合函數(shù)的圖像與性質確定函數(shù)零點個數(shù)； (3)利用圖像交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖像，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù). (1)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零點個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知函數(shù)f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點個數(shù)為________． (1)

11、B　(2)3　[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， 可得|log0.5x|＝x. 設g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x. 在同一坐標系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖像一定有2個交點，因此函數(shù)f(x)有2個零點．故選B． (2)依題意得 由此解得 由g(x)＝0得f(x)＋x＝0， 該方程等價于① 或② 解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.因此，函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點個數(shù)為3.] 函數(shù)零點的應用 【例2】　(1)設函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(

12、b)＝0，則(　　) A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a) C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0 (2)已知函數(shù)f(x)＝其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________． (1)A　(2)(3，＋∞)　[(1)∵f(x)＝ex＋x－2， ∴f′(x)＝ex＋1＞0， 則f(x)在R上為增函數(shù)， 又f(0)＝e0－2＜0，f(1)＝e－1＞0， 且f(a)＝0，∴0＜a＜1.∵g(x)＝ln x＋x2－3， ∴g′(x)＝＋2x. 當x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0， ∴g

13、(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，∴1＜b＜2，∴a＜b， ∴故選A. (2)畫出f(x)的草圖如圖所示，若存在實數(shù)b，使得f(x)＝b有3個不同的根， 則4m－m2＜m，即m2－3m＞0， 又m＞0，解得m＞3.] [規(guī)律方法]　已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍. (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決. (3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結

14、合求解. (1)已知函數(shù)f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝ln x－1的零點依次為a，b，c，則(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c (2)函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) (1)A　(2)C　[(1)在同一坐標系中，畫出函數(shù)y＝ex，y＝ln x與y＝－x，y＝－1的圖像如圖所示． 由圖可知a＜b＜c， 故選A. (2)∵函數(shù)f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上遞增，又函數(shù)f(x)＝2

15、x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則有f(1)·f(2)＜0， ∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.] 1．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0)　　　　　　　　 B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) C　[函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個零點，即關于x的方程f(x)＝－x－a有2個不同的實根，即函數(shù)f(x)的圖像與直線y＝－x－a有2個交點，作出直線y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖像，如圖所示， 由圖可知，－a≤1，解得a≥

16、－1，故選C.] 2．(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝(　　) A．－ B． C. D．1 C　[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù)． ∵f(x)有唯一零點，∴g(t)也有唯一零點． 又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝. 故選C. 法二：f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x. ex－1＋e－x＋1≥2＝2， 當且僅當x＝1時取“＝”． 又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，當且僅當x＝1時取“＝”． 若a＞0，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a， 要使f(x)有唯一零點，則必有2a＝1，即a＝. 若a≤0，則f(x)的零點不唯一． 故選C.] - 7 -