2.2.1 不等式及其性質導學案 1、掌握不等式5個性質與5個推論. 2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式. 3、熟練靈活運用不等式性質、推論、思想方法證明不等式. 【重點】 1、掌握不等式5個性質與5個推論. 2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式. 3、熟練靈活運用不等式性質、推論、思想方法證明不等式. 【難點】 1、 正確選用性質推理和思想方法來證明不等式. 【情境與問題】 你見過下圖中的高速公路指示牌嗎？左邊的指示牌是指對應的車道只能供小客車行駛，而且小客車的速率v1（單位：km/h，下同）應該滿足 100≤v1≤120； 右邊的指示牌是指對應的車道可供客車和貨車行駛，而且車的速率v2應該滿足 不等式：在現(xiàn)實世界里，量與量之間的不等關系是普遍的，不等式是刻畫不等關系的工具，我們用數(shù)學符號 連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關系，含有這些不等號的式子，稱為不等式. 上述不等式符號中，要特別注意“≥”“≤”.事實上，住意給定兩個實數(shù)a，b，那么 a≥b ? a＞b或a=b a≤b ? 5≥3，2≥2，2≤2這三個命題都是真命題嗎？ 【想一想】 怎樣理解兩個實數(shù)之間的大小呢？ 我們已經(jīng)知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).一般地，如果點P對應的數(shù)為x，則稱x為點P的坐標，并記作P（x）.另外，數(shù)軸上的點往數(shù)軸的正方向運動時，它所對應的實數(shù)會變大，這就是說，兩個數(shù)在數(shù)軸上對應的點的相對位置決定了這兩個數(shù)的大小、如下圖所示的數(shù)軸中，A（a），B（b），不難看出 b>1>0>a. 此外，我們也知道，一個數(shù)加上一個正數(shù)，相當于數(shù)軸上對應的點向正方向移動了一段距離；一個數(shù)減去一個正數(shù)（即加上一個負數(shù)），相當于數(shù)軸上對應的點向負方向移動了一段距離。由此可以看出，要比較兩個實數(shù)a，b的大小，只要考察a-b與0的相對大小就可以了，即 a-b<0? a<b, a- b=0? a=b, a-b>0? a>b. 初中的時候，我們就已經(jīng)歸納出了不等式的三個性質： 性質1 性質2 性質3 【嘗試與發(fā)現(xiàn)】 你能利用前面的知識，給出性質1的直觀理解以及這三個性質的證明嗎？ 事實上，如下圖所示，a>b是指點A在點B的右側，a+c和b+c表示點A和點B在數(shù)軸上做了相同的平移，平移后得到的點A'和B'的相對位置，與A和B的相對位置是一樣的，因此a+c>b+c. 性質1可以用如下方式證明：因為 （a+c）-（b+c）=a+c-b-c=a-b， 又因為a>b，所以a-b>0，從而 （a+c）-（b+c）>0. 因此a+c>b+c. 性質2可以用類似的方法證明：因為 ac-bc=（a-b）c， 又因為a>b，所以a-b>0，而c>0，因此 （a-b）c>0， 因此ac-bx>0，即ac>bc. 性質3的證明留作練習. 用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空： （1）a>b是a+c>b+c的 條件； （2）如果c>0，則a>b是ac>bc的 條件； （3）如果c<0，則a>b是ac<bc的 條件. 【嘗試與發(fā)現(xiàn)】 在不等式的證明與求解中，我們還經(jīng)常用到以下不等式的性質。 性質4 直觀上，如下圖所示，點A在點B的右側，點B在點C的右側，因此點A必定在點C的右側. 證明 因為 a-c=（a-b）+（b-c）， 又因為a>b，所以a-b>0；且b>c，所以b-c>0，因此 （a-b）+（b-c）>0， 從而a-c>0，即a>c. 性質4通常稱為不等關系的 ，.我們前面在判斷x2>-1等類似命題的真假時就用過不等關系的傳遞性。 性質5 這只要利用a-b=-（b-a）就可以證明，請讀者自行嘗試. 另外，值得注意的是，上述不等式性質對任意滿足條件的實數(shù)都成立，因此我們可以用任意滿足條件的式子去代替其中的字母。 【典型例題】 例1 比較x2-x和x-2的大小. 例1的證明中用了配方法，這種方法經(jīng)常用于式子變形，大家應熟練掌握. 需要注意的是，前面我們證明不等式性質和解答例1的方法，其實質都是通過比較兩式之差的符號來判斷兩式的大小，這種方法通常稱為作差法.在證明不等式時，當然也可直接利用已經(jīng)證明過的不等式性質等。從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結果，經(jīng)過逐步推導最后得到結論的方法，在數(shù)學中通常稱為綜合法.下面我們用綜合法來得出幾個常用的不等式性質的推論. 推論1 . 證明 a+b>c?a+b+（-b）>c+（-b）?a>c-b. 推論1表明，不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊.推論1通常稱為不等式的移項法則. 推論2 證明 根據(jù)性質1有 a> b?a+c>b+c， b> d?b+c>b+d， 再根據(jù)性質4可知 a+c>b+d. 我們把a>b和c>d（或a<b和c<d）這類不等號方向相同的不等式，稱為同向不等式.推論2說明，兩個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向.很明顯，推論2可以推廣為更一般的結論： 有限個同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向。 推論3 證明 根據(jù)性質2有 a>b，c>0?ac>bc， c>d，b>0?bc>bd， 再根據(jù)性質4可知 ac>bd. 很明顯，這個推論也可以推廣為更一般的結論： 幾個兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向. 推論4 這個結論的證明只要多次使用推論3的結論即可. 推論5 證明 假設≤，即 <或=， 根據(jù)推論4和二次根式的性質，得 a<b或a=b. 這都與a>b矛盾，因此假設不成立，從而>. 證明推論5中不等式的方法具有什么特征？ 【嘗試與發(fā)現(xiàn)】 可以看出，推論5中證明方法的實質是：首先假設結論的否定成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設不成立。這種得到數(shù)學結論的方法通常稱為 ，反證法是一種間接證明的方法. 例2 （1）已知a>b，c<d，求證：a-c>b-d； （2）已知a>b，ab>0，求證： （3）已知a>b>0，0<c<d，求證： 可以看出，例2中所使用的方法是綜合法.綜合法中，最重要的推理形式為p?q，其中p是已知或者已經(jīng)得出的結論，所以綜合法的實質就是不斷尋找必然成立的結論。 【嘗試與發(fā)現(xiàn)】 你能證明嗎？用綜合法證明這個結論方便嗎？你覺得可以怎樣證明這個結論？ 上述這種證明方法通常稱為分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要證p，只需證明q”，這可以表示為pg，其中p是需要證明的結論，所以分析法的實質就是不斷尋找結論成立的充分條件.的證明過程也可簡寫為：因為 例3 已知m>0，求證： 1.判斷下列命題的真假： （1）當x=3時，x≥3； （2）當x≥3時，x=3； （3）當x≥3且x≤3時，x=3. 2.用“ >”或“<”填空： （1）x+5 x+2； （2）a<b3a 3b； （3）a<b-5a -5b； （4）當c 0時，a>bac<bc； （5）a>ba-1 b-2； （6）a>b>0，c<d<0ac bd. 3.求證：如果a>b，c<0，那么ac<bc. 4.用反證法證明. 1．設，則“”是“” 的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．設，則“”是“”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 3．若，，則下列選項中正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 【學習過程】1.真 假 真 2. ＞ ＜ ＞ ＜ ＞ ＞ 3. 略4.略 【當堂檢測】1.A 2.A 3.D 7